Subgroups — #27442992

Order 13568.

690 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 412 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20285246	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#20284576	C₂	1	2	yes	maximal
3	#20283306	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#20276229	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20276058	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#20275461	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#20274944	C₂	1	2	yes	maximal
8	#20274870	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#20274771	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	#20274554	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
11	C₅₃×#1951	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#13133223	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	#16811251	C₂²	1	2	yes	—
14	#16811104	C₂²	1	2	yes	—
15	#16811032	—	2	2	no	—
16	#16811025	—	2	1	no	—
17	#16811021	—	2	1	no	—
18	#16810929	—	2	2	no	—
19	#16810926	—	2	2	no	—
20	#16810912	—	2	2	no	—
21	#16810907	—	2	2	no	—
22	#16810665	C₂²	1	2	yes	—
23	#16810663	C₂²	1	2	yes	—
24	#16810662	—	2	2	no	—
25	#16810661	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#16810658	—	2	1	no	—
27	C₂×#13133149	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×#13133148	C₂²	1	2	yes	—
29	#106×D₅₃	—	2	1	no	—
30	#16810651	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#13133143	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	#16810625	C₂²	1	2	yes	—
33	#16810617	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×C₈×Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#16810492	C₂²	1	2	yes	—
36	#16810391	C₂²	1	2	yes	—
37	#16810387	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	#16810384	C₂²	1	2	yes	—
39	#16810382	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₂×#108×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₅₃×#428	C₂²	1	2	yes	—
42	C₂×#106×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₅₃×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
44	C₅₃×#343	C₂²	1	2	yes	—
45	C₂×#11719945	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	#13133223	—	2	2	no	—
47	#13133223	Q₈	1	4	yes	complemented
48	C₂×#11719917	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂×#11719912	—	2	1	no	—
50	C₂²×#88322	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂×C₈×D₅₃	—	2	1	no	—
52	#13133217	—	2	2	no	—
53	#13133216	—	2	2	no	—
54	#13133209	—	2	2	no	—
55	#13133208	—	2	2	no	—
56	#13133194	—	4	2	no	—
57	#13133182	—	2	2	no	—
58	#13133179	—	2	2	no	—
59	C₄×C₂²⋊D₅₃	—	4	2	no	—
60	#13133176	C₂³	1	2	yes	—
61	#13133175	—	2	2	no	—
62	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
63	C₂×#11719919	—	4	2	no	—
64	C₄⋊C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
65	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	#13133151	—	2	2	no	—
67	#13133151	D₄	1	2	yes	—
68	#13133150	—	2	2	no	—
69	#13133149	—	2	1	no	—
70	#13133149	—	2	1	no	—
71	#13133149	—	2	2	no	—
72	#13133149	D₄	1	1	yes	characteristic
73	#13133149	D₄	1	1	yes	characteristic
74	#13133148	—	2	2	no	—
75	#13133148	—	2	2	no	—
76	#13133148	—	2	2	no	—
77	#13133146	—	2	2	no	—
78	#13133146	—	2	2	no	—
79	#13133143	Q₈	1	4	yes	complemented
80	#13133142	—	2	2	no	—
81	#13133140	D₄	1	2	yes	—
82	#13133139	—	2	2	no	—
83	#13133137	D₄	1	2	yes	—
84	C₈×Dic₅₃	—	2	2	no	—
85	C₂×M₁₆×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
86	C₂×M₁₆×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
87	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
88	#117×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
90	#108×C₅₃	—	2	2	no	—
91	#107×C₅₃	—	2	2	no	—
92	#106×C₅₃	—	2	1	no	—
93	#106×C₅₃	—	2	1	no	—
94	#106×C₅₃	—	2	2	no	—
95	#97×C₅₃	—	2	1	no	—
96	C₄×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
97	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
98	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
99	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	2	1	no	—
100	C₂²×Dic₅₃	—	2	1	no	—
101	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
102	#11719945	—	2	1	no	—
103	#11719945	—	2	1	no	—
104	#11719945	C₂×Q₈	1	2	yes	—
105	#11719945	C₂×Q₈	1	2	yes	—
106	C₂×D₂₁₂	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂×C₄×D₅₃	—	2	1	no	—
108	C₂×C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
109	C₂×Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
110	C₂×Dic₁₀₆	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
111	M₁₆×C₅₃	—	2	1	no	—
112	M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
113	M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
114	M₁₆×C₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
115	C₂×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
116	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
117	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
118	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂×C₈×C₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
120	C₂×C₈×C₅₃	#41	1	2	yes	—
121	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
122	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
123	C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
124	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
125	C₄²×C₅₃	—	2	1	no	—
126	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
127	#11719921	—	4	2	no	—
128	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
129	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
130	C₄⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
131	C₄⋊Dic₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
132	C₄⋊Dic₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
133	#11719919	—	4	2	no	—
134	#11719919	—	4	2	no	—
135	#11719919	—	4	2	no	—
136	#11719919	—	8	4	no	—
137	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
138	C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
139	C₄×Dic₅₃	—	4	2	no	—
140	C₄×Dic₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
141	#11719917	—	2	1	no	—
142	#11719917	C₂×Q₈	1	2	yes	—
143	C₂×#88322	—	2	1	no	—
144	C₂×#88322	—	2	1	no	—
145	C₂×#88322	—	2	1	no	—
146	C₂×#88322	C₂×D₄	1	2	yes	—
147	#11719912	—	2	4	no	—
148	C₈×D₅₃	—	2	4	no	—
149	C₂³×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
150	C₂²×D₅₃	—	2	1	no	—
151	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
152	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
153	C₂×C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
154	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
155	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
156	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
157	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
158	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
159	C₂×C₄×C₅₃	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
160	C₂²⋊D₅₃	—	2	2	no	—
161	C₂²⋊D₅₃	—	2	2	no	—
162	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
163	C₂×Dic₅₃	—	2	1	no	—
164	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
165	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
166	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
167	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
168	C₂×Dic₅₃	—	8	2	no	—
169	D₂₁₂	—	2	1	no	—
170	D₂₁₂	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
171	C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
172	C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
173	C₄×D₅₃	—	16	2	no	—
174	Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
175	Dic₁₀₆	—	16	2	no	—
176	Dic₁₀₆	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
177	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
178	C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
179	C₈×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
180	C₈×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
181	#88322	—	2	2	no	—
182	#88322	—	2	2	no	—
183	#26081	—	53	1	no	maximal, Sylow
184	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
185	C₂²×C₅₃	#544	1	1	yes	characteristic
186	C₂²×C₅₃	D₄²	1	1	yes	characteristic
187	C₂²×C₅₃	#554	1	1	yes	characteristic
188	C₂×D₅₃	—	2	2	no	—
189	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
190	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
191	C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
192	C₄×C₅₃	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
193	C₄×C₅₃	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
194	C₄×C₅₃	#547	1	1	yes	characteristic
195	C₄×C₅₃	D₄×Q₈	1	1	yes	characteristic
196	Dic₅₃	—	2	4	no	—
197	Dic₅₃	—	2	2	no	—
198	Dic₅₃	—	4	2	no	—
199	Dic₅₃	—	4	2	no	—
200	Dic₅₃	—	8	2	no	—
201	#3163	—	53	1	no	—
202	#3084	—	53	2	no	—
203	#2912	—	53	1	no	—
204	#2090	—	53	2	no	—
205	#2060	—	53	2	no	—
206	#1951	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
207	#1945	—	53	1	no	—
208	#1859	—	53	2	no	—
209	#1844	—	53	1	no	—
210	#1815	—	53	1	no	—
211	#1764	—	53	1	no	—
212	C₂×C₅₃	—	2	1	no	—
213	C₂×C₅₃	—	2	1	no	—
214	C₂×C₅₃	#2440	1	1	yes	characteristic
215	C₂×C₅₃	#3291	1	2	yes	—
216	D₅₃	—	4	2	no	—
217	C₂×#131	—	53	1	no	—
218	#544	—	53	2	no	—
219	#520	—	53	2	no	—
220	#501	—	106	2	no	—
221	#499	—	106	1	no	—
222	#498	—	106	1	no	—
223	#479	—	106	2	no	—
224	#478	—	106	2	no	—
225	#476	—	106	2	no	—
226	#475	—	106	2	no	—
227	C₂×#108	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
228	#428	—	53	2	no	—
229	#428	—	53	2	no	—
230	#428	—	106	2	no	—
231	#428	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
232	#427	—	53	1	no	—
233	#427	—	106	1	no	—
234	C₂×#106	—	53	1	no	—
235	C₂×#106	—	53	2	no	—
236	C₂×#106	—	106	1	no	—
237	C₂×#106	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
238	#424	—	53	2	no	—
239	C₂×#104	—	53	1	no	—
240	#417	—	53	2	no	—
241	#416	—	53	1	no	—
242	#405	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
243	C₂×C₄×C₈	—	53	1	no	—
244	#384	—	53	2	no	—
245	#343	—	53	2	no	—
246	#343	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
247	#341	—	53	1	no	—
248	#339	—	53	2	no	—
249	#339	—	53	1	no	—
250	C₅₃	#26081	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
251	C₂×#41	—	53	1	no	—
252	#131	—	53	4	no	—
253	#131	—	106	2	no	—
254	C₂×M₁₆	—	53	1	no	—
255	C₂×M₁₆	—	106	1	no	—
256	C₂×M₁₆	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
257	C₂×M₁₆	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
258	C₂²×C₈	—	53	1	no	—
259	C₂²×C₈	—	106	1	no	—
260	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
261	C₄⋊Q₈	—	106	2	no	—
262	C₄⋊Q₈	—	106	2	no	—
263	#125	—	106	2	no	—
264	#125	—	106	2	no	—
265	C₂²⋊Q₈	—	212	2	no	—
266	C₄×Q₈	—	106	2	no	—
267	C₄×D₄	—	106	2	no	—
268	C₄×D₄	—	212	2	no	—
269	#117	—	53	2	no	—
270	#117	—	106	2	no	—
271	#117	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
272	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
273	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
274	C₂×C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
275	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
276	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
277	#108	—	2	2	no	—
278	#107	—	2	2	no	—
279	#107	—	53	2	no	—
280	#107	—	106	2	no	—
281	#107	—	106	2	no	—
282	#106	—	2	1	no	—
283	#106	—	2	1	no	—
284	#106	—	2	2	no	—
285	#106	—	53	1	no	—
286	#106	—	53	1	no	—
287	#106	—	106	2	no	—
288	#106	—	106	2	no	—
289	#106	—	106	2	no	—
290	#106	—	106	2	no	—
291	#106	—	106	1	no	—
292	#106	—	106	1	no	—
293	C₄⋊C₈	—	106	2	no	—
294	C₄⋊C₈	—	106	2	no	—
295	#104	—	53	4	no	—
296	#103	—	53	2	no	—
297	#103	—	106	2	no	—
298	#102	—	53	2	no	—
299	#102	—	106	2	no	—
300	#97	—	2	1	no	—
301	C₄×C₈	—	2	1	no	—
302	C₄×C₈	—	106	2	no	—
303	#41	—	53	2	no	—
304	#41	—	53	2	no	—
305	#41	—	106	1	no	—
306	#41	—	106	1	no	—
307	C₂×Q₈	—	53	1	no	—
308	C₂×Q₈	—	212	2	no	—
309	C₂×D₄	—	53	1	no	—
310	C₂×D₄	—	106	1	no	—
311	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
312	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
313	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
314	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
315	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
316	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
317	M₁₆	—	2	1	no	—
318	M₁₆	—	2	2	no	—
319	M₁₆	—	2	2	no	—
320	M₁₆	—	53	2	no	—
321	M₁₆	—	106	1	no	—
322	M₁₆	—	106	4	no	—
323	M₁₆	Q₈×D₅₃	1	2	yes	—
324	C₂×C₈	—	2	1	no	—
325	C₂×C₈	—	2	2	no	—
326	C₂×C₈	—	53	2	no	—
327	C₂×C₈	—	106	1	no	—
328	C₂×C₈	—	106	1	no	—
329	C₂×C₈	—	106	1	no	—
330	C₂×C₈	—	106	4	no	—
331	C₂×C₈	#11719945	1	2	yes	—
332	C₂×C₈	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
333	C₂×C₈	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₈	Q₈×D₅₃	1	2	yes	—
335	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
336	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
337	C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
338	C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
339	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
340	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
341	C₄⋊C₄	—	424	4	no	—
342	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
343	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
344	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
345	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
346	C₄⋊C₄	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
347	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
348	C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
349	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
350	C₄²	—	2	1	no	—
351	C₄²	—	53	2	no	—
352	C₄²	—	106	2	no	—
353	C₄²	—	106	1	no	—
354	C₄²	—	212	2	no	—
355	C₂³	—	106	1	no	—
356	C₂³	#13133263	1	1	yes	characteristic
357	Q₈	—	53	2	no	—
358	Q₈	—	848	2	no	—
359	Q₈	—	106	1	no	—
360	D₄	—	53	2	no	—
361	D₄	—	106	2	no	—
362	D₄	—	106	2	no	—
363	D₄	—	106	1	no	—
364	C₂×C₄	—	2	2	no	—
365	C₂×C₄	—	4	2	no	—
366	C₂×C₄	—	8	2	no	—
367	C₂×C₄	—	848	2	no	—
368	C₂×C₄	—	106	4	no	—
369	C₂×C₄	—	106	2	no	—
370	C₂×C₄	—	106	1	no	—
371	C₂×C₄	—	106	2	no	—
372	C₂×C₄	—	106	2	no	—
373	C₂×C₄	—	106	2	no	—
374	C₂×C₄	—	106	2	no	—
375	C₂×C₄	—	424	2	no	—
376	C₂×C₄	—	212	2	no	—
377	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
378	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
379	C₂×C₄	C₂×Q₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
380	C₂×C₄	C₂×Q₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
381	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	1	yes	characteristic
382	C₂×C₄	#13133264	1	1	yes	characteristic
383	C₈	—	2	2	no	—
384	C₈	—	4	2	no	—
385	C₈	—	106	2	no	—
386	C₈	—	106	2	no	—
387	C₈	#13133195	1	2	yes	—
388	C₈	#13133195	1	2	yes	—
389	C₂²	—	2	2	no	—
390	C₂²	—	106	2	no	—
391	C₂²	—	212	2	no	—
392	C₂²	#16811253	1	1	yes	characteristic
393	C₂²	#16811257	1	1	yes	characteristic
394	C₂²	#16811333	1	1	yes	characteristic
395	C₄	—	4	2	no	—
396	C₄	—	8	2	no	—
397	C₄	—	106	4	no	—
398	C₄	—	106	2	no	—
399	C₄	—	424	2	no	—
400	C₄	—	212	2	no	—
401	C₄	—	212	2	no	—
402	C₄	C₂×#13133195	1	1	yes	characteristic
403	C₄	C₄⋊Q₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
404	C₄	#16811278	1	1	yes	characteristic
405	C₄	#16811286	1	1	yes	characteristic
406	C₂	—	2	1	no	—
407	C₂	—	2	1	no	—
408	C₂	—	212	2	no	—
409	C₂	#20278419	1	1	yes	characteristic
410	C₂	#20286507	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²	#16811257
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#1951	C₂
socle	C₂²×C₅₃	D₄²
prime radical	C₂×#11719945	C₂³
hypercenter	#1951	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#26081
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×C₄ ◁ #1951

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #20285246	C₂	semidirect
4. #20276229	C₂	semidirect
5. #20276058	C₂	semidirect
6. #20275461	C₂	semidirect
8. #20274870	C₂	semidirect
11. C₅₃×#1951	C₂	semidirect
47. #13133223	Q₈	semidirect
79. #13133143	Q₈	semidirect
206. #1951	D₅₃	semidirect
250. C₅₃	#26081	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20285246	2
#20284576	2
#20283306	2
#20276229	2
#20276058	2
#20275461	2
#20274944	2
#20274870	2
#20274771	2
#20274554	2
C₅₃×#1951	2
#26081	53