Subgroups — #27440716

Order 13568.

1078 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 300 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16811180	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	C₂×#16810973	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#20275866	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#20275675	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20275028	C₂	1	4	yes	maximal
6	C₄×C₂²⋊#88322	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	C₅₃×#2857	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	#16811180	—	2	8	no	—
9	C₂×#13133217	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂×#13133209	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#13133196	—	2	2	no	—
12	C₂×C₄×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
13	C₂×#13133176	C₂²	1	2	yes	—
14	#16810973	—	2	8	no	—
15	C₂×#13133141	C₂²	1	8	yes	—
16	C₂×C₂²⋊#88322	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×C₄×#88322	C₂²	1	2	yes	—
18	#16810385	C₂²	1	8	yes	—
19	#16810378	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₄⋊Q₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×C₂²⋊Q₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂²×C₄²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₅₃×#391	C₂²	1	2	yes	—
24	C₅₃×#389	—	2	2	no	—
25	C₅₃×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₅₃×#380	—	2	2	no	—
27	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
28	C₂²×#88322	C₂³	1	4	yes	—
29	#13133217	—	2	4	no	—
30	#13133217	D₄	1	8	yes	—
31	#13133209	—	2	8	no	—
32	#13133196	—	2	16	no	—
33	C₄×Dic₁₀₆	—	2	16	no	—
34	#13133176	—	2	8	no	—
35	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
36	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	4	yes	—
37	C₂×#11719919	—	2	4	no	—
38	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
39	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
40	#13133141	—	2	16	no	—
41	C₂²⋊#88322	—	2	4	no	—
42	C₄×#88322	—	2	4	no	—
43	C₂²×Q₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂³×C₄×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
45	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₄⋊Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
47	C₂²⋊Q₈×C₅₃	—	2	8	no	—
48	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
49	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
50	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
51	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
53	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
54	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
55	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	#95×C₅₃	—	2	4	no	—
58	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
60	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
61	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
62	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
63	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
64	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
65	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
66	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
67	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
68	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
69	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
70	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
71	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
72	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	4	yes	—
73	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
74	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
75	C₂×Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
76	C₂×Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
77	C₂×Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
78	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
79	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
80	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
81	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
82	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
83	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
84	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
85	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
86	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	8	no	—
87	C₄⋊Dic₅₃	—	2	8	no	—
88	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
89	C₄⋊Dic₅₃	C₂×D₄	1	8	yes	—
90	#11719919	—	2	16	no	—
91	C₄×Dic₅₃	—	2	8	no	—
92	C₂×#88322	—	2	4	no	—
93	C₂×#88322	—	2	4	no	—
94	C₂×#88322	—	2	4	no	—
95	C₂³×C₅₃	—	2	1	no	—
96	C₂³×C₅₃	—	2	1	no	—
97	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
98	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
99	C₂³×C₅₃	#124	1	2	yes	—
100	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
101	Q₈×C₅₃	—	4	8	no	—
102	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
103	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
104	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
105	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
106	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
107	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
108	C₂×C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
109	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
110	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
111	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
112	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
113	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
114	C₂×C₄×C₅₃	#120	1	4	yes	—
115	C₂×C₄×C₅₃	#124	1	2	yes	—
116	C₂×C₄×C₅₃	#135	1	4	yes	—
117	C₂×C₄×C₅₃	#137	1	4	yes	—
118	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
119	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
120	C₂×C₄×C₅₃	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
121	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
122	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
123	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
124	Dic₁₀₆	—	4	16	no	—
125	#88322	—	4	4	no	—
126	#25904	—	53	1	no	maximal, Sylow
127	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
128	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
129	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
130	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
131	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
132	C₂²×C₅₃	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
133	C₂²×C₅₃	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
134	C₂²×C₅₃	#536	1	1	yes	characteristic
135	C₂²×C₅₃	C₂×#135	1	2	yes	—
136	C₂²×C₅₃	C₂×#137	1	2	yes	—
137	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
138	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
139	C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
140	C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
141	C₄×C₅₃	#452	1	8	yes	—
142	C₄×C₅₃	#548	1	4	yes	—
143	Dic₅₃	—	4	8	no	—
144	C₂×#533	—	53	1	no	—
145	C₂×#487	—	53	2	no	—
146	#2857	D₅₃	1	1	yes	characteristic
147	#2026	—	53	4	no	—
148	#1990	—	53	2	no	—
149	#1873	—	53	4	no	—
150	C₄×C₂²⋊C₈	—	53	1	no	—
151	C₂×C₅₃	—	4	2	no	—
152	C₂×C₅₃	#2436	1	1	yes	characteristic
153	C₂×C₅₃	C₂×#452	1	2	yes	—
154	C₂×C₅₃	#3131	1	1	yes	characteristic
155	C₂×C₅₃	#3139	1	1	yes	characteristic
156	C₂×C₅₃	#3231	1	2	yes	—
157	#533	—	106	8	no	—
158	C₂×C₄⋊Q₈	—	53	2	no	—
159	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
160	C₂×#125	—	53	2	no	—
161	C₂×C₂²⋊Q₈	—	106	2	no	—
162	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
163	C₂×C₄×Q₈	—	106	2	no	—
164	C₂×#117	—	53	2	no	—
165	C₂²×C₄²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
166	#487	—	106	8	no	—
167	C₂×#103	—	53	8	no	—
168	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	2	no	—
169	C₂×C₄×C₈	—	53	2	no	—
170	#391	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
171	#389	—	2	2	no	—
172	#384	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
173	#380	—	2	2	no	—
174	#340	—	53	8	no	—
175	#336	—	53	2	no	—
176	C₅₃	#25904	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
177	C₂²×Q₈	—	106	2	no	—
178	C₂²×Q₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
179	C₂³×C₄	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
180	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
181	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
182	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
183	C₄⋊Q₈	—	53	8	no	—
184	C₄⋊Q₈	—	106	4	no	—
185	#125	—	106	8	no	—
186	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
187	C₂²⋊Q₈	—	106	16	no	—
188	C₄×Q₈	—	106	16	no	—
189	#117	—	106	8	no	—
190	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
191	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
192	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
193	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
194	C₂×C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
195	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
196	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
197	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
198	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
199	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
200	C₂×C₄²	—	106	2	no	—
201	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
202	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
203	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
204	#103	—	106	16	no	—
205	C₂²⋊C₈	—	106	4	no	—
206	C₄×C₈	—	106	4	no	—
207	#95	—	2	4	no	—
208	C₂⁴	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
209	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
210	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
211	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
212	C₂×Q₈	—	106	8	no	—
213	C₂×Q₈	—	212	4	no	—
214	C₂×Q₈	—	212	4	no	—
215	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
216	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
217	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
218	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
219	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
220	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
221	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
222	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
223	C₂²×C₄	#11719947	1	4	yes	—
224	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
225	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
226	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
227	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
228	C₂×C₈	—	106	4	no	—
229	C₂×C₈	—	106	4	no	—
230	C₂×C₈	—	106	4	no	—
231	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
232	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
233	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
234	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
235	C₄⋊C₄	—	53	8	no	—
236	C₄⋊C₄	—	106	16	no	—
237	C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
238	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
239	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
240	C₂²⋊C₄	—	106	8	no	—
241	C₄²	—	2	4	no	—
242	C₄²	—	2	2	no	—
243	C₄²	—	106	8	no	—
244	C₄²	D₄×D₅₃	1	4	yes	—
245	C₂³	—	2	1	no	—
246	C₂³	—	2	2	no	—
247	C₂³	—	2	2	no	—
248	C₂³	—	2	1	no	—
249	C₂³	#13133204	1	2	yes	—
250	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
251	Q₈	—	4	8	no	—
252	Q₈	—	212	16	no	—
253	C₂×C₄	—	2	1	no	—
254	C₂×C₄	—	2	1	no	—
255	C₂×C₄	—	2	8	no	—
256	C₂×C₄	—	2	2	no	—
257	C₂×C₄	—	2	2	no	—
258	C₂×C₄	—	2	2	no	—
259	C₂×C₄	—	4	8	no	—
260	C₂×C₄	—	4	2	no	—
261	C₂×C₄	—	4	2	no	—
262	C₂×C₄	—	4	2	no	—
263	C₂×C₄	—	4	4	no	—
264	C₂×C₄	—	4	2	no	—
265	C₂×C₄	—	106	8	no	—
266	C₂×C₄	—	212	4	no	—
267	C₂×C₄	—	212	4	no	—
268	C₂×C₄	#13133185	1	4	yes	—
269	C₂×C₄	#13133204	1	2	yes	—
270	C₂×C₄	#13133237	1	4	yes	—
271	C₂×C₄	#13133248	1	4	yes	—
272	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	2	yes	—
273	C₂×C₄	C₂×#11719947	1	2	yes	—
274	C₂×C₄	#13133264	1	2	yes	—
275	C₈	—	212	4	no	—
276	C₂²	—	2	2	no	—
277	C₂²	—	2	2	no	—
278	C₂²	—	2	2	no	—
279	C₂²	—	4	2	no	—
280	C₂²	—	4	2	no	—
281	C₂²	C₂×#13133185	1	1	yes	characteristic
282	C₂²	C₂×#13133204	1	1	yes	characteristic
283	C₂²	#16811194	1	1	yes	characteristic
284	C₂²	C₂×#13133237	1	2	yes	—
285	C₂²	C₂×#13133248	1	2	yes	—
286	C₄	—	2	2	no	—
287	C₄	—	4	2	no	—
288	C₄	—	8	2	no	—
289	C₄	—	8	2	no	—
290	C₄	—	212	8	no	—
291	C₄	#16810783	1	8	yes	—
292	C₄	#16811279	1	4	yes	—
293	C₂	—	4	2	no	—
294	C₂	#20278374	1	1	yes	characteristic
295	C₂	C₂×#16810783	1	2	yes	—
296	C₂	#20285037	1	1	yes	characteristic
297	C₂	#20285095	1	1	yes	characteristic
298	C₂	#20285870	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#2857	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
prime radical	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄
hypercenter	#2857	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#25904
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ #2857

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#16810973	C₂	semidirect
3. #20275866	C₂	semidirect
4. #20275675	C₂	semidirect
176. C₅₃	#25904	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16811180	2
C₂×#16810973	2
#20275866	2
#20275675	2
#20275028	2
C₄×C₂²⋊#88322	2
C₅₃×#2857	2
#25904	53