Subgroups — #27440387

Order 13568.

1370 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 406 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20285108	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#20279668	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#20275936	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#20275635	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20274669	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	C₄×#13133134	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₅₃×#3496	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	C₂×#13133217	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
9	C₂×#13133196	—	2	2	no	—
10	#16810982	—	2	4	no	—
11	#16810973	—	2	2	no	—
12	#16810969	—	2	2	no	—
13	C₂×#13133144	C₂²	1	8	yes	complemented
14	#16810624	C₂²	1	8	yes	complemented
15	C₂×#13133134	C₂²	1	2	yes	—
16	C₄×#11719917	C₂²	1	2	yes	complemented
17	#16810559	—	2	2	no	—
18	#16810526	C₂²	1	2	yes	—
19	#16810492	C₂²	1	2	yes	complemented
20	C₄×C₄⋊Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
21	#16810392	C₂²	1	2	yes	complemented
22	C₂×H(5,𝔽₂)×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
23	C₅₃×#547	—	2	2	no	—
24	C₅₃×#546	—	2	4	no	—
25	D₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
26	C₅₃×#537	C₂²	1	2	yes	—
27	C₅₃×#534	—	2	2	no	—
28	C₅₃×#532	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#121×C₅₃	—	2	2	no	—
30	C₂×C₄×D₄×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
32	C₂×#11719917	C₂³	1	4	yes	—
33	#13133217	—	2	2	no	—
34	#13133217	—	2	2	no	—
35	#13133196	—	4	8	no	—
36	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
37	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
38	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
39	C₂×#11719919	—	2	4	no	—
40	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
41	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
42	#13133144	—	4	8	no	—
43	#13133141	—	2	8	no	—
44	#13133138	—	2	8	no	—
45	#13133134	—	2	4	no	—
46	#13133128	—	2	2	no	—
47	C₄×#88322	—	2	2	no	—
48	#13133124	—	2	1	no	—
49	H(5,𝔽₂)×C₅₃	—	2	8	no	—
50	H(5,𝔽₂)×C₅₃	—	4	4	no	—
51	C₂×#41×C₅₃	—	2	4	no	—
52	C₂×#41×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
53	C₂²×D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
54	C₂²×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
55	C₂²×D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
56	C₂²×D₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂³×C₄×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
58	C₄⋊Q₈×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
59	#127×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
60	#124×C₅₃	D₄	1	4	yes	—
61	#123×C₅₃	—	2	8	no	—
62	C₂²⋊Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
63	#121×C₅₃	—	2	4	no	—
64	#121×C₅₃	—	2	4	no	—
65	#121×C₅₃	—	2	4	no	—
66	#121×C₅₃	—	2	2	no	—
67	#121×C₅₃	—	2	4	no	—
68	#121×C₅₃	—	2	2	no	—
69	#120×C₅₃	—	2	8	no	—
70	C₄×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
71	C₄×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
72	C₄×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
73	C₄×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
74	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
75	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
77	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
78	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	C₂⁴×C₅₃	—	2	4	no	—
80	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
81	#41×C₅₃	—	2	8	no	—
82	#41×C₅₃	—	2	8	no	—
83	#41×C₅₃	—	4	16	no	—
84	C₂×Q₈×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
85	C₂×D₄×C₅₃	—	2	8	no	—
86	C₂×D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
87	C₂×D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
88	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
89	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
90	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
91	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
92	C₂×D₄×C₅₃	—	4	16	no	—
93	C₂×D₄×C₅₃	—	4	8	no	—
94	C₂×D₄×C₅₃	—	4	8	no	—
95	C₂×D₄×C₅₃	—	8	4	no	—
96	C₂×D₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
97	C₂×D₄×C₅₃	#41	1	4	yes	—
98	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
99	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
100	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
101	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
102	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
103	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
105	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
106	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
107	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
108	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
109	C₂×Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
110	C₂×Dic₁₀₆	—	4	1	no	—
111	C₂×Dic₁₀₆	—	4	1	no	—
112	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
113	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
114	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
115	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
116	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
117	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
118	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
119	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
120	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
121	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
122	C₂²⋊Dic₅₃	—	4	8	no	—
123	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
124	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
125	C₄⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
126	#11719919	—	4	8	no	—
127	C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
128	#11719917	—	2	4	no	—
129	#11719917	—	2	4	no	—
130	C₂×#88322	—	2	4	no	—
131	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
132	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
133	C₂³×C₅₃	—	2	4	no	—
134	C₂³×C₅₃	—	4	2	no	—
135	C₂³×C₅₃	—	4	2	no	—
136	C₂³×C₅₃	—	4	8	no	—
137	C₂³×C₅₃	—	8	4	no	—
138	C₂³×C₅₃	—	8	4	no	—
139	C₂³×C₅₃	#124	1	4	yes	—
140	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
141	Q₈×C₅₃	—	2	8	no	—
142	D₄×C₅₃	—	2	8	no	—
143	D₄×C₅₃	—	2	8	no	—
144	D₄×C₅₃	—	4	16	no	—
145	D₄×C₅₃	—	4	4	no	—
146	D₄×C₅₃	—	4	4	no	—
147	D₄×C₅₃	—	4	4	no	—
148	D₄×C₅₃	—	8	2	no	—
149	D₄×C₅₃	—	8	4	no	—
150	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
151	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
152	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
153	C₂×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
154	C₂×C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
155	C₂×C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
156	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
157	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
158	C₂×C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
159	C₂×C₄×C₅₃	#120	1	1	yes	characteristic
160	C₂×C₄×C₅₃	#120	1	2	yes	—
161	C₂×C₄×C₅₃	#120	1	1	yes	characteristic
162	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
163	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
164	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
165	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
166	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
167	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
168	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
169	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
170	Dic₁₀₆	—	8	2	no	—
171	Dic₁₀₆	—	8	2	no	—
172	#88322	—	4	4	no	—
173	#25870	—	53	1	no	maximal, Sylow
174	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
175	C₂²×C₅₃	—	2	1	no	—
176	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
177	C₂²×C₅₃	—	4	4	no	—
178	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
179	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
180	C₂²×C₅₃	—	4	4	no	—
181	C₂²×C₅₃	—	4	4	no	—
182	C₂²×C₅₃	—	4	4	no	—
183	C₂²×C₅₃	—	8	2	no	—
184	C₂²×C₅₃	—	16	8	no	—
185	C₂²×C₅₃	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
186	C₂²×C₅₃	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
187	C₂²×C₅₃	#535	1	1	yes	characteristic
188	C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
189	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
190	C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
191	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
192	C₄×C₅₃	#453	1	2	yes	—
193	C₄×C₅₃	#546	1	4	yes	—
194	Dic₅₃	—	4	4	no	—
195	Dic₅₃	—	8	2	no	—
196	#3496	D₅₃	1	1	yes	characteristic
197	#3141	—	53	2	no	—
198	#2542	—	53	1	no	—
199	#2039	—	53	4	no	—
200	#1980	—	53	2	no	—
201	#1792	—	53	4	no	—
202	C₄×#100	—	53	1	no	—
203	C₂×C₅₃	—	2	1	no	—
204	C₂×C₅₃	—	2	1	no	—
205	C₂×C₅₃	—	4	4	no	—
206	C₂×C₅₃	—	8	4	no	—
207	C₂×C₅₃	#2435	1	1	yes	characteristic
208	C₂×C₅₃	C₂×#453	1	1	yes	characteristic
209	C₂×C₅₃	#3022	1	1	yes	characteristic
210	C₂×H(5,𝔽₂)	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
211	#547	—	2	2	no	—
212	#546	—	2	4	no	—
213	D₄²	—	2	2	no	—
214	#537	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
215	#534	—	2	2	no	—
216	#532	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
217	C₂×C₄⋊Q₈	—	53	1	no	—
218	C₂×C₂²⋊Q₈	—	106	2	no	—
219	C₂×#121	—	2	2	no	—
220	C₂×C₄×D₄	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
221	#489	—	106	4	no	—
222	#487	—	106	2	no	—
223	#486	—	106	2	no	—
224	C₂×#104	—	53	8	no	—
225	#417	—	53	8	no	—
226	C₂×#100	—	53	2	no	—
227	C₄×M₁₆	—	53	2	no	—
228	#399	—	106	2	no	—
229	#390	—	53	2	no	—
230	#384	—	53	2	no	—
231	C₄×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
232	#343	—	53	2	no	—
233	C₅₃	#25870	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
234	H(5,𝔽₂)	—	2	8	no	—
235	H(5,𝔽₂)	—	4	4	no	—
236	C₂×#41	—	2	4	no	—
237	C₂×#41	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
238	C₂²×Q₈	—	106	1	no	—
239	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
240	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
241	C₂²×D₄	—	2	4	no	—
242	C₂²×D₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
243	C₂³×C₄	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
244	C₂×M₁₆	—	53	4	no	—
245	C₄⋊Q₈	—	106	2	no	—
246	C₄⋊Q₈	—	106	2	no	—
247	C₄⋊Q₈	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
248	#127	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
249	#124	C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
250	#123	—	2	8	no	—
251	C₂²⋊Q₈	—	2	4	no	—
252	C₂²⋊Q₈	—	212	8	no	—
253	#121	—	2	4	no	—
254	#121	—	2	4	no	—
255	#121	—	2	4	no	—
256	#121	—	2	2	no	—
257	#121	—	2	4	no	—
258	#121	—	2	2	no	—
259	#120	—	2	8	no	—
260	C₄×D₄	—	2	2	no	—
261	C₄×D₄	—	2	2	no	—
262	C₄×D₄	—	2	2	no	—
263	C₄×D₄	—	2	2	no	—
264	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
265	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
266	C₂×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
267	C₂×C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
268	C₂×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
269	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
270	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
271	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
272	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
273	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
274	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
275	#104	—	212	8	no	—
276	#103	—	106	8	no	—
277	#102	—	106	8	no	—
278	#100	—	106	4	no	—
279	#97	—	106	2	no	—
280	C₄×C₈	—	106	2	no	—
281	#95	—	106	1	no	—
282	C₂⁴	—	2	4	no	—
283	C₂⁴	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
284	#41	—	2	8	no	—
285	#41	—	2	8	no	—
286	#41	—	4	16	no	—
287	C₂×Q₈	—	212	4	no	—
288	C₂×Q₈	—	212	1	no	—
289	C₂×Q₈	—	212	1	no	—
290	C₂×Q₈	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
291	C₂×D₄	—	2	8	no	—
292	C₂×D₄	—	2	4	no	—
293	C₂×D₄	—	2	4	no	—
294	C₂×D₄	—	2	2	no	—
295	C₂×D₄	—	2	2	no	—
296	C₂×D₄	—	2	2	no	—
297	C₂×D₄	—	2	2	no	—
298	C₂×D₄	—	4	16	no	—
299	C₂×D₄	—	4	8	no	—
300	C₂×D₄	—	4	8	no	—
301	C₂×D₄	—	8	4	no	—
302	C₂×D₄	#11719947	1	4	yes	—
303	C₂×D₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
304	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
305	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
306	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
307	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
308	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
309	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
310	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
311	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
312	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
313	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
314	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
315	M₁₆	—	106	4	no	—
316	M₁₆	—	106	4	no	—
317	C₂×C₈	—	106	4	no	—
318	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
319	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
320	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
321	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
322	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
323	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
324	C₄⋊C₄	—	212	8	no	—
325	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
326	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
327	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
328	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
329	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
330	C₂²⋊C₄	—	212	8	no	—
331	C₄²	—	106	4	no	—
332	C₄²	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
333	C₄²	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
334	C₂³	—	2	2	no	—
335	C₂³	—	2	2	no	—
336	C₂³	—	2	4	no	—
337	C₂³	—	4	2	no	—
338	C₂³	—	4	2	no	—
339	C₂³	—	4	8	no	—
340	C₂³	—	8	4	no	—
341	C₂³	—	8	4	no	—
342	C₂³	#13133204	1	4	yes	—
343	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
344	Q₈	—	2	8	no	—
345	Q₈	—	424	2	no	—
346	Q₈	—	424	2	no	—
347	D₄	—	2	8	no	—
348	D₄	—	2	8	no	—
349	D₄	—	4	16	no	—
350	D₄	—	4	4	no	—
351	D₄	—	4	4	no	—
352	D₄	—	4	4	no	—
353	D₄	—	8	2	no	—
354	D₄	—	8	4	no	—
355	C₂×C₄	—	2	2	no	—
356	C₂×C₄	—	2	2	no	—
357	C₂×C₄	—	2	4	no	—
358	C₂×C₄	—	4	1	no	—
359	C₂×C₄	—	4	8	no	—
360	C₂×C₄	—	4	8	no	—
361	C₂×C₄	—	4	4	no	—
362	C₂×C₄	—	4	2	no	—
363	C₂×C₄	—	8	2	no	—
364	C₂×C₄	—	106	4	no	—
365	C₂×C₄	—	212	4	no	—
366	C₂×C₄	—	212	2	no	—
367	C₂×C₄	—	212	2	no	—
368	C₂×C₄	—	212	2	no	—
369	C₂×C₄	#13133186	1	2	yes	—
370	C₂×C₄	#13133186	1	1	yes	characteristic
371	C₂×C₄	#13133186	1	1	yes	characteristic
372	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
373	C₂×C₄	C₂×#11719947	1	2	yes	—
374	C₂×C₄	#13133262	1	2	yes	—
375	C₈	—	212	4	no	—
376	C₂²	—	2	1	no	—
377	C₂²	—	2	1	no	—
378	C₂²	—	2	4	no	—
379	C₂²	—	4	4	no	—
380	C₂²	—	4	2	no	—
381	C₂²	—	4	2	no	—
382	C₂²	—	4	4	no	—
383	C₂²	—	4	4	no	—
384	C₂²	—	4	4	no	—
385	C₂²	—	8	2	no	—
386	C₂²	—	16	8	no	—
387	C₂²	C₂×#13133186	1	1	yes	characteristic
388	C₂²	C₂×#13133204	1	1	yes	characteristic
389	C₂²	#16811190	1	1	yes	characteristic
390	C₄	—	2	1	no	—
391	C₄	—	2	2	no	—
392	C₄	—	4	4	no	—
393	C₄	—	4	2	no	—
394	C₄	—	424	2	no	—
395	C₄	—	212	4	no	—
396	C₄	#16810791	1	2	yes	—
397	C₄	#16811267	1	4	yes	—
398	C₂	—	2	1	no	—
399	C₂	—	2	1	no	—
400	C₂	—	4	4	no	—
401	C₂	—	8	4	no	—
402	C₂	#20278362	1	1	yes	characteristic
403	C₂	C₂×#16810791	1	1	yes	characteristic
404	C₂	#20284094	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂×#13133186
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting, prime radical	C₅₃×#3496	C₂
socle	C₂²×C₅₃	C₂×#120
hypercenter	#3496	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#25870
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ #3496

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #20285108	C₂	semidirect
2. #20279668	C₂	semidirect
3. #20275936	C₂	semidirect
4. #20275635	C₂	semidirect
5. #20274669	C₂	semidirect
6. C₄×#13133134	C₂	semidirect
8. C₂×#13133217	C₂²	semidirect
13. C₂×#13133144	C₂²	semidirect
14. #16810624	C₂²	semidirect
16. C₄×#11719917	C₂²	semidirect
19. #16810492	C₂²	semidirect
20. C₄×C₄⋊Dic₅₃	C₂²	semidirect
21. #16810392	C₂²	semidirect
233. C₅₃	#25870	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20285108	2
#20279668	2
#20275936	2
#20275635	2
#20274669	2
C₄×#13133134	2
C₅₃×#3496	2
#25870	53