Subgroups — #27466066

Order 13568.

696 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 394 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20284648	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20284646	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20283405	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	C₂×#16810659	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#20276229	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#20276164	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#20275499	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#20274796	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#20274778	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#20274751	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₅₃×#1822	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#13133225	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂³×#88322	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	#16811134	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#13133176	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	#16810965	—	2	2	no	—
17	#16810964	—	2	2	no	—
18	#16810948	—	2	2	no	—
19	#16810947	—	2	2	no	—
20	#16810691	—	2	2	no	—
21	#16810686	—	2	2	no	—
22	C₂×#13133152	C₂²	1	2	yes	—
23	#16810665	C₂²	1	2	yes	—
24	#16810663	C₂²	1	2	yes	—
25	#16810659	—	2	2	no	—
26	#16810659	—	2	2	no	—
27	C₂×#13133150	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#13133148	C₂²	1	2	yes	—
29	#16810651	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#16810625	C₂²	1	2	yes	—
31	#16810622	C₂²	1	2	yes	—
32	#16810591	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#16810587	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#16810581	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#16810391	C₂²	1	2	yes	—
36	#16810391	C₂²	1	2	yes	—
37	#16810387	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×#117×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₅₃×#407	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₅₃×#407	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₅₃×#343	C₂²	1	2	yes	—
42	C₅₃×#343	C₂²	1	2	yes	—
43	C₂×#11719945	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	#13133225	—	2	4	no	—
45	C₂×#11719917	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂×#11719912	—	2	1	no	—
47	C₂²×#88322	—	2	4	no	—
48	C₂²×#88322	D₄	1	2	yes	—
49	C₂²×#88322	D₄	1	2	yes	—
50	C₂²×#88322	C₂³	1	1	yes	characteristic
51	C₂²×#88322	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂×C₈×D₅₃	—	2	1	no	—
53	#13133200	—	2	1	no	—
54	#13133196	D₄	1	2	yes	—
55	#13133191	D₄	1	2	yes	—
56	#13133186	—	2	1	no	—
57	C₄×C₂²⋊D₅₃	—	2	2	no	—
58	#13133176	—	2	2	no	—
59	#13133176	—	2	2	no	—
60	#13133176	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
62	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
63	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
64	#13133152	—	2	4	no	—
65	#13133151	—	2	2	no	—
66	#13133150	—	2	2	no	—
67	#13133150	—	2	2	no	—
68	#13133150	—	2	2	no	—
69	#13133149	—	2	2	no	—
70	#13133148	—	2	2	no	—
71	#13133148	—	2	4	no	—
72	#13133146	—	2	2	no	—
73	#13133142	—	2	2	no	—
74	#13133140	—	2	2	no	—
75	#13133139	—	2	2	no	—
76	#13133137	—	2	2	no	—
77	C₂²⋊#88322	—	2	2	no	—
78	#13133129	—	2	2	no	—
79	#13133127	—	2	1	no	—
80	C₈×Dic₅₃	—	2	1	no	—
81	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₂×M₁₆×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₂×M₁₆×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
84	C₂×M₁₆×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
85	#117×C₅₃	—	2	2	no	—
86	#117×C₅₃	—	2	2	no	—
87	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
88	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
89	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	1	no	—
90	C₂²⋊C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
91	C₂²⋊C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
92	C₂⁴×C₅₃	#41	1	1	yes	characteristic
93	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
94	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
95	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
96	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
97	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
98	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	1	yes	characteristic
99	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
100	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	2	2	no	—
101	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	2	1	no	—
102	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
103	#11719945	—	2	2	no	—
104	#11719945	—	2	2	no	—
105	C₂×D₂₁₂	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
106	C₂×C₄×D₅₃	—	2	1	no	—
107	C₂×Dic₁₀₆	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
108	M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
109	M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
110	M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
111	M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
112	C₂×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
113	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
114	C₂×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
115	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
116	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
117	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
118	C₄²×C₅₃	—	4	2	no	—
119	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
120	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
121	C₂²⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
122	#11719921	—	2	2	no	—
123	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
124	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
125	C₄⋊Dic₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
126	#11719919	—	2	2	no	—
127	C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
128	C₄×Dic₅₃	—	4	2	no	—
129	#11719917	—	2	2	no	—
130	#11719917	—	2	2	no	—
131	C₂×#88322	—	2	2	no	—
132	C₂×#88322	—	2	4	no	—
133	C₂×#88322	—	2	4	no	—
134	C₂×#88322	—	2	2	no	—
135	C₂×#88322	C₂×D₄	1	2	yes	—
136	C₂×#88322	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂×#88322	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂×#88322	#41	1	4	yes	—
139	#11719912	—	4	2	no	—
140	C₈×D₅₃	—	4	2	no	—
141	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
142	C₂³×C₅₃	—	4	2	no	—
143	C₂³×C₅₃	#121	1	2	yes	—
144	C₂³×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
145	C₂²×D₅₃	—	2	1	no	—
146	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
147	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
148	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
149	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
150	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
151	C₂×C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
152	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	2	yes	—
153	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
154	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
155	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
156	C₂×C₄×C₅₃	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
157	C₂²⋊D₅₃	—	4	4	no	—
158	C₂²⋊D₅₃	—	4	2	no	—
159	C₂×Dic₅₃	—	2	1	no	—
160	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
161	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
162	C₂×Dic₅₃	—	8	2	no	—
163	D₂₁₂	—	2	2	no	—
164	C₄×D₅₃	—	4	1	no	—
165	C₄×D₅₃	—	4	1	no	—
166	Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
167	C₈×C₅₃	—	4	1	no	—
168	C₈×C₅₃	—	4	1	no	—
169	C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
170	#88322	—	2	2	no	—
171	#88322	—	4	2	no	—
172	#88322	#123	1	2	yes	—
173	#88322	#123	1	2	yes	—
174	#27674	—	53	1	no	maximal, Sylow
175	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
176	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
177	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
178	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
179	C₂²×C₅₃	—	4	4	no	—
180	C₂²×C₅₃	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
181	C₂²×C₅₃	#552	1	2	yes	—
182	C₂×D₅₃	—	4	1	no	—
183	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
184	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
185	C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
186	C₄×C₅₃	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
187	C₄×C₅₃	#536	1	1	yes	characteristic
188	C₄×C₅₃	#547	1	2	yes	—
189	Dic₅₃	—	4	1	no	—
190	Dic₅₃	—	4	2	no	—
191	Dic₅₃	—	8	2	no	—
192	#3093	—	53	1	no	—
193	#3093	—	53	1	no	—
194	#2929	—	53	1	no	—
195	C₂×#427	—	53	1	no	—
196	#2090	—	53	2	no	—
197	#2079	—	53	2	no	—
198	#1952	—	53	2	no	—
199	#1822	—	53	1	no	—
200	#1822	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
201	#1816	—	53	2	no	—
202	#1810	—	53	1	no	—
203	C₂×C₅₃	—	2	2	no	—
204	C₂×C₅₃	—	4	2	no	—
205	C₂×C₅₃	#2486	1	1	yes	characteristic
206	C₂×C₅₃	#3067	1	2	yes	—
207	D₅₃	—	8	1	no	—
208	C₂×#131	—	53	1	no	—
209	C₂³×C₈	—	53	1	no	—
210	#525	—	53	1	no	—
211	C₂×#117	—	53	1	no	—
212	C₂×#117	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
213	#485	—	106	2	no	—
214	#485	—	106	2	no	—
215	#482	—	106	2	no	—
216	#482	—	106	2	no	—
217	#435	—	106	2	no	—
218	C₈×D₄	—	106	2	no	—
219	C₂×#108	—	53	2	no	—
220	#428	—	53	2	no	—
221	#428	—	53	2	no	—
222	#427	—	106	2	no	—
223	#427	—	106	2	no	—
224	C₂×#107	—	53	2	no	—
225	C₂×#106	—	53	2	no	—
226	#424	—	53	1	no	—
227	#417	—	53	2	no	—
228	#417	—	53	2	no	—
229	#408	—	53	1	no	—
230	#407	—	53	1	no	—
231	#407	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
232	#407	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
233	#405	—	53	1	no	—
234	#343	—	53	2	no	—
235	#343	—	53	2	no	—
236	#343	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
237	#343	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
238	#341	—	53	2	no	—
239	C₅₃	#27674	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
240	C₂×#41	—	53	1	no	—
241	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
242	#131	—	106	4	no	—
243	C₂×M₁₆	—	53	2	no	—
244	C₂×M₁₆	—	106	1	no	—
245	C₂×M₁₆	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
246	C₂×M₁₆	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
247	C₂×M₁₆	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
248	C₂²×C₈	—	53	1	no	—
249	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
250	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
251	C₂²×C₈	—	53	1	no	—
252	C₂²×C₈	—	106	1	no	—
253	C₂²×C₈	—	106	4	no	—
254	#123	—	106	1	no	—
255	C₂²⋊Q₈	—	53	2	no	—
256	#121	—	53	2	no	—
257	#120	—	106	1	no	—
258	C₄×D₄	—	106	2	no	—
259	#117	—	2	2	no	—
260	#117	—	2	2	no	—
261	#117	—	53	1	no	—
262	#117	—	106	2	no	—
263	#117	—	106	2	no	—
264	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
265	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
266	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
267	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	1	no	—
268	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
269	C₂×C₄²	—	106	1	no	—
270	#108	—	106	4	no	—
271	#107	—	106	2	no	—
272	#107	—	106	2	no	—
273	#107	—	106	2	no	—
274	#107	—	106	2	no	—
275	#106	—	106	2	no	—
276	#106	—	106	4	no	—
277	#106	—	106	2	no	—
278	C₄⋊C₈	—	106	2	no	—
279	#103	—	106	2	no	—
280	#103	—	106	2	no	—
281	#102	—	106	2	no	—
282	#102	—	106	2	no	—
283	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
284	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
285	C₂²⋊C₈	—	106	2	no	—
286	C₂²⋊C₈	—	106	2	no	—
287	#97	—	106	1	no	—
288	C₄×C₈	—	106	1	no	—
289	C₂⁴	#11719945	1	1	yes	characteristic
290	#41	—	106	2	no	—
291	#41	—	106	2	no	—
292	C₂×Q₈	—	53	1	no	—
293	C₂×D₄	—	53	1	no	—
294	C₂×D₄	—	106	2	no	—
295	C₂×D₄	—	106	1	no	—
296	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
297	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
298	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
299	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
300	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
301	C₂²×C₄	#11719945	1	1	yes	characteristic
302	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
303	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
304	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
305	M₁₆	—	2	2	no	—
306	M₁₆	—	2	2	no	—
307	M₁₆	—	2	2	no	—
308	M₁₆	—	2	2	no	—
309	M₁₆	—	106	2	no	—
310	M₁₆	—	106	2	no	—
311	M₁₆	—	212	2	no	—
312	C₂×C₈	—	2	1	no	—
313	C₂×C₈	—	2	2	no	—
314	C₂×C₈	—	2	1	no	—
315	C₂×C₈	—	53	1	no	—
316	C₂×C₈	—	53	1	no	—
317	C₂×C₈	—	53	4	no	—
318	C₂×C₈	—	53	2	no	—
319	C₂×C₈	—	106	4	no	—
320	C₂×C₈	—	106	4	no	—
321	C₂×C₈	—	106	2	no	—
322	C₂×C₈	—	106	2	no	—
323	C₂×C₈	—	212	2	no	—
324	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
325	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
326	C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
327	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
328	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
329	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
330	C₂²⋊C₄	—	4	2	no	—
331	C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
332	C₂²⋊C₄	—	106	1	no	—
333	C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
334	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
335	C₄²	—	4	2	no	—
336	C₄²	—	106	1	no	—
337	C₄²	—	212	2	no	—
338	C₂³	—	2	2	no	—
339	C₂³	—	4	2	no	—
340	C₂³	—	106	1	no	—
341	C₂³	#13133190	1	2	yes	—
342	C₂³	C₂×#11719945	1	1	yes	characteristic
343	Q₈	—	106	2	no	—
344	D₄	—	106	2	no	—
345	D₄	—	212	4	no	—
346	D₄	—	212	2	no	—
347	C₂×C₄	—	2	2	no	—
348	C₂×C₄	—	2	4	no	—
349	C₂×C₄	—	2	2	no	—
350	C₂×C₄	—	2	2	no	—
351	C₂×C₄	—	4	2	no	—
352	C₂×C₄	—	8	2	no	—
353	C₂×C₄	—	106	2	no	—
354	C₂×C₄	—	106	1	no	—
355	C₂×C₄	—	424	2	no	—
356	C₂×C₄	—	212	2	no	—
357	C₂×C₄	—	212	1	no	—
358	C₂×C₄	—	212	1	no	—
359	C₂×C₄	#13133190	1	2	yes	—
360	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
361	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
362	C₂×C₄	#41×D₅₃	1	2	yes	—
363	C₂×C₄	#13133264	1	2	yes	—
364	C₈	—	4	2	no	—
365	C₈	—	4	1	no	—
366	C₈	—	4	1	no	—
367	C₈	—	53	2	no	—
368	C₈	—	53	2	no	—
369	C₈	—	106	2	no	—
370	C₈	—	212	2	no	—
371	C₂²	—	2	2	no	—
372	C₂²	—	2	2	no	—
373	C₂²	—	2	2	no	—
374	C₂²	—	2	2	no	—
375	C₂²	—	4	4	no	—
376	C₂²	—	212	2	no	—
377	C₂²	—	212	1	no	—
378	C₂²	C₂×#13133190	1	1	yes	characteristic
379	C₂²	#16811306	1	2	yes	—
380	C₄	—	2	2	no	—
381	C₄	—	8	2	no	—
382	C₄	—	424	2	no	—
383	C₄	—	212	2	no	—
384	C₄	—	212	1	no	—
385	C₄	#123×D₅₃	1	1	yes	characteristic
386	C₄	#16811195	1	1	yes	characteristic
387	C₄	#16811271	1	2	yes	—
388	C₂	—	2	2	no	—
389	C₂	—	4	2	no	—
390	C₂	—	424	1	no	—
391	C₂	#20279022	1	1	yes	characteristic
392	C₂	#20284434	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂×#13133190
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#1822	C₂
socle	C₂²×C₅₃	C₂×#121
prime radical	#16811134	C₂²
hypercenter	#1822	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#27674
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂³×C₄ ◁ #1822

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
4. C₂×#16810659	C₂	semidirect
5. #20276229	C₂	semidirect
6. #20276164	C₂	semidirect
7. #20275499	C₂	semidirect
8. #20274796	C₂	semidirect
9. #20274778	C₂	semidirect
10. #20274751	C₂	semidirect
11. C₅₃×#1822	C₂	semidirect
200. #1822	D₅₃	semidirect
239. C₅₃	#27674	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20284648	2
#20284646	2
#20283405	2
C₂×#16810659	2
#20276229	2
#20276164	2
#20275499	2
#20274796	2
#20274778	2
#20274751	2
C₅₃×#1822	2
#27674	53