Subgroups — #27466067

Order 13568.

696 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 328 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20284644	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂×#16810661	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#20276225	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#20276160	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20275500	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#20274796	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#20274779	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#20274753	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₅₃×#2929	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂×#13133176	C₂²	1	2	yes	—
11	#16810961	—	2	4	no	—
12	#16810944	—	2	4	no	—
13	C₂×#13133153	C₂²	1	2	yes	—
14	#16810666	C₂²	1	4	yes	—
15	#16810661	—	2	2	no	—
16	#16810661	—	2	2	no	—
17	C₂×#13133151	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#13133149	C₂²	1	2	yes	—
19	#16810624	C₂²	1	4	yes	—
20	#16810587	C₂²	1	2	yes	—
21	#16810391	C₂²	1	4	yes	—
22	#16810391	C₂²	1	4	yes	—
23	#16810388	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#131×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂³×C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₅₃×#525	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₅₃×#435	—	2	2	no	—
28	C₈×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
29	C₅₃×#424	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₅₃×#408	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₅₃×#407	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₅₃×#405	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂×#11719917	C₂³	1	4	yes	—
34	#13133176	—	2	4	no	—
35	#13133176	—	2	4	no	—
36	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	4	yes	—
37	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
38	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
39	#13133153	—	2	4	no	—
40	#13133151	—	2	2	no	—
41	#13133151	—	2	2	no	—
42	#13133150	—	2	4	no	—
43	#13133149	—	2	4	no	—
44	#13133148	—	2	4	no	—
45	#13133141	—	2	4	no	—
46	#13133138	—	2	4	no	—
47	C₂²⋊#88322	—	2	4	no	—
48	C₂×#41×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
50	#131×C₅₃	—	2	4	no	—
51	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	1	no	—
52	C₂×M₁₆×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂×M₁₆×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂²×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
55	C₂²×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
56	C₂²×C₈×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
57	C₂²×C₈×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
58	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	#123×C₅₃	—	2	1	no	—
61	C₂²⋊Q₈×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
62	#121×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
63	#120×C₅₃	—	2	1	no	—
64	C₄×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
65	#117×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₄⋊C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
67	C₂²⋊C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
68	C₂²⋊C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
69	#97×C₅₃	—	2	1	no	—
70	C₄×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
71	C₂⁴×C₅₃	#41	1	1	yes	characteristic
72	#41×C₅₃	—	2	2	no	—
73	#41×C₅₃	—	2	2	no	—
74	C₂×Q₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
76	C₂×D₄×C₅₃	—	2	1	no	—
77	C₂×D₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
78	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
79	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
80	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
81	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
82	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
83	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	1	yes	characteristic
84	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
85	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
86	M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
87	M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
88	M₁₆×C₅₃	—	4	2	no	—
89	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
90	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
91	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
92	C₂×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
93	C₂×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
94	C₂×C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
95	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
96	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
97	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
98	C₂×C₈×C₅₃	#41	1	4	yes	—
99	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
100	C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
101	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
102	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
103	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
104	C₄²×C₅₃	—	2	1	no	—
105	C₂²⋊Dic₅₃	—	4	4	no	—
106	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
107	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
108	C₄×Dic₅₃	—	4	4	no	—
109	#11719917	—	2	4	no	—
110	#11719917	—	2	4	no	—
111	C₂×#88322	—	2	4	no	—
112	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
113	C₂³×C₅₃	—	2	1	no	—
114	C₂³×C₅₃	—	4	2	no	—
115	C₂³×C₅₃	#121	1	2	yes	—
116	C₂³×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
117	Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
118	D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
119	D₄×C₅₃	—	4	4	no	—
120	D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
121	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
122	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
123	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
124	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
125	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
126	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
127	C₂×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
128	C₂×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
129	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	2	yes	—
130	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
133	C₂×C₄×C₅₃	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
134	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
135	C₂×Dic₅₃	—	8	4	no	—
136	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
137	C₈×C₅₃	—	4	1	no	—
138	C₈×C₅₃	—	4	1	no	—
139	C₈×C₅₃	#123	1	2	yes	—
140	C₈×C₅₃	#123	1	2	yes	—
141	#88322	—	4	4	no	—
142	#27674	—	53	1	no	maximal, Sylow
143	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
144	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
145	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
146	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
147	C₂²×C₅₃	—	4	4	no	—
148	C₂²×C₅₃	—	4	1	no	—
149	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
150	C₂²×C₅₃	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
151	C₂²×C₅₃	#552	1	2	yes	—
152	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
153	C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
154	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
155	C₄×C₅₃	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
156	C₄×C₅₃	#536	1	1	yes	characteristic
157	C₄×C₅₃	#547	1	2	yes	—
158	Dic₅₃	—	8	4	no	—
159	#3093	—	53	2	no	—
160	#2929	D₅₃	1	1	yes	characteristic
161	C₂×#427	—	53	1	no	—
162	#2090	—	53	2	no	—
163	#2079	—	53	2	no	—
164	#1952	—	53	2	no	—
165	#1822	—	53	2	no	—
166	#1816	—	53	2	no	—
167	#1810	—	53	1	no	—
168	C₂×C₅₃	—	2	2	no	—
169	C₂×C₅₃	—	4	2	no	—
170	C₂×C₅₃	—	8	1	no	—
171	C₂×C₅₃	#2486	1	1	yes	characteristic
172	C₂×C₅₃	#3067	1	2	yes	—
173	C₂×#131	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
174	C₂³×C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
175	#525	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
176	C₂×#117	—	53	2	no	—
177	#485	—	106	4	no	—
178	#482	—	106	4	no	—
179	#435	—	2	2	no	—
180	C₈×D₄	—	2	2	no	—
181	C₂×#108	—	53	2	no	—
182	#428	—	53	4	no	—
183	#427	—	106	2	no	—
184	#427	—	106	2	no	—
185	C₂×#107	—	53	2	no	—
186	C₂×#106	—	53	2	no	—
187	#424	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
188	#417	—	53	4	no	—
189	#408	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
190	#407	—	53	2	no	—
191	#407	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
192	#405	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
193	#343	—	53	4	no	—
194	#343	—	53	4	no	—
195	#341	—	53	2	no	—
196	C₅₃	#27674	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
197	C₂×#41	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
198	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
199	#131	—	2	4	no	—
200	C₂×M₁₆	—	2	1	no	—
201	C₂×M₁₆	—	53	4	no	—
202	C₂×M₁₆	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
203	C₂×M₁₆	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
204	C₂²×C₈	—	2	4	no	—
205	C₂²×C₈	—	2	1	no	—
206	C₂²×C₈	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
207	C₂²×C₈	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
208	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
209	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
210	#123	—	2	1	no	—
211	C₂²⋊Q₈	D₂₁₂	1	2	yes	—
212	#121	D₂₁₂	1	2	yes	—
213	#120	—	2	1	no	—
214	C₄×D₄	—	2	2	no	—
215	#117	—	106	4	no	—
216	#117	—	106	4	no	—
217	#117	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
218	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
219	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
220	C₂×C₄²	—	106	2	no	—
221	#108	—	106	4	no	—
222	#107	—	106	2	no	—
223	#107	—	106	2	no	—
224	#107	—	106	4	no	—
225	#106	—	106	4	no	—
226	#106	—	106	4	no	—
227	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
228	#103	—	106	4	no	—
229	#102	—	106	4	no	—
230	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
231	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
232	C₂²⋊C₈	—	106	4	no	—
233	#97	—	2	1	no	—
234	C₄×C₈	—	2	1	no	—
235	C₂⁴	#11719945	1	1	yes	characteristic
236	#41	—	2	2	no	—
237	#41	—	2	2	no	—
238	C₂×Q₈	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
239	C₂×D₄	—	2	2	no	—
240	C₂×D₄	—	2	1	no	—
241	C₂×D₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
243	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
244	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
245	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
246	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
247	C₂²×C₄	#11719945	1	1	yes	characteristic
248	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
249	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
250	M₁₆	—	2	2	no	—
251	M₁₆	—	2	2	no	—
252	M₁₆	—	4	2	no	—
253	M₁₆	—	106	4	no	—
254	M₁₆	—	106	4	no	—
255	C₂×C₈	—	2	2	no	—
256	C₂×C₈	—	2	4	no	—
257	C₂×C₈	—	2	4	no	—
258	C₂×C₈	—	2	1	no	—
259	C₂×C₈	—	2	1	no	—
260	C₂×C₈	—	4	2	no	—
261	C₂×C₈	—	106	4	no	—
262	C₂×C₈	#11719947	1	4	yes	—
263	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
264	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
265	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
266	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
267	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
268	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
269	C₄⋊C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
270	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
271	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
272	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
273	C₂²⋊C₄	—	212	4	no	—
274	C₄²	—	2	1	no	—
275	C₄²	—	212	4	no	—
276	C₂³	—	2	2	no	—
277	C₂³	—	2	1	no	—
278	C₂³	—	4	2	no	—
279	C₂³	#13133191	1	2	yes	—
280	C₂³	C₂×#11719945	1	1	yes	characteristic
281	Q₈	—	2	2	no	—
282	D₄	—	2	2	no	—
283	D₄	—	4	4	no	—
284	D₄	—	4	2	no	—
285	C₂×C₄	—	2	2	no	—
286	C₂×C₄	—	2	4	no	—
287	C₂×C₄	—	2	2	no	—
288	C₂×C₄	—	2	2	no	—
289	C₂×C₄	—	2	2	no	—
290	C₂×C₄	—	2	1	no	—
291	C₂×C₄	—	4	1	no	—
292	C₂×C₄	—	4	1	no	—
293	C₂×C₄	—	424	4	no	—
294	C₂×C₄	—	212	4	no	—
295	C₂×C₄	#13133191	1	2	yes	—
296	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
297	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
298	C₂×C₄	C₂×#11719947	1	2	yes	—
299	C₂×C₄	#13133264	1	2	yes	—
300	C₈	—	2	2	no	—
301	C₈	—	4	1	no	—
302	C₈	—	4	1	no	—
303	C₈	—	212	4	no	—
304	C₈	#13133198	1	2	yes	—
305	C₈	#13133198	1	2	yes	—
306	C₂²	—	2	2	no	—
307	C₂²	—	2	2	no	—
308	C₂²	—	2	2	no	—
309	C₂²	—	2	2	no	—
310	C₂²	—	4	4	no	—
311	C₂²	—	4	2	no	—
312	C₂²	—	4	1	no	—
313	C₂²	C₂×#13133191	1	1	yes	characteristic
314	C₂²	#16811313	1	2	yes	—
315	C₄	—	2	2	no	—
316	C₄	—	4	2	no	—
317	C₄	—	4	1	no	—
318	C₄	—	424	4	no	—
319	C₄	C₂×#13133198	1	1	yes	characteristic
320	C₄	#16811194	1	1	yes	characteristic
321	C₄	#16811277	1	2	yes	—
322	C₂	—	2	2	no	—
323	C₂	—	4	2	no	—
324	C₂	—	8	1	no	—
325	C₂	#20279023	1	1	yes	characteristic
326	C₂	#20284435	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂×#13133191
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#2929	C₂
socle	C₂²×C₅₃	C₂×#121
prime radical	C₅₃×#525	C₂²
hypercenter	#2929	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#27674
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂³×C₄ ◁ #2929

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#16810661	C₂	semidirect
3. #20276225	C₂	semidirect
4. #20276160	C₂	semidirect
5. #20275500	C₂	semidirect
6. #20274796	C₂	semidirect
7. #20274779	C₂	semidirect
8. #20274753	C₂	semidirect
196. C₅₃	#27674	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20284644	2
C₂×#16810661	2
#20276225	2
#20276160	2
#20275500	2
#20274796	2
#20274779	2
#20274753	2
C₅₃×#2929	2
#27674	53