Subgroups — #27465191

Order 13568.

728 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 414 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20283263	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20276271	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#20276166	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#20275419	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20275384	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#20275000	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#20274934	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#20274819	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#20274678	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	#20274665	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
11	C₅₃×#2922	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#16811459	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	#16811390	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#16810671	C₂²	1	2	yes	complemented
15	#16810649	C₂²	1	2	yes	complemented
16	#16810641	—	2	2	no	—
17	#16810641	C₂²	1	2	yes	—
18	#16810639	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#13133145	—	2	2	no	—
20	C₂×#13133145	C₂²	1	2	yes	—
21	#16810620	C₂²	1	2	yes	—
22	#16810607	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#16810605	C₂²	1	2	yes	—
24	#16810597	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#16810589	C₂²	1	2	yes	—
26	#16810395	C₂²	1	2	yes	complemented
27	#16810388	C₂²	1	2	yes	complemented
28	#16810383	C₂²	1	2	yes	complemented
29	#16810379	C₂²	1	2	yes	complemented
30	C₄×#41×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₅₃×#433	—	2	2	no	—
32	C₅₃×#431	—	2	2	no	—
33	C₅₃×#424	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
34	C₅₃×#424	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
35	C₅₃×#408	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₅₃×#408	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₄×M₁₆×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
38	C₂×C₄×C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic, complemented
39	#13133265	—	2	1	no	—
40	#13133264	—	2	2	no	—
41	#13133263	—	2	2	no	—
42	#13133262	—	2	1	no	—
43	#13133262	—	2	2	no	—
44	C₂×#11719945	—	2	2	no	—
45	C₂×#11719945	C₂³	1	2	yes	—
46	#41×D₅₃	—	4	2	no	—
47	#13133224	—	4	2	no	—
48	C₂×#11719917	—	2	2	no	—
49	C₂×#11719917	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂×#11719917	C₂³	1	2	yes	—
51	#13133176	C₂³	1	2	yes	—
52	#13133152	—	4	2	no	—
53	#13133146	—	4	2	no	—
54	#13133145	—	2	2	no	—
55	#13133145	—	2	4	no	—
56	#13133145	—	2	2	no	—
57	#13133143	—	4	2	no	—
58	#13133142	—	2	2	no	—
59	#13133139	—	2	2	no	—
60	#13133136	—	2	1	no	—
61	#13133135	—	2	2	no	—
62	#13133134	—	2	1	no	—
63	#13133133	—	2	2	no	—
64	#13133132	—	2	2	no	—
65	#13133129	—	4	2	no	—
66	C₂×#41×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₂×M₁₆×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	C₂×M₁₆×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₄×Q₈×C₅₃	—	2	1	no	—
72	C₄×D₄×C₅₃	—	2	1	no	—
73	C₄×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
74	#117×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
75	#117×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
77	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₄⋊C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
79	C₄⋊C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
80	C₂²⋊C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
81	C₂²⋊C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
82	#97×C₅₃	—	2	1	no	—
83	C₄×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
84	C₄×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
85	C₄×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
86	#41×C₅₃	—	2	2	no	—
87	#41×C₅₃	—	2	2	no	—
88	C₂×Q₈×C₅₃	#41	1	1	yes	characteristic
89	C₂×D₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
90	C₂×D₄×C₅₃	#41	1	1	yes	characteristic
91	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
92	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
93	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
94	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
95	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	2	2	no	—
96	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	2	no	—
97	#11719949	—	4	2	no	—
98	Q₈×D₅₃	—	4	2	no	—
99	#11719947	—	4	2	no	—
100	#11719947	—	4	4	no	—
101	D₄×D₅₃	—	4	2	no	—
102	D₄×D₅₃	—	4	4	no	—
103	#11719945	—	2	4	no	—
104	#11719945	—	2	2	no	—
105	#11719945	—	2	2	no	—
106	#11719945	—	2	2	no	—
107	#11719945	—	2	2	no	—
108	#11719945	—	4	2	no	—
109	#11719945	—	4	2	no	—
110	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
111	C₂×D₂₁₂	#41	1	2	yes	—
112	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
113	C₂×C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
114	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
115	C₂×Dic₁₀₆	#41	1	2	yes	—
116	M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
117	M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
118	C₂×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
119	C₂×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
120	C₂×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
121	C₂×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
122	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
123	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
124	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
125	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
126	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
127	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
128	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
129	C₄²×C₅₃	—	2	1	no	—
130	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
131	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
132	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
133	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
134	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
135	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
136	#11719917	—	2	2	no	—
137	#11719917	—	2	2	no	—
138	#11719917	—	2	2	no	—
139	#11719917	—	2	2	no	—
140	#11719917	—	4	2	no	—
141	C₂×#88322	—	2	2	no	—
142	C₂×#88322	—	2	2	no	—
143	C₂×#88322	—	4	2	no	—
144	C₂³×C₅₃	#123	1	2	yes	—
145	C₂³×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
146	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
147	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
148	Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
149	D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
150	D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
151	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
152	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
153	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
154	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
155	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
156	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
157	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
158	C₂×C₄×C₅₃	#123	1	2	yes	—
159	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
160	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
161	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
162	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
163	C₂²⋊D₅₃	—	4	4	no	—
164	C₂²⋊D₅₃	—	4	2	no	—
165	C₂²⋊D₅₃	—	4	2	no	—
166	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
167	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
168	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
169	D₂₁₂	—	2	2	no	—
170	D₂₁₂	—	2	2	no	—
171	D₂₁₂	—	4	2	no	—
172	C₄×D₅₃	—	4	4	no	—
173	C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
174	C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
175	Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
176	Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
177	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
178	C₈×C₅₃	—	4	1	no	—
179	C₈×C₅₃	—	4	1	no	—
180	C₈×C₅₃	—	4	1	no	—
181	C₈×C₅₃	—	4	1	no	—
182	#88322	—	4	2	no	—
183	#88322	—	4	2	no	—
184	#27598	—	53	1	no	maximal, Sylow
185	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
186	C₂²×C₅₃	—	4	1	no	—
187	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
188	C₂²×C₅₃	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
189	C₂²×C₅₃	#551	1	2	yes	—
190	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
191	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
192	C₂×D₅₃	—	16	2	no	—
193	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
194	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
195	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
196	C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
197	C₄×C₅₃	#525	1	1	yes	characteristic
198	C₄×C₅₃	#535	1	1	yes	characteristic
199	C₄×C₅₃	#551	1	2	yes	—
200	Dic₅₃	—	4	2	no	—
201	Dic₅₃	—	8	2	no	—
202	#2922	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
203	#2901	—	53	1	no	—
204	#2098	—	53	2	no	—
205	#2080	—	53	2	no	—
206	#1937	—	53	2	no	—
207	#1932	—	53	2	no	—
208	#1868	—	53	1	no	—
209	#1858	—	53	1	no	—
210	#1827	—	53	1	no	—
211	#1794	—	53	1	no	—
212	#1791	—	53	1	no	—
213	C₂×C₅₃	—	2	2	no	—
214	C₂×C₅₃	—	2	1	no	—
215	C₂×C₅₃	—	4	2	no	—
216	C₂×C₅₃	#2482	1	1	yes	characteristic
217	D₅₃	—	8	2	no	—
218	#585	—	53	1	no	—
219	#568	—	53	1	no	—
220	C₄×#41	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
221	#433	—	2	2	no	—
222	#431	—	2	2	no	—
223	#430	—	53	2	no	—
224	#424	—	53	2	no	—
225	#424	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
226	#424	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
227	#421	—	53	2	no	—
228	#421	—	53	2	no	—
229	#421	—	106	2	no	—
230	C₂×#104	—	53	2	no	—
231	C₂×#104	—	106	2	no	—
232	#416	—	53	2	no	—
233	#413	—	53	1	no	—
234	#413	—	53	2	no	—
235	#410	—	53	1	no	—
236	#408	—	53	2	no	—
237	#408	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
238	#408	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
239	C₄×M₁₆	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
240	C₂×C₄×C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
241	#344	—	53	2	no	—
242	#341	—	53	2	no	—
243	#339	—	53	2	no	—
244	H(3,ℤ/4)	—	53	2	no	—
245	C₅₃	#27598	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
246	2₋¹⁺⁴	—	106	2	no	—
247	2₋¹⁺⁴	—	106	1	no	—
248	H(5,𝔽₂)	—	106	2	no	—
249	H(5,𝔽₂)	—	106	2	no	—
250	H(5,𝔽₂)	—	106	1	no	—
251	C₂×#41	—	53	2	no	—
252	C₂×#41	—	106	2	no	—
253	C₂×#41	—	212	2	no	—
254	C₂×#41	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
255	#131	—	212	2	no	—
256	C₂×M₁₆	—	53	2	no	—
257	C₂×M₁₆	—	53	2	no	—
258	C₂×M₁₆	—	106	2	no	—
259	C₂×M₁₆	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
260	C₂×M₁₆	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
261	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
262	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
263	C₄×Q₈	—	2	1	no	—
264	C₄×D₄	—	2	2	no	—
265	C₄×D₄	—	2	1	no	—
266	#117	—	53	2	no	—
267	#117	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
268	#117	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
269	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
270	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
271	#108	—	212	2	no	—
272	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
273	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
274	C₄⋊C₈	—	212	2	no	—
275	#104	—	106	2	no	—
276	#104	—	106	2	no	—
277	#104	—	106	4	no	—
278	#104	—	212	2	no	—
279	#103	—	106	2	no	—
280	#102	—	106	2	no	—
281	#101	—	106	2	no	—
282	#101	—	106	1	no	—
283	#100	—	106	2	no	—
284	#100	—	106	1	no	—
285	#99	—	106	2	no	—
286	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
287	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
288	C₂²⋊C₈	—	212	2	no	—
289	#97	—	2	1	no	—
290	C₄×C₈	—	2	1	no	—
291	C₄×C₈	—	2	1	no	—
292	C₄×C₈	—	2	1	no	—
293	#41	—	2	2	no	—
294	#41	—	2	2	no	—
295	#41	—	106	4	no	—
296	#41	—	106	2	no	—
297	#41	—	106	2	no	—
298	#41	—	106	2	no	—
299	#41	—	106	2	no	—
300	#41	—	212	2	no	—
301	#41	—	212	4	no	—
302	#41	—	212	2	no	—
303	#41	—	212	2	no	—
304	#41	—	212	2	no	—
305	C₂×Q₈	—	53	2	no	—
306	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
307	C₂×Q₈	—	212	2	no	—
308	C₂×Q₈	#11719945	1	1	yes	characteristic
309	C₂×D₄	—	53	2	no	—
310	C₂×D₄	—	106	2	no	—
311	C₂×D₄	—	106	2	no	—
312	C₂×D₄	—	212	2	no	—
313	C₂×D₄	—	212	4	no	—
314	C₂×D₄	—	212	2	no	—
315	C₂×D₄	#11719945	1	2	yes	—
316	C₂×D₄	#11719945	1	1	yes	characteristic
317	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
318	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
319	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
320	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
321	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
322	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
323	M₁₆	—	2	2	no	—
324	M₁₆	—	2	2	no	—
325	M₁₆	—	106	2	no	—
326	M₁₆	—	106	2	no	—
327	M₁₆	—	106	2	no	—
328	M₁₆	—	106	2	no	—
329	M₁₆	—	212	2	no	—
330	C₂×C₈	—	2	1	no	—
331	C₂×C₈	—	2	1	no	—
332	C₂×C₈	—	2	1	no	—
333	C₂×C₈	—	2	1	no	—
334	C₂×C₈	—	2	2	no	—
335	C₂×C₈	—	2	2	no	—
336	C₂×C₈	—	106	2	no	—
337	C₂×C₈	—	106	2	no	—
338	C₂×C₈	—	212	2	no	—
339	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
340	C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
341	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
342	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
343	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
344	C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
345	C₄²	—	2	2	no	—
346	C₄²	—	2	1	no	—
347	C₄²	—	106	2	no	—
348	C₄²	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
349	C₄²	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
350	C₄²	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
351	C₂³	—	106	2	no	—
352	C₂³	—	212	2	no	—
353	C₂³	#13133200	1	2	yes	—
354	C₂³	C₂×#11719945	1	1	yes	characteristic
355	Q₈	—	2	2	no	—
356	Q₈	—	106	2	no	—
357	Q₈	—	106	2	no	—
358	Q₈	—	212	2	no	—
359	D₄	—	2	4	no	—
360	D₄	—	2	2	no	—
361	D₄	—	106	2	no	—
362	D₄	—	106	2	no	—
363	D₄	—	212	2	no	—
364	D₄	—	212	4	no	—
365	D₄	—	212	2	no	—
366	D₄	—	212	2	no	—
367	C₂×C₄	—	2	1	no	—
368	C₂×C₄	—	2	2	no	—
369	C₂×C₄	—	2	2	no	—
370	C₂×C₄	—	2	2	no	—
371	C₂×C₄	—	2	1	no	—
372	C₂×C₄	—	4	2	no	—
373	C₂×C₄	—	4	4	no	—
374	C₂×C₄	—	106	2	no	—
375	C₂×C₄	—	212	4	no	—
376	C₂×C₄	—	212	2	no	—
377	C₂×C₄	—	212	2	no	—
378	C₂×C₄	—	212	2	no	—
379	C₂×C₄	—	212	2	no	—
380	C₂×C₄	#13133200	1	2	yes	—
381	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
382	C₂×C₄	#41×D₅₃	1	2	yes	—
383	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	1	yes	characteristic
384	C₂×C₄	#13133263	1	2	yes	—
385	C₈	—	4	1	no	—
386	C₈	—	4	1	no	—
387	C₈	—	4	1	no	—
388	C₈	—	4	1	no	—
389	C₈	—	212	2	no	—
390	C₈	—	212	2	no	—
391	C₂²	—	2	2	no	—
392	C₂²	—	4	1	no	—
393	C₂²	—	4	2	no	—
394	C₂²	—	848	2	no	—
395	C₂²	—	424	2	no	—
396	C₂²	—	212	2	no	—
397	C₂²	C₂×#13133200	1	1	yes	characteristic
398	C₂²	#16811297	1	2	yes	—
399	C₄	—	2	2	no	—
400	C₄	—	2	2	no	—
401	C₄	—	4	2	no	—
402	C₄	—	4	1	no	—
403	C₄	—	424	2	no	—
404	C₄	—	212	2	no	—
405	C₄	#16811130	1	1	yes	characteristic
406	C₄	#16811187	1	1	yes	characteristic
407	C₄	#16811297	1	2	yes	—
408	C₂	—	2	1	no	—
409	C₂	—	2	2	no	—
410	C₂	—	4	2	no	—
411	C₂	—	424	2	no	—
412	C₂	#20278985	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₄	#16811187
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#2922	C₂
socle	C₂×C₅₃	#2482
prime radical	#16811459	C₂²
hypercenter	#2922	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#27598
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₄ ◁ C₂²×C₄ ◁ #2922

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #20276271	C₂	semidirect
3. #20276166	C₂	semidirect
4. #20275419	C₂	semidirect
5. #20275384	C₂	semidirect
6. #20275000	C₂	semidirect
7. #20274934	C₂	semidirect
8. #20274819	C₂	semidirect
11. C₅₃×#2922	C₂	semidirect
14. #16810671	C₂²	semidirect
15. #16810649	C₂²	semidirect
26. #16810395	C₂²	semidirect
27. #16810388	C₂²	semidirect
28. #16810383	C₂²	semidirect
29. #16810379	C₂²	semidirect
33. C₅₃×#424	C₂²	semidirect
34. C₅₃×#424	C₂²	semidirect
37. C₄×M₁₆×C₅₃	C₂²	semidirect
38. C₂×C₄×C₈×C₅₃	C₂²	semidirect
202. #2922	D₅₃	semidirect
225. #424	C₂×D₅₃	semidirect
226. #424	C₂×D₅₃	semidirect
239. C₄×M₁₆	C₂×D₅₃	semidirect
240. C₂×C₄×C₈	C₂×D₅₃	semidirect
245. C₅₃	#27598	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20283263	2
#20276271	2
#20276166	2
#20275419	2
#20275384	2
#20275000	2
#20274934	2
#20274819	2
#20274678	2
#20274665	2
C₅₃×#2922	2
#27598	53