Subgroups — #27465169

Order 13568.

794 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 408 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20277299	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20276259	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#20276254	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#20276134	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#20276134	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#20275356	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#20275349	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#20274912	C₂	1	2	yes	maximal
9	#20274786	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	#20274649	C₂	1	2	yes	maximal
11	C₅₃×#2314	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	C₂³×Dic₁₀₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#13133176	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#13133150	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#13133148	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#13133140	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#13133140	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#13133140	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#13133140	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₂²⋊#88322	C₂²	1	2	yes	—
21	#16810529	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#16810529	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#16810529	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#16810529	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#16810528	—	2	2	no	—
26	#16810484	—	2	2	no	—
27	#16810385	C₂²	1	2	yes	—
28	#16810385	C₂²	1	2	yes	—
29	#16810378	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#16810378	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#16810378	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×#117×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₅₃×#388	—	2	2	no	—
34	C₅₃×#387	—	2	2	no	—
35	C₅₃×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₅₃×#382	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₅₃×#380	C₂²	1	2	yes	—
38	C₄×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
40	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
41	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
42	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
43	C₂²×Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
44	C₂²×Dic₁₀₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
45	C₂²×Dic₁₀₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	C₂³×Dic₅₃	—	2	1	no	—
47	C₂²×#88322	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂²×#88322	C₂³	1	2	yes	—
49	#13133176	—	4	2	no	—
50	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
53	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
54	#13133150	—	4	2	no	—
55	#13133148	—	4	2	no	—
56	#13133140	—	2	4	no	—
57	#13133140	—	2	4	no	—
58	#13133140	—	4	2	no	—
59	#13133140	—	4	2	no	—
60	C₂²⋊#88322	—	2	4	no	—
61	#13133124	—	2	2	no	—
62	#13133124	—	2	2	no	—
63	#13133124	—	2	2	no	—
64	#13133124	—	2	2	no	—
65	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	#117×C₅₃	—	2	4	no	—
67	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
68	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
69	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
72	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
73	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
74	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	#95×C₅₃	—	2	2	no	—
77	#95×C₅₃	—	2	2	no	—
78	#95×C₅₃	—	2	2	no	—
79	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
80	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
81	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
82	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
83	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
84	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
85	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
86	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
87	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
88	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	4	yes	—
89	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
90	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
91	C₂²×Dic₅₃	—	2	1	no	—
92	C₂²×Dic₅₃	—	2	1	no	—
93	C₂²×Dic₅₃	—	2	1	no	—
94	C₂²×Dic₅₃	—	2	1	no	—
95	C₂²×Dic₅₃	—	4	2	no	—
96	C₂²×Dic₅₃	—	4	2	no	—
97	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
98	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
99	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
100	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
101	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
102	C₂×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
103	C₂×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
104	C₂×Dic₁₀₆	—	4	8	no	—
105	C₂×Dic₁₀₆	—	4	8	no	—
106	C₂×Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
107	C₂×Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
108	C₂×Dic₁₀₆	#41	1	2	yes	—
109	C₂×Dic₁₀₆	#41	1	2	yes	—
110	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
111	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
112	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
113	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
114	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
115	C₄⋊C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
116	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
117	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
118	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
119	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
120	C₄²×C₅₃	—	8	2	no	—
121	C₂²⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
122	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
123	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
124	C₄×Dic₅₃	—	4	2	no	—
125	C₂×#88322	—	2	2	no	—
126	C₂×#88322	—	2	2	no	—
127	C₂×#88322	—	2	2	no	—
128	C₂×#88322	—	2	2	no	—
129	C₂×#88322	—	2	2	no	—
130	C₂×#88322	—	2	2	no	—
131	C₂³×C₅₃	—	2	1	no	—
132	C₂³×C₅₃	—	2	1	no	—
133	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
134	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
135	C₂³×C₅₃	#123	1	2	yes	—
136	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
138	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
139	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
140	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
141	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
142	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
143	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
144	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
145	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
146	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
147	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
148	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
149	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
150	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
151	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
152	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
153	C₂×C₄×C₅₃	#123	1	2	yes	—
154	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
155	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
156	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
157	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
158	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
159	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
160	C₂×Dic₅₃	—	4	8	no	—
161	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
162	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
163	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
164	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
165	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
166	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
167	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
168	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
169	Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
170	Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
171	Dic₁₀₆	—	4	8	no	—
172	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
173	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
174	#88322	—	4	2	no	—
175	#88322	—	4	2	no	—
176	#27596	—	53	1	no	maximal, Sylow
177	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
178	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
179	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
180	C₂²×C₅₃	—	4	1	no	—
181	C₂²×C₅₃	—	4	1	no	—
182	C₂²×C₅₃	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
183	C₂²×C₅₃	#525	1	1	yes	characteristic
184	C₂²×C₅₃	#535	1	1	yes	characteristic
185	C₂²×C₅₃	#577	1	2	yes	—
186	C₂²×C₅₃	#578	1	2	yes	—
187	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
188	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
189	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
190	C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
191	C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
192	C₄×C₅₃	#551	1	2	yes	—
193	C₄×C₅₃	#551	1	2	yes	—
194	Dic₅₃	—	4	2	no	—
195	Dic₅₃	—	4	2	no	—
196	Dic₅₃	—	8	1	no	—
197	Dic₅₃	—	8	1	no	—
198	#2314	D₅₃	1	1	yes	characteristic
199	#2310	—	53	1	no	—
200	#2096	—	53	1	no	—
201	#2095	—	53	1	no	—
202	#2074	—	53	1	no	—
203	#2074	—	53	1	no	—
204	#1928	—	53	2	no	—
205	#1927	—	53	2	no	—
206	#1854	—	53	2	no	—
207	#1818	—	53	1	no	—
208	#1787	—	53	2	no	—
209	C₂×C₅₃	—	4	2	no	—
210	C₂×C₅₃	#2482	1	1	yes	characteristic
211	C₂×C₅₃	#3097	1	2	yes	—
212	C₂×C₅₃	#3121	1	2	yes	—
213	C₂×C₅₃	#3221	1	1	yes	characteristic
214	C₂×C₅₃	#3223	1	1	yes	characteristic
215	C₂³×Q₈	—	53	1	no	—
216	C₂×#117	—	53	1	no	—
217	C₂×#117	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
218	C₂×#107	—	53	2	no	—
219	C₂×#106	—	53	2	no	—
220	C₂×#103	—	53	2	no	—
221	C₂×#103	—	53	2	no	—
222	C₂×#103	—	53	2	no	—
223	C₂×#103	—	53	2	no	—
224	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	2	no	—
225	#391	—	53	1	no	—
226	#391	—	53	1	no	—
227	#391	—	53	1	no	—
228	#391	—	53	1	no	—
229	#391	—	106	2	no	—
230	#388	—	2	2	no	—
231	#387	—	2	2	no	—
232	#384	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
233	#382	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
234	#381	—	106	2	no	—
235	#380	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
236	C₄×C₄⋊C₄	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
237	#340	—	53	2	no	—
238	#340	—	53	2	no	—
239	#336	—	53	1	no	—
240	#336	—	53	1	no	—
241	#336	—	53	2	no	—
242	C₅₃	#27596	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
243	C₂²×Q₈	—	53	1	no	—
244	C₂²×Q₈	—	53	1	no	—
245	C₂²×Q₈	—	106	2	no	—
246	C₂²×Q₈	—	106	2	no	—
247	C₂²×Q₈	—	106	1	no	—
248	C₂²×Q₈	—	106	4	no	—
249	C₂²×Q₈	—	212	2	no	—
250	C₂³×C₄	—	106	1	no	—
251	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
252	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
253	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
254	#117	—	2	4	no	—
255	#117	—	212	2	no	—
256	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
257	C₂×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
258	C₂×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
259	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
260	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
261	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
262	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
263	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	1	no	—
264	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
265	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
266	C₂×C₄²	—	106	1	no	—
267	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
268	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
269	#107	—	212	2	no	—
270	#106	—	212	2	no	—
271	#103	—	106	4	no	—
272	#103	—	106	4	no	—
273	#103	—	212	2	no	—
274	#103	—	212	2	no	—
275	C₂²⋊C₈	—	106	4	no	—
276	#95	—	2	2	no	—
277	#95	—	2	2	no	—
278	#95	—	2	2	no	—
279	#95	—	106	2	no	—
280	#95	—	106	2	no	—
281	#95	—	106	2	no	—
282	#95	—	106	2	no	—
283	C₂⁴	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
284	C₂×Q₈	—	53	2	no	—
285	C₂×Q₈	—	53	2	no	—
286	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
287	C₂×Q₈	—	106	1	no	—
288	C₂×Q₈	—	106	1	no	—
289	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
290	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
291	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
292	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
293	C₂×Q₈	—	212	8	no	—
294	C₂×Q₈	—	212	8	no	—
295	C₂×Q₈	—	212	2	no	—
296	C₂×Q₈	—	212	2	no	—
297	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
298	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
299	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
300	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
301	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
303	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
304	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
305	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
306	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
307	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
308	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
309	C₂²×C₄	#11719945	1	4	yes	—
310	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
311	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
312	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
313	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
314	C₂×C₈	—	106	2	no	—
315	C₂×C₈	—	106	2	no	—
316	C₂×C₈	—	106	2	no	—
317	C₂×C₈	—	106	2	no	—
318	C₂×C₈	—	106	2	no	—
319	C₂×C₈	—	106	2	no	—
320	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
321	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
322	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
323	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
324	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
325	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
326	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
327	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
328	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
329	C₂²⋊C₄	—	8	2	no	—
330	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
331	C₄²	—	2	2	no	—
332	C₄²	—	2	2	no	—
333	C₄²	—	8	2	no	—
334	C₄²	—	212	2	no	—
335	C₂³	—	2	1	no	—
336	C₂³	—	2	2	no	—
337	C₂³	—	2	2	no	—
338	C₂³	—	2	1	no	—
339	C₂³	#13133200	1	2	yes	—
340	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
341	Q₈	—	106	4	no	—
342	Q₈	—	106	4	no	—
343	Q₈	—	212	8	no	—
344	Q₈	—	212	2	no	—
345	Q₈	—	212	2	no	—
346	C₂×C₄	—	2	1	no	—
347	C₂×C₄	—	2	1	no	—
348	C₂×C₄	—	2	4	no	—
349	C₂×C₄	—	2	4	no	—
350	C₂×C₄	—	2	2	no	—
351	C₂×C₄	—	2	2	no	—
352	C₂×C₄	—	2	2	no	—
353	C₂×C₄	—	2	2	no	—
354	C₂×C₄	—	2	2	no	—
355	C₂×C₄	—	2	2	no	—
356	C₂×C₄	—	4	2	no	—
357	C₂×C₄	—	4	2	no	—
358	C₂×C₄	—	4	2	no	—
359	C₂×C₄	—	4	2	no	—
360	C₂×C₄	—	4	2	no	—
361	C₂×C₄	—	4	2	no	—
362	C₂×C₄	—	106	2	no	—
363	C₂×C₄	—	106	2	no	—
364	C₂×C₄	—	212	2	no	—
365	C₂×C₄	—	212	2	no	—
366	C₂×C₄	—	212	1	no	—
367	C₂×C₄	—	212	1	no	—
368	C₂×C₄	—	212	8	no	—
369	C₂×C₄	—	212	1	no	—
370	C₂×C₄	—	212	1	no	—
371	C₂×C₄	—	212	1	no	—
372	C₂×C₄	—	212	1	no	—
373	C₂×C₄	#13133200	1	2	yes	—
374	C₂×C₄	#41×D₅₃	1	1	yes	characteristic
375	C₂×C₄	#41×D₅₃	1	1	yes	characteristic
376	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	2	yes	—
377	C₂×C₄	#13133263	1	2	yes	—
378	C₈	—	212	2	no	—
379	C₈	—	212	2	no	—
380	C₂²	—	2	4	no	—
381	C₂²	—	2	2	no	—
382	C₂²	—	4	2	no	—
383	C₂²	—	4	1	no	—
384	C₂²	—	4	1	no	—
385	C₂²	C₂×#13133200	1	1	yes	characteristic
386	C₂²	#16811130	1	1	yes	characteristic
387	C₂²	#16811187	1	1	yes	characteristic
388	C₂²	#16811434	1	2	yes	—
389	C₂²	#16811438	1	2	yes	—
390	C₄	—	2	2	no	—
391	C₄	—	4	2	no	—
392	C₄	—	4	2	no	—
393	C₄	—	8	2	no	—
394	C₄	—	8	2	no	—
395	C₄	—	424	1	no	—
396	C₄	—	424	1	no	—
397	C₄	—	212	2	no	—
398	C₄	—	212	2	no	—
399	C₄	#16811297	1	2	yes	—
400	C₄	#16811297	1	2	yes	—
401	C₂	—	4	2	no	—
402	C₂	#20278985	1	1	yes	characteristic
403	C₂	#20284684	1	2	yes	—
404	C₂	#20284938	1	2	yes	—
405	C₂	#20285770	1	1	yes	characteristic
406	C₂	#20285792	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#2314	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
prime radical	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄
hypercenter	#2314	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#27596
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×#117 ◁ #2314

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #20276259	C₂	semidirect
3. #20276254	C₂	semidirect
4. #20276134	C₂	semidirect
5. #20276134	C₂	semidirect
6. #20275356	C₂	semidirect
7. #20275349	C₂	semidirect
242. C₅₃	#27596	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20277299	2
#20276259	2
#20276254	2
#20276134	2
#20275356	2
#20275349	2
#20274912	2
#20274786	2
#20274649	2
C₅₃×#2314	2
#27596	53