Subgroups — #27440308

Order 13568.

1282 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 312 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂²×#13133217	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#16810992	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#20283025	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#20275962	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#20275535	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#20274651	C₂	1	4	yes	maximal
7	C₅₃×#1749	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	C₂³×Dic₁₀₆	C₂²	1	2	yes	—
9	C₂×#13133217	—	2	8	no	—
10	C₂×#13133217	—	2	2	no	—
11	C₂×#13133217	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×#13133217	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#13133209	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
15	#16810992	—	2	8	no	—
16	C₂×#13133142	C₂²	1	8	yes	—
17	C₂×#13133142	C₂²	1	8	yes	—
18	#16810521	C₂²	1	2	yes	—
19	#16810507	—	2	2	no	—
20	#16810496	—	2	2	no	—
21	#16810489	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#16810483	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂²×C₄²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×C₂²⋊C₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#97×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
26	C₅₃×#336	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
28	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
29	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
30	C₂²×Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
31	C₂²×Dic₁₀₆	C₂³	1	4	yes	—
32	C₂³×Dic₅₃	—	2	2	no	—
33	#13133217	—	2	16	no	—
34	#13133217	—	2	4	no	—
35	#13133217	—	2	8	no	—
36	#13133217	D₄	1	8	yes	—
37	#13133209	—	2	4	no	—
38	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	16	no	—
39	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
40	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
41	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂×#11719919	—	2	2	no	—
44	C₂×#11719919	—	2	2	no	—
45	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
46	#13133142	—	2	16	no	—
47	#13133142	—	4	8	no	—
48	#13133124	—	2	2	no	—
49	#13133124	—	2	2	no	—
50	#13133124	—	2	2	no	—
51	C₂³×C₄×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
52	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
54	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
55	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
56	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂²⋊C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
59	#97×C₅₃	—	2	4	no	—
60	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
62	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
63	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
64	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
65	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
66	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
67	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
68	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
69	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	4	yes	—
70	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
71	C₂²×Dic₅₃	—	2	8	no	—
72	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
73	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
74	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
75	C₂²×Dic₅₃	—	4	4	no	—
76	C₂²×Dic₅₃	—	4	4	no	—
77	C₂×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
78	C₂×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
79	C₂×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
80	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
81	C₂×Dic₁₀₆	—	4	32	no	—
82	C₂×Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
83	C₂×Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
84	C₂×Dic₁₀₆	C₂×D₄	1	8	yes	—
85	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
86	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
87	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
88	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
89	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
90	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
91	C₂²⋊Dic₅₃	—	4	4	no	—
92	C₄⋊Dic₅₃	—	2	16	no	—
93	C₄⋊Dic₅₃	—	2	16	no	—
94	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
95	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
96	#11719919	—	4	4	no	—
97	#11719919	—	4	4	no	—
98	C₂³×C₅₃	—	2	1	no	—
99	C₂³×C₅₃	—	2	1	no	—
100	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
101	C₂³×C₅₃	#124	1	2	yes	—
102	C₂³×C₅₃	#137	1	4	yes	—
103	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂×C₄×C₅₃	—	2	16	no	—
105	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
106	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
107	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
108	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
109	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
110	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
111	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
112	C₂×C₄×C₅₃	#120	1	4	yes	—
113	C₂×C₄×C₅₃	#124	1	2	yes	—
114	C₂×C₄×C₅₃	#137	1	4	yes	—
115	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
116	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
117	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
118	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
119	C₂×Dic₅₃	—	4	16	no	—
120	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
121	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
122	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
123	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
124	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
125	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
126	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
127	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
128	Dic₁₀₆	—	2	16	no	—
129	Dic₁₀₆	—	4	16	no	—
130	Dic₁₀₆	—	4	8	no	—
131	C₈×C₅₃	—	4	4	no	—
132	#25861	—	53	1	no	maximal, Sylow
133	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
134	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
135	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
136	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
137	C₂²×C₅₃	#491	1	4	yes	complemented
138	C₂²×C₅₃	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
139	C₂²×C₅₃	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
140	C₂²×C₅₃	#535	1	1	yes	characteristic
141	C₂²×C₅₃	C₂×#137	1	2	yes	—
142	C₂²×C₅₃	C₂×#137	1	2	yes	—
143	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
144	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
145	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
146	C₄×C₅₃	#546	1	4	yes	—
147	Dic₅₃	—	4	8	no	—
148	Dic₅₃	—	8	2	no	—
149	Dic₅₃	—	8	2	no	—
150	C₂²×C₄⋊Q₈	—	53	1	no	—
151	C₂×#491	—	53	2	no	—
152	#2851	—	53	1	no	—
153	#2043	—	53	4	no	—
154	#1960	—	53	2	no	—
155	#1787	—	53	4	no	—
156	#1749	D₅₃	1	1	yes	characteristic
157	C₂×C₅₃	—	2	4	no	—
158	C₂×C₅₃	#2435	1	1	yes	characteristic
159	C₂×C₅₃	#3004	1	2	yes	—
160	C₂×C₅₃	C₂×#491	1	1	yes	characteristic
161	C₂×C₅₃	#3139	1	1	yes	characteristic
162	C₂×C₅₃	#3218	1	2	yes	—
163	C₂³×Q₈	—	53	2	no	—
164	C₂×C₄⋊Q₈	—	53	2	no	—
165	C₂×C₄⋊Q₈	—	53	2	no	—
166	C₂×C₄⋊Q₈	—	106	8	no	—
167	C₂×C₄⋊Q₈	—	106	2	no	—
168	C₂×#125	—	53	1	no	—
169	C₂²×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
170	C₂²×C₄²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
171	#491	—	106	8	no	—
172	C₂×#103	—	53	8	no	—
173	C₂×#103	—	53	8	no	—
174	C₂×C₂²⋊C₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
175	C₂×#97	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
176	#389	—	53	2	no	—
177	#387	—	106	2	no	—
178	#385	—	106	2	no	—
179	#382	—	53	1	no	—
180	#380	—	53	2	no	—
181	#336	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
182	C₅₃	#25861	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
183	C₂²×Q₈	—	53	4	no	—
184	C₂²×Q₈	—	106	8	no	—
185	C₂²×Q₈	—	106	2	no	—
186	C₂²×Q₈	—	106	8	no	—
187	C₂²×Q₈	—	212	4	no	—
188	C₂³×C₄	—	106	2	no	—
189	C₂³×C₄	D₂₁₂	1	2	yes	—
190	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
191	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
192	C₄⋊Q₈	—	53	8	no	—
193	C₄⋊Q₈	—	106	8	no	—
194	C₄⋊Q₈	—	106	16	no	—
195	C₄⋊Q₈	—	106	4	no	—
196	#125	—	106	4	no	—
197	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
198	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
199	C₂×C₄⋊C₄	—	106	16	no	—
200	C₂×C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
201	C₂×C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
202	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
203	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
204	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
205	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
206	C₂×C₄²	D₂₁₂	1	2	yes	—
207	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
208	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
209	#103	—	106	16	no	—
210	#103	—	212	8	no	—
211	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
212	#97	—	2	4	no	—
213	#95	—	106	2	no	—
214	#95	—	106	2	no	—
215	#95	—	106	2	no	—
216	C₂⁴	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
217	C₂×Q₈	—	53	8	no	—
218	C₂×Q₈	—	106	8	no	—
219	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
220	C₂×Q₈	—	106	8	no	—
221	C₂×Q₈	—	106	8	no	—
222	C₂×Q₈	—	212	32	no	—
223	C₂×Q₈	—	212	4	no	—
224	C₂×Q₈	—	212	4	no	—
225	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
228	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
229	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
230	C₂²×C₄	—	106	8	no	—
231	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
232	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
233	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
234	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
235	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
236	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
237	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
238	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
239	C₂²×C₄	#11719945	1	4	yes	—
240	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
241	C₂×C₈	—	2	4	no	—
242	C₂×C₈	—	2	4	no	—
243	C₂×C₈	—	2	4	no	—
244	C₄⋊C₄	—	106	16	no	—
245	C₄⋊C₄	—	106	16	no	—
246	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
247	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
248	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
249	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
250	C₂²⋊C₄	—	212	4	no	—
251	C₄²	—	2	4	no	—
252	C₄²	—	2	2	no	—
253	C₄²	D₄×D₅₃	1	4	yes	—
254	C₂³	—	2	1	no	—
255	C₂³	—	2	2	no	—
256	C₂³	—	2	1	no	—
257	C₂³	#13133205	1	2	yes	—
258	C₂³	#13133250	1	4	yes	—
259	C₂³	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
260	Q₈	—	106	16	no	—
261	Q₈	—	212	16	no	—
262	Q₈	—	212	8	no	—
263	C₂×C₄	—	2	16	no	—
264	C₂×C₄	—	2	2	no	—
265	C₂×C₄	—	2	1	no	—
266	C₂×C₄	—	2	2	no	—
267	C₂×C₄	—	2	2	no	—
268	C₂×C₄	—	2	2	no	—
269	C₂×C₄	—	2	1	no	—
270	C₂×C₄	—	2	8	no	—
271	C₂×C₄	—	106	8	no	—
272	C₂×C₄	—	212	2	no	—
273	C₂×C₄	—	212	2	no	—
274	C₂×C₄	—	212	2	no	—
275	C₂×C₄	—	212	2	no	—
276	C₂×C₄	—	212	2	no	—
277	C₂×C₄	—	212	2	no	—
278	C₂×C₄	—	212	16	no	—
279	C₂×C₄	—	212	4	no	—
280	C₂×C₄	—	212	4	no	—
281	C₂×C₄	#13133187	1	4	yes	—
282	C₂×C₄	#13133205	1	2	yes	—
283	C₂×C₄	#13133250	1	4	yes	—
284	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	2	yes	—
285	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	2	yes	—
286	C₂×C₄	#13133263	1	2	yes	—
287	C₈	—	4	4	no	—
288	C₂²	—	2	4	no	—
289	C₂²	—	2	4	no	—
290	C₂²	—	2	2	no	—
291	C₂²	—	2	2	no	—
292	C₂²	#16810992	1	4	yes	complemented
293	C₂²	C₂×#13133187	1	1	yes	characteristic
294	C₂²	C₂×#13133205	1	1	yes	characteristic
295	C₂²	#16811192	1	1	yes	characteristic
296	C₂²	C₂×#13133250	1	2	yes	—
297	C₂²	C₂×#13133250	1	2	yes	—
298	C₄	—	2	4	no	—
299	C₄	—	2	4	no	—
300	C₄	—	2	2	no	—
301	C₄	—	424	2	no	—
302	C₄	—	424	2	no	—
303	C₄	—	212	8	no	—
304	C₄	#16811269	1	4	yes	—
305	C₂	—	2	4	no	—
306	C₂	#20278366	1	1	yes	characteristic
307	C₂	#20283952	1	2	yes	—
308	C₂	C₂×#16810992	1	1	yes	characteristic
309	C₂	#20285096	1	1	yes	characteristic
310	C₂	#20285744	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂²×D₂₁₂
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#1749	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
prime radical	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄
hypercenter	#1749	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#25861
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ #1749

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#16810992	C₂	semidirect
4. #20275962	C₂	semidirect
5. #20275535	C₂	semidirect
137. C₂²×C₅₃	#491	semidirect
182. C₅₃	#25861	semidirect
292. C₂²	#16810992	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂²×#13133217	2
C₂×#16810992	2
#20283025	2
#20275962	2
#20275535	2
#20274651	2
C₅₃×#1749	2
#25861	53