Subgroups — #27440913

Order 13568.

950 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 416 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20288536	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20284198	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20280665	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#20275874	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#20275708	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#20275697	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#20275081	C₂	1	4	yes	maximal
8	#20274528	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₅₃×#3139	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#13133248	C₂²	1	2	yes	—
11	#16811351	—	2	2	no	—
12	#16811333	—	2	2	no	—
13	#16811327	—	2	4	no	—
14	#16811251	C₂²	1	2	yes	—
15	#16811250	—	2	2	no	—
16	#16811179	—	2	1	no	—
17	C₂×#13133209	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#125×D₅₃	—	2	1	no	—
19	#16811103	C₂²	1	2	yes	—
20	C₄×#11719945	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#16810830	—	2	2	no	—
22	#16810825	—	2	2	no	—
23	#16810647	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#13133143	C₂²	1	2	yes	—
25	#16810632	C₂²	1	2	yes	—
26	#16810561	—	2	4	no	—
27	#16810530	C₂²	1	4	yes	—
28	#16810469	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#16810391	C₂²	1	4	yes	—
30	#16810384	C₂²	1	2	yes	—
31	#16810382	C₂²	1	4	yes	—
32	C₅₃×#533	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂×C₄⋊Q₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₅₃×#491	—	2	1	no	—
35	C₅₃×#491	—	2	1	no	—
36	C₅₃×#487	—	2	2	no	—
37	C₅₃×#419	C₂²	1	4	yes	—
38	C₄×M₁₆×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂×#11719945	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	#13133248	—	2	8	no	—
41	C₂×#11719925	—	2	2	no	—
42	C₂×#11719924	—	2	2	no	—
43	C₂×#11719917	C₂³	1	2	yes	—
44	#13133217	—	2	2	no	—
45	#13133216	—	2	2	no	—
46	#13133215	—	2	4	no	—
47	#13133209	—	2	2	no	—
48	#13133209	—	2	1	no	—
49	#13133209	—	2	1	no	—
50	#13133209	—	2	2	no	—
51	#13133208	—	2	2	no	—
52	#13133207	—	2	4	no	—
53	#13133207	—	2	4	no	—
54	#13133195	—	2	4	no	—
55	#13133195	—	2	4	no	—
56	#13133194	—	2	4	no	—
57	#13133193	—	2	4	no	—
58	C₄×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
59	C₄×Dic₁₀₆	D₄	1	2	yes	—
60	#13133182	—	2	4	no	—
61	C₄×D₂₁₂	—	2	2	no	—
62	C₄×D₂₁₂	D₄	1	2	yes	—
63	C₄×C₂²⋊D₅₃	—	2	2	no	—
64	#13133177	—	2	4	no	—
65	#13133176	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	#13133175	—	2	2	no	—
67	#13133174	—	2	1	no	—
68	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂×#11719919	D₄	1	4	yes	—
70	C₄⋊C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
71	C₄⋊C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
72	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
73	C₄²×D₅₃	—	2	1	no	—
74	C₄⋊#88322	—	2	2	no	—
75	#13133143	—	2	4	no	—
76	#13133141	—	2	4	no	—
77	#13133124	—	2	2	no	—
78	#13133124	—	2	8	no	—
79	C₂²×Q₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
80	C₂×M₁₆×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
81	C₄⋊Q₈×C₅₃	—	2	1	no	—
82	C₄⋊Q₈×C₅₃	—	2	1	no	—
83	C₄⋊Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
84	C₄⋊Q₈×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
85	#125×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
86	#125×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
87	C₂²⋊Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
88	C₄×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
89	#117×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
90	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
91	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	#103×C₅₃	—	2	4	no	—
93	#103×C₅₃	—	2	4	no	—
94	#97×C₅₃	—	2	1	no	—
95	C₄×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
96	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
97	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
98	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
99	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
100	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
101	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
102	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
103	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
104	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	2	1	no	—
105	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
106	C₂²×Dic₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
107	#11719945	—	2	2	no	—
108	#11719945	#41	1	4	yes	—
109	C₂×D₂₁₂	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
110	C₂×C₄×D₅₃	—	2	1	no	—
111	C₂×C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
112	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
113	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
114	C₂×Dic₁₀₆	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
115	M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
116	M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
117	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
118	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
119	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
120	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
121	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
122	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
123	C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
124	C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
125	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
126	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
127	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
128	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
129	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
130	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
131	#11719925	—	4	4	no	—
132	#11719924	—	4	4	no	—
133	#11719921	—	2	4	no	—
134	#11719921	—	2	2	no	—
135	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
136	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
137	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
138	C₄⋊Dic₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
139	#11719919	—	2	4	no	—
140	#11719919	—	2	4	no	—
141	#11719919	—	2	4	no	—
142	#11719919	—	2	4	no	—
143	#11719919	—	2	4	no	—
144	#11719919	—	2	2	no	—
145	C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
146	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
147	C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
148	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
149	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
150	#11719917	—	2	4	no	—
151	C₂×#88322	—	2	2	no	—
152	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
153	C₂²×D₅₃	—	2	1	no	—
154	Q₈×C₅₃	—	4	2	no	—
155	Q₈×C₅₃	—	4	2	no	—
156	Q₈×C₅₃	—	4	4	no	—
157	Q₈×C₅₃	—	8	2	no	—
158	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
159	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
160	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
161	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
162	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
163	C₂×C₄×C₅₃	#120	1	2	yes	—
164	C₂×C₄×C₅₃	#120	1	2	yes	—
165	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
166	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
167	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
168	C₂×C₄×C₅₃	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
169	C₂²⋊D₅₃	—	2	4	no	—
170	C₂×Dic₅₃	—	2	1	no	—
171	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
172	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
173	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
174	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
175	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
176	D₂₁₂	—	2	1	no	—
177	D₂₁₂	#124	1	2	yes	—
178	C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
179	C₄×D₅₃	—	8	2	no	—
180	C₄×D₅₃	—	8	4	no	—
181	Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
182	Dic₁₀₆	—	8	4	no	—
183	Dic₁₀₆	#124	1	2	yes	—
184	C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
185	#88322	—	4	2	no	—
186	#25927	—	53	1	no	maximal, Sylow
187	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
188	C₂²×C₅₃	C₂×#120	1	1	yes	characteristic
189	C₂²×C₅₃	#548	1	2	yes	—
190	C₂×D₅₃	—	2	2	no	—
191	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
192	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
193	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
194	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
195	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
196	C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
197	C₄×C₅₃	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
198	C₄×C₅₃	#536	1	1	yes	characteristic
199	C₄×C₅₃	#548	1	2	yes	—
200	Dic₅₃	—	2	2	no	—
201	Dic₅₃	—	4	2	no	—
202	Dic₅₃	—	4	4	no	—
203	Dic₅₃	—	8	2	no	—
204	#3504	—	53	1	no	—
205	#3139	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
206	#3039	—	53	1	no	—
207	#2642	—	53	1	no	—
208	#2028	—	53	4	no	—
209	#1998	—	53	1	no	—
210	#1995	—	53	1	no	—
211	#1882	—	53	4	no	—
212	#1759	—	53	1	no	—
213	C₂×C₅₃	—	2	2	no	—
214	C₂×C₅₃	#2436	1	1	yes	characteristic
215	C₂×C₅₃	#3022	1	2	yes	—
216	D₅₃	—	4	2	no	—
217	C₂×#137	—	53	2	no	—
218	#557	—	106	2	no	—
219	#554	—	106	4	no	—
220	#554	—	106	2	no	—
221	#544	—	53	2	no	—
222	#544	—	106	2	no	—
223	#533	—	106	1	no	—
224	#533	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
225	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
226	C₂×#125	—	53	1	no	—
227	C₂×#125	—	106	1	no	—
228	#520	—	53	2	no	—
229	C₄×#41	—	53	1	no	—
230	#491	—	2	1	no	—
231	#491	—	2	1	no	—
232	#487	—	2	2	no	—
233	#462	—	106	2	no	—
234	#461	—	106	2	no	—
235	#423	—	53	1	no	—
236	C₂×#104	—	53	2	no	—
237	#419	—	53	2	no	—
238	#419	C₂×D₅₃	1	4	yes	—
239	C₄×M₁₆	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
240	#400	—	106	4	no	—
241	#391	—	53	4	no	—
242	#376	—	53	1	no	—
243	#343	—	53	4	no	—
244	#339	—	53	2	no	—
245	#339	—	53	4	no	—
246	C₅₃	#25927	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
247	C₂×#41	—	53	1	no	—
248	C₂²×Q₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
249	#137	—	106	8	no	—
250	C₂×Q₁₆	—	106	2	no	—
251	C₂×SD₁₆	—	106	2	no	—
252	C₂×M₁₆	—	53	2	no	—
253	C₂×M₁₆	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
254	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
255	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
256	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
257	C₄⋊Q₈	—	106	2	no	—
258	C₄⋊Q₈	—	106	4	no	—
259	C₄⋊Q₈	—	106	2	no	—
260	C₄⋊Q₈	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
261	#125	—	106	2	no	—
262	#125	—	106	4	no	—
263	#125	—	106	4	no	—
264	#125	—	106	2	no	—
265	#125	—	106	2	no	—
266	#125	—	106	1	no	—
267	#125	—	106	1	no	—
268	#125	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
269	#125	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
270	C₂²⋊Q₈	—	2	2	no	—
271	C₂²⋊Q₈	—	106	4	no	—
272	C₂²⋊Q₈	—	106	4	no	—
273	C₂²⋊Q₈	—	106	4	no	—
274	C₂²⋊Q₈	—	106	4	no	—
275	C₄×Q₈	—	2	2	no	—
276	C₄×Q₈	—	53	2	no	—
277	C₄×Q₈	—	106	2	no	—
278	C₄×Q₈	—	106	4	no	—
279	C₄×D₄	—	53	2	no	—
280	C₄×D₄	—	106	2	no	—
281	C₄×D₄	—	106	4	no	—
282	C₄×D₄	—	106	2	no	—
283	#117	—	53	1	no	—
284	#117	—	106	2	no	—
285	#117	—	106	1	no	—
286	#117	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
287	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
288	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
289	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
290	C₂×C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
291	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
292	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
293	C₂×C₄²	—	106	1	no	—
294	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
295	C₄⋊C₈	—	106	2	no	—
296	#104	—	106	4	no	—
297	#103	—	2	4	no	—
298	#103	—	2	4	no	—
299	#103	—	106	4	no	—
300	#97	—	2	1	no	—
301	C₄×C₈	—	2	1	no	—
302	#95	—	106	8	no	—
303	#95	—	106	2	no	—
304	#41	—	53	4	no	—
305	#41	—	106	2	no	—
306	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
307	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
308	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
309	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
310	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
311	C₂×Q₈	—	53	1	no	—
312	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
313	C₂×D₄	—	53	1	no	—
314	C₂×D₄	—	106	1	no	—
315	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
316	C₂²×C₄	—	53	4	no	—
317	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
318	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
319	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
320	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
321	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
322	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
323	Q₁₆	—	212	4	no	—
324	SD₁₆	—	212	4	no	—
325	M₁₆	—	2	2	no	—
326	M₁₆	—	2	2	no	—
327	M₁₆	—	106	4	no	—
328	C₂×C₈	—	2	2	no	—
329	C₂×C₈	—	106	2	no	—
330	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
331	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
332	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
333	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
334	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
335	C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
336	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
337	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
338	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
339	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
340	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
341	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
342	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
343	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
344	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
345	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
346	C₄⋊C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
347	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
348	C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
349	C₂²⋊C₄	—	106	1	no	—
350	C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
351	C₄²	—	2	2	no	—
352	C₄²	—	106	4	no	—
353	C₄²	—	106	2	no	—
354	C₄²	—	106	1	no	—
355	C₄²	—	106	2	no	—
356	C₄²	—	106	2	no	—
357	C₄²	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
358	C₄²	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
359	C₄²	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
360	C₂³	—	106	1	no	—
361	C₂³	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
362	Q₈	—	4	4	no	—
363	Q₈	—	4	2	no	—
364	Q₈	—	4	2	no	—
365	Q₈	—	8	2	no	—
366	Q₈	—	53	2	no	—
367	Q₈	—	106	1	no	—
368	Q₈	—	424	4	no	—
369	D₄	—	53	2	no	—
370	D₄	—	106	4	no	—
371	D₄	—	106	1	no	—
372	C₂×C₄	—	2	2	no	—
373	C₂×C₄	—	2	2	no	—
374	C₂×C₄	—	4	2	no	—
375	C₂×C₄	—	4	4	no	—
376	C₂×C₄	—	4	2	no	—
377	C₂×C₄	—	106	1	no	—
378	C₂×C₄	—	106	4	no	—
379	C₂×C₄	—	106	2	no	—
380	C₂×C₄	—	106	4	no	—
381	C₂×C₄	—	424	2	no	—
382	C₂×C₄	—	424	4	no	—
383	C₂×C₄	—	212	4	no	—
384	C₂×C₄	—	212	2	no	—
385	C₂×C₄	—	212	4	no	—
386	C₂×C₄	#13133185	1	2	yes	—
387	C₂×C₄	#13133185	1	2	yes	—
388	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
389	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
390	C₂×C₄	#41×D₅₃	1	2	yes	—
391	C₂×C₄	#13133264	1	2	yes	—
392	C₈	—	4	2	no	—
393	C₈	—	212	2	no	—
394	C₂²	—	2	2	no	—
395	C₂²	—	106	2	no	—
396	C₂²	—	212	2	no	—
397	C₂²	C₂×#13133185	1	1	yes	characteristic
398	C₂²	#16811281	1	2	yes	—
399	C₄	—	2	2	no	—
400	C₄	—	2	2	no	—
401	C₄	—	4	2	no	—
402	C₄	—	4	2	no	—
403	C₄	—	8	2	no	—
404	C₄	—	106	2	no	—
405	C₄	—	424	2	no	—
406	C₄	—	212	4	no	—
407	C₄	—	212	2	no	—
408	C₄	#124×D₅₃	1	1	yes	characteristic
409	C₄	#16811193	1	1	yes	characteristic
410	C₄	#16811280	1	2	yes	—
411	C₂	—	2	2	no	—
412	C₂	—	212	2	no	—
413	C₂	#20278370	1	1	yes	characteristic
414	C₂	#20284091	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂×#13133185
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#3139	C₂
socle	C₂²×C₅₃	C₂×#120
prime radical	C₂×#11719945	C₂³
hypercenter	#3139	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#25927
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ #3139

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. #20280665	C₂	semidirect
4. #20275874	C₂	semidirect
5. #20275708	C₂	semidirect
6. #20275697	C₂	semidirect
9. C₅₃×#3139	C₂	semidirect
205. #3139	D₅₃	semidirect
246. C₅₃	#25927	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20288536	2
#20284198	2
#20280665	2
#20275874	2
#20275708	2
#20275697	2
#20275081	2
#20274528	2
C₅₃×#3139	2
#25927	53