Subgroups — #27440718

Order 13568.

1218 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 328 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16810971	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#20283060	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20275858	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#20275677	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20275037	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	C₄×C₂²⋊#88322	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₂×C₅₃×#533	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂×#13133214	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂×#13133191	—	2	2	no	—
10	C₂×#13133191	C₂²	1	2	yes	—
11	#16810971	—	2	8	no	—
12	C₂×#13133137	C₂²	1	8	yes	—
13	C₂×C₂²⋊#88322	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×C₄×#88322	C₂²	1	2	yes	—
15	#16810525	—	2	2	no	—
16	#16810525	C₂²	1	2	yes	—
17	#16810493	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#16810385	C₂²	1	8	yes	—
19	#16810378	C₂²	1	2	yes	—
20	C₅₃×#533	—	2	8	no	—
21	C₂×C₄⋊Q₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#125×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₂²⋊Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
24	C₂×C₄×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
25	C₂×#117×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂²×C₄²×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂²×D₂₁₂	—	2	2	no	—
28	C₂²×D₂₁₂	C₂³	1	2	yes	—
29	C₂²×C₂²⋊D₅₃	—	2	2	no	—
30	C₂²×#88322	C₂³	1	4	yes	—
31	#13133214	—	2	4	no	—
32	#13133191	—	2	8	no	—
33	#13133191	—	4	8	no	—
34	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
35	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
36	C₂×#11719921	—	2	2	no	—
37	C₂×#11719921	—	2	4	no	—
38	#13133137	—	2	16	no	—
39	C₂²⋊#88322	—	2	4	no	—
40	C₄×#88322	—	2	4	no	—
41	C₂²×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
42	C₂³×C₄×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
43	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₄⋊Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
45	C₄⋊Q₈×C₅₃	D₄	1	8	yes	complemented
46	#125×C₅₃	—	2	8	no	—
47	C₂²⋊Q₈×C₅₃	—	2	16	no	—
48	C₄×Q₈×C₅₃	—	2	16	no	—
49	#117×C₅₃	—	2	8	no	—
50	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
51	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
52	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
53	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
54	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
55	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
56	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
57	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
60	C₂³×D₅₃	—	2	2	no	—
61	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	8	no	—
62	C₂×Q₈×C₅₃	—	4	4	no	—
63	C₂×Q₈×C₅₃	—	4	4	no	—
64	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
65	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
66	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
67	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
68	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
69	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
70	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
71	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
72	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
73	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	4	yes	—
74	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
75	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	8	no	—
76	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	4	no	—
77	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
78	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
79	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
80	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
81	C₂×D₂₁₂	—	4	4	no	—
82	C₂×D₂₁₂	—	4	4	no	—
83	C₂×D₂₁₂	—	4	4	no	—
84	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	16	no	—
85	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
86	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
87	C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	8	yes	—
88	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
89	C₄²×C₅₃	—	2	8	no	—
90	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
91	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
92	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
93	#11719921	—	4	8	no	—
94	#11719921	—	4	4	no	—
95	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
96	C₄⋊Dic₅₃	—	4	4	no	—
97	C₂×#88322	—	2	4	no	—
98	C₂×#88322	—	2	4	no	—
99	C₂×#88322	—	2	4	no	—
100	C₂³×C₅₃	—	2	1	no	—
101	C₂³×C₅₃	—	2	1	no	—
102	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
103	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
104	C₂³×C₅₃	#124	1	2	yes	—
105	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
106	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
107	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
108	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
109	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
110	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
111	Q₈×C₅₃	—	4	16	no	—
112	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
113	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
114	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
115	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
116	C₂×C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
117	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
118	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
119	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
120	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
121	C₂×C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
122	C₂×C₄×C₅₃	#120	1	4	yes	—
123	C₂×C₄×C₅₃	#124	1	2	yes	—
124	C₂×C₄×C₅₃	#135	1	4	yes	—
125	C₂×C₄×C₅₃	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
126	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
127	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
128	C₂×C₄×C₅₃	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
129	C₂²⋊D₅₃	—	8	8	no	—
130	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
131	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
132	D₂₁₂	—	4	8	no	—
133	D₂₁₂	—	8	8	no	—
134	#88322	—	4	4	no	—
135	#25905	—	53	1	no	maximal, Sylow
136	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
137	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
138	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
139	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
140	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
141	C₂²×C₅₃	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
142	C₂²×C₅₃	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
143	C₂²×C₅₃	#536	1	1	yes	characteristic
144	C₂²×C₅₃	C₂×#135	1	2	yes	—
145	C₂²×C₅₃	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
146	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
147	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
148	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
149	C₂×D₅₃	—	8	4	no	—
150	C₂×D₅₃	—	8	4	no	—
151	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
152	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
153	C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
154	C₄×C₅₃	#449	1	8	yes	—
155	C₄×C₅₃	#548	1	4	yes	—
156	Dic₅₃	—	8	2	no	—
157	C₂×#533	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
158	C₂×#486	—	53	2	no	—
159	#2856	—	53	1	no	—
160	#2025	—	53	4	no	—
161	#1990	—	53	2	no	—
162	#1875	—	53	4	no	—
163	C₄×C₂²⋊C₈	—	53	1	no	—
164	C₂×C₅₃	—	4	2	no	—
165	C₂×C₅₃	#2436	1	1	yes	characteristic
166	C₂×C₅₃	C₂×#449	1	2	yes	—
167	C₂×C₅₃	#3131	1	1	yes	characteristic
168	C₂×C₅₃	#3138	1	1	yes	characteristic
169	C₂×C₅₃	#3228	1	2	yes	—
170	D₅₃	—	16	2	no	—
171	#533	—	2	8	no	—
172	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
173	C₂×#127	—	53	1	no	—
174	C₂×#125	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
175	C₂×C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
176	C₂×#121	—	53	2	no	—
177	C₂×#121	—	106	2	no	—
178	C₂×C₄×Q₈	—	2	2	no	—
179	C₂×#117	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
180	C₂²×C₄²	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
181	#486	—	106	8	no	—
182	C₂×#102	—	53	8	no	—
183	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	2	no	—
184	C₂×C₄×C₈	—	53	2	no	—
185	#390	—	53	2	no	—
186	#390	—	106	2	no	—
187	#384	—	53	1	no	—
188	#340	—	53	8	no	—
189	#336	—	53	2	no	—
190	C₅₃	#25905	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
191	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
192	C₂²×D₄	—	53	2	no	—
193	C₂²×D₄	—	106	2	no	—
194	C₂²×D₄	—	106	2	no	—
195	C₂³×C₄	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
196	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
197	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
198	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
199	C₄⋊Q₈	C₂²⋊D₅₃	1	8	yes	complemented
200	#127	—	106	4	no	—
201	#125	—	2	8	no	—
202	C₂²⋊Q₈	—	2	16	no	—
203	#121	—	106	8	no	—
204	#121	—	212	8	no	—
205	C₄×Q₈	—	2	16	no	—
206	#117	—	2	8	no	—
207	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
208	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
209	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
210	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
211	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
212	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
213	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
214	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
215	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
216	C₂×C₄²	—	2	4	no	—
217	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
218	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
219	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
220	#102	—	106	16	no	—
221	C₂²⋊C₈	—	106	4	no	—
222	C₄×C₈	—	106	4	no	—
223	C₂⁴	—	106	2	no	—
224	C₂⁴	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
225	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
226	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
227	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
228	C₂×D₄	—	106	4	no	—
229	C₂×D₄	—	106	4	no	—
230	C₂×D₄	—	106	4	no	—
231	C₂×D₄	—	212	8	no	—
232	C₂×D₄	—	212	4	no	—
233	C₂×D₄	—	212	4	no	—
234	C₂×D₄	—	212	4	no	—
235	C₂×D₄	—	212	4	no	—
236	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
237	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
238	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
242	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
243	C₂²×C₄	#11719949	1	4	yes	—
244	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
245	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
246	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
247	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
248	C₂×C₈	—	106	4	no	—
249	C₂×C₈	—	106	4	no	—
250	C₂×C₈	—	106	4	no	—
251	C₄⋊C₄	—	2	16	no	—
252	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
253	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
254	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
255	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
256	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	8	yes	—
257	C₂²⋊C₄	—	2	8	no	—
258	C₂²⋊C₄	—	212	8	no	—
259	C₂²⋊C₄	—	212	4	no	—
260	C₄²	—	2	8	no	—
261	C₄²	—	2	4	no	—
262	C₄²	—	2	2	no	—
263	C₄²	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
264	C₂³	—	2	1	no	—
265	C₂³	—	2	2	no	—
266	C₂³	—	2	2	no	—
267	C₂³	—	2	1	no	—
268	C₂³	—	212	2	no	—
269	C₂³	—	212	2	no	—
270	C₂³	—	212	4	no	—
271	C₂³	—	212	4	no	—
272	C₂³	—	212	2	no	—
273	C₂³	#13133206	1	2	yes	—
274	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
275	Q₈	—	4	16	no	—
276	D₄	—	424	8	no	—
277	D₄	—	424	8	no	—
278	D₄	—	212	8	no	—
279	C₂×C₄	—	2	1	no	—
280	C₂×C₄	—	2	1	no	—
281	C₂×C₄	—	2	8	no	—
282	C₂×C₄	—	2	2	no	—
283	C₂×C₄	—	2	8	no	—
284	C₂×C₄	—	2	2	no	—
285	C₂×C₄	—	2	2	no	—
286	C₂×C₄	—	4	4	no	—
287	C₂×C₄	—	4	4	no	—
288	C₂×C₄	—	4	8	no	—
289	C₂×C₄	—	212	2	no	—
290	C₂×C₄	—	212	4	no	—
291	C₂×C₄	#13133186	1	4	yes	—
292	C₂×C₄	#13133206	1	2	yes	—
293	C₂×C₄	#13133237	1	4	yes	—
294	C₂×C₄	#13133242	1	4	yes	—
295	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
296	C₂×C₄	C₂×#11719949	1	2	yes	—
297	C₂×C₄	#13133265	1	2	yes	—
298	C₈	—	212	4	no	—
299	C₂²	—	2	2	no	—
300	C₂²	—	2	2	no	—
301	C₂²	—	2	2	no	—
302	C₂²	—	4	2	no	—
303	C₂²	—	4	2	no	—
304	C₂²	—	424	4	no	—
305	C₂²	—	424	2	no	—
306	C₂²	—	424	2	no	—
307	C₂²	—	424	4	no	—
308	C₂²	—	424	2	no	—
309	C₂²	C₂×#13133186	1	1	yes	characteristic
310	C₂²	C₂×#13133206	1	1	yes	characteristic
311	C₂²	#16811197	1	1	yes	characteristic
312	C₂²	C₂×#13133237	1	2	yes	—
313	C₂²	C₂×#13133242	1	2	yes	—
314	C₄	—	2	2	no	—
315	C₄	—	4	2	no	—
316	C₄	—	4	8	no	—
317	C₄	—	424	2	no	—
318	C₄	#16810768	1	8	yes	—
319	C₄	#16811284	1	4	yes	—
320	C₂	—	4	2	no	—
321	C₂	—	848	2	no	—
322	C₂	#20278369	1	1	yes	characteristic
323	C₂	C₂×#16810768	1	2	yes	—
324	C₂	#20285040	1	1	yes	characteristic
325	C₂	#20285091	1	1	yes	characteristic
326	C₂	#20285851	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₂×C₅₃×#533	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
prime radical	#20283060	C₂
hypercenter	C₂×#533	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#25905
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂²×C₄² ◁ C₂×#533

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#16810971	C₂	semidirect
3. #20275858	C₂	semidirect
4. #20275677	C₂	semidirect
5. #20275037	C₂	semidirect
6. C₄×C₂²⋊#88322	C₂	semidirect
7. C₂×C₅₃×#533	C₂	semidirect
45. C₄⋊Q₈×C₅₃	D₄	semidirect
157. C₂×#533	D₅₃	semidirect
190. C₅₃	#25905	semidirect
199. C₄⋊Q₈	C₂²⋊D₅₃	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16810971	2
#20283060	2
#20275858	2
#20275677	2
#20275037	2
C₄×C₂²⋊#88322	2
C₂×C₅₃×#533	2
#25905	53