Subgroups — #27466261

Order 13568.

640 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 368 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20283412	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20283324	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#20276297	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#20276230	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20275502	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#20275133	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#20275131	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	#20274934	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	#20274763	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#20274752	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	C₅₃×#1858	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#16811390	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#13133224	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂²×C₈×D₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	#16811130	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	#16810697	—	2	2	no	—
17	#16810686	—	2	2	no	—
18	#16810671	—	2	2	no	—
19	#16810671	C₂²	1	2	yes	—
20	#16810671	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#13133152	—	2	2	no	—
22	C₂×#13133152	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#13133152	C₂²	1	2	yes	—
24	#16810649	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#16810607	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#16810586	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#16810586	C₂²	1	2	yes	—
28	#16810586	C₂²	1	2	yes	—
29	#16810581	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#16810395	C₂²	1	2	yes	—
31	#16810394	C₂²	1	2	yes	—
32	#16810388	C₂²	1	2	yes	—
33	#16810381	C₂²	1	2	yes	—
34	C₅₃×#568	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₅₃×#430	C₂²	1	2	yes	—
36	C₅₃×#413	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₅₃×#408	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₅₃×#341	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂²×C₄×D₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	#13133224	—	2	4	no	—
41	#13133224	—	4	2	no	—
42	C₂×#11719917	—	2	2	no	—
43	C₂×#11719917	D₄	1	2	yes	—
44	C₂×#11719917	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂×#11719917	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂×#11719917	C₂³	1	1	yes	characteristic
47	C₂²×#88322	D₄	1	2	yes	—
48	C₂²×#88322	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂×C₈×D₅₃	—	2	1	no	—
50	C₂×C₈×D₅₃	—	2	1	no	—
51	C₂×C₈×D₅₃	—	2	4	no	—
52	#13133198	Q₈	1	2	yes	—
53	#13133193	—	2	1	no	—
54	#13133188	—	2	1	no	—
55	#13133185	Q₈	1	2	yes	—
56	C₄×C₂²⋊D₅₃	—	2	2	no	—
57	#13133176	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	#13133152	—	2	2	no	—
59	#13133152	—	2	4	no	—
60	#13133152	—	2	2	no	—
61	#13133152	—	2	4	no	—
62	#13133152	—	4	2	no	—
63	#13133146	—	2	2	no	—
64	#13133136	—	2	1	no	—
65	#13133134	—	2	1	no	—
66	#13133129	—	2	2	no	—
67	#13133129	—	4	2	no	—
68	#13133129	—	4	2	no	—
69	#13133127	—	2	1	no	—
70	C₈×Dic₅₃	—	2	1	no	—
71	C₂×#41×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	#131×C₅₃	—	4	2	no	—
73	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
74	C₂×M₁₆×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂×M₁₆×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₂×M₁₆×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	#108×C₅₃	—	4	2	no	—
79	#101×C₅₃	—	2	1	no	—
80	#100×C₅₃	—	2	1	no	—
81	C₂²⋊C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
82	C₂³×D₅₃	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
83	#41×C₅₃	—	2	2	no	—
84	#41×C₅₃	—	2	2	no	—
85	C₂×Q₈×C₅₃	#41	1	1	yes	characteristic
86	C₂×D₄×C₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
87	C₂×D₄×C₅₃	#41	1	1	yes	characteristic
88	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
89	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
90	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	2	2	no	—
91	C₂²×Dic₅₃	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
92	C₂×C₄×D₅₃	—	2	1	no	—
93	C₂×C₄×D₅₃	—	2	1	no	—
94	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
95	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
96	M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
97	M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
98	M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
99	M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
100	M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
101	M₁₆×C₅₃	—	4	2	no	—
102	C₂×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
103	C₂×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
104	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
105	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
106	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
107	C₂×C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
108	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
109	C₂²⋊Dic₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
110	#11719921	—	2	2	no	—
111	C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
112	#11719919	—	2	2	no	—
113	C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
114	#11719917	—	2	2	no	—
115	#11719917	—	2	4	no	—
116	#11719917	—	2	2	no	—
117	#11719917	—	2	2	no	—
118	#11719917	—	2	2	no	—
119	#11719917	—	2	2	no	—
120	#11719917	—	4	2	no	—
121	C₂×#88322	—	2	4	no	—
122	C₂×#88322	—	2	2	no	—
123	C₂×#88322	—	2	2	no	—
124	C₂×#88322	—	4	2	no	—
125	C₂×#88322	C₂×D₄	1	2	yes	—
126	C₂×#88322	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂×#88322	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
128	C₂×#88322	#41	1	4	yes	—
129	C₈×D₅₃	—	4	2	no	—
130	C₈×D₅₃	—	4	2	no	—
131	C₂³×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
132	C₂³×C₅₃	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
133	C₂²×D₅₃	—	2	1	no	—
134	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
135	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
136	Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
137	D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
138	D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
139	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
140	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
141	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
142	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
143	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
144	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
145	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
146	C₂²⋊D₅₃	—	4	4	no	—
147	C₂×Dic₅₃	—	2	1	no	—
148	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
149	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
150	C₄×D₅₃	—	4	1	no	—
151	C₄×D₅₃	—	4	1	no	—
152	C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
153	C₈×C₅₃	—	4	1	no	—
154	C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
155	C₈×C₅₃	—	4	1	no	—
156	C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
157	#88322	—	2	2	no	—
158	#88322	—	4	2	no	—
159	#88322	—	4	2	no	—
160	#88322	#123	1	2	yes	—
161	#88322	#123	1	2	yes	—
162	#27691	—	53	1	no	maximal, Sylow
163	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
164	C₂²×C₅₃	—	4	1	no	—
165	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
166	C₂²×C₅₃	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
167	C₂²×C₅₃	#554	1	2	yes	—
168	C₂×D₅₃	—	2	2	no	—
169	C₂×D₅₃	—	2	4	no	—
170	C₂×D₅₃	—	4	1	no	—
171	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
172	C₂×D₅₃	—	4	1	no	—
173	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
174	C₄×C₅₃	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
175	C₄×C₅₃	#535	1	1	yes	characteristic
176	C₄×C₅₃	#553	1	2	yes	—
177	Dic₅₃	—	4	2	no	—
178	Dic₅₃	—	4	1	no	—
179	#2929	—	53	1	no	—
180	#2916	—	53	1	no	—
181	#2103	—	53	2	no	—
182	#2091	—	53	2	no	—
183	#1953	—	53	2	no	—
184	#1891	—	53	1	no	—
185	#1891	—	53	1	no	—
186	#1858	—	53	1	no	—
187	#1858	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
188	#1813	—	53	1	no	—
189	#1810	—	53	2	no	—
190	C₂×C₅₃	—	2	1	no	—
191	C₂×C₅₃	—	2	2	no	—
192	C₂×C₅₃	—	4	2	no	—
193	C₂×C₅₃	#2487	1	1	yes	characteristic
194	D₅₃	—	4	2	no	—
195	#568	—	53	1	no	—
196	#568	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
197	C₂×#131	—	53	1	no	—
198	C₂³×C₈	—	53	1	no	—
199	#525	—	53	1	no	—
200	#435	—	106	2	no	—
201	C₈×D₄	—	106	2	no	—
202	#430	—	53	2	no	—
203	#430	—	53	2	no	—
204	#430	—	106	2	no	—
205	#430	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
206	C₂×#108	—	53	2	no	—
207	C₂×#108	—	53	2	no	—
208	C₂×#108	—	106	2	no	—
209	#424	—	53	1	no	—
210	#413	—	53	1	no	—
211	#413	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
212	#408	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
213	#407	—	53	1	no	—
214	#407	—	53	2	no	—
215	#407	—	53	2	no	—
216	#405	—	53	1	no	—
217	#344	—	53	2	no	—
218	#344	—	53	2	no	—
219	#341	—	53	2	no	—
220	#341	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
221	#338	—	53	2	no	—
222	C₅₃	#27691	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
223	C₂×#41	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
224	C₂³×C₄	—	53	1	no	—
225	#131	—	4	2	no	—
226	#131	—	106	4	no	—
227	#131	—	212	2	no	—
228	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
229	C₂×M₁₆	—	53	2	no	—
230	C₂×M₁₆	—	53	1	no	—
231	C₂×M₁₆	—	53	2	no	—
232	C₂×M₁₆	—	53	2	no	—
233	C₂×M₁₆	—	106	2	no	—
234	C₂×M₁₆	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
235	C₂×M₁₆	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
236	C₂×M₁₆	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
237	C₂²×C₈	—	53	1	no	—
238	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
239	C₂²×C₈	—	106	4	no	—
240	C₂²×C₈	—	106	1	no	—
241	C₂²×C₈	—	106	1	no	—
242	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
243	#123	—	53	2	no	—
244	C₂²⋊Q₈	—	106	1	no	—
245	#121	—	106	1	no	—
246	#120	—	53	2	no	—
247	C₄×D₄	—	106	2	no	—
248	#117	—	53	1	no	—
249	#108	—	4	2	no	—
250	#108	—	106	4	no	—
251	#108	—	106	2	no	—
252	#108	—	106	2	no	—
253	#108	—	106	4	no	—
254	#108	—	212	2	no	—
255	C₄⋊C₈	—	106	2	no	—
256	#101	—	2	1	no	—
257	#101	—	106	1	no	—
258	#100	—	2	1	no	—
259	#100	—	106	1	no	—
260	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
261	C₂²⋊C₈	—	106	2	no	—
262	C₂²⋊C₈	—	212	2	no	—
263	C₂²⋊C₈	—	212	2	no	—
264	#97	—	106	1	no	—
265	C₄×C₈	—	106	1	no	—
266	C₂⁴	—	53	1	no	—
267	#41	—	2	2	no	—
268	#41	—	2	2	no	—
269	C₂×Q₈	#11719945	1	1	yes	characteristic
270	C₂×D₄	—	106	2	no	—
271	C₂×D₄	#11719945	1	1	yes	characteristic
272	C₂×D₄	Q₈×D₅₃	1	2	yes	—
273	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
274	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
275	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
276	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
277	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
278	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
279	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
280	M₁₆	—	2	2	no	—
281	M₁₆	—	2	2	no	—
282	M₁₆	—	2	2	no	—
283	M₁₆	—	2	2	no	—
284	M₁₆	—	2	2	no	—
285	M₁₆	—	4	2	no	—
286	M₁₆	—	106	4	no	—
287	M₁₆	—	106	2	no	—
288	M₁₆	—	106	2	no	—
289	M₁₆	—	106	2	no	—
290	M₁₆	—	106	2	no	—
291	M₁₆	—	106	2	no	—
292	M₁₆	—	212	2	no	—
293	C₂×C₈	—	2	1	no	—
294	C₂×C₈	—	2	1	no	—
295	C₂×C₈	—	2	2	no	—
296	C₂×C₈	—	2	2	no	—
297	C₂×C₈	—	2	2	no	—
298	C₂×C₈	—	4	2	no	—
299	C₂×C₈	—	53	1	no	—
300	C₂×C₈	—	53	1	no	—
301	C₂×C₈	—	53	4	no	—
302	C₂×C₈	—	53	2	no	—
303	C₂×C₈	—	106	4	no	—
304	C₂×C₈	—	106	2	no	—
305	C₂×C₈	—	106	2	no	—
306	C₂×C₈	—	212	2	no	—
307	C₂×C₈	—	212	2	no	—
308	C₂×C₈	—	212	2	no	—
309	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
310	C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
311	C₂²⋊C₄	—	53	2	no	—
312	C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
313	C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
314	C₄²	—	106	1	no	—
315	C₂³	—	106	2	no	—
316	C₂³	—	106	1	no	—
317	C₂³	—	212	2	no	—
318	C₂³	#13133195	1	2	yes	—
319	C₂³	C₂×Q₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
320	Q₈	—	2	2	no	—
321	D₄	—	2	4	no	—
322	D₄	—	2	2	no	—
323	D₄	—	212	4	no	—
324	C₂×C₄	—	2	2	no	—
325	C₂×C₄	—	2	2	no	—
326	C₂×C₄	—	106	2	no	—
327	C₂×C₄	—	106	2	no	—
328	C₂×C₄	—	106	1	no	—
329	C₂×C₄	—	212	2	no	—
330	C₂×C₄	—	212	1	no	—
331	C₂×C₄	—	212	1	no	—
332	C₂×C₄	#13133195	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₄	#41×D₅₃	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	1	yes	characteristic
336	C₂×C₄	#13133262	1	2	yes	—
337	C₈	—	4	2	no	—
338	C₈	—	4	1	no	—
339	C₈	—	4	2	no	—
340	C₈	—	4	1	no	—
341	C₈	—	53	2	no	—
342	C₈	—	53	2	no	—
343	C₈	—	106	2	no	—
344	C₈	—	212	2	no	—
345	C₈	—	212	2	no	—
346	C₂²	—	2	2	no	—
347	C₂²	—	4	1	no	—
348	C₂²	—	4	2	no	—
349	C₂²	—	106	2	no	—
350	C₂²	—	106	4	no	—
351	C₂²	—	212	1	no	—
352	C₂²	—	212	2	no	—
353	C₂²	—	212	1	no	—
354	C₂²	C₂×#13133195	1	1	yes	characteristic
355	C₂²	#16811327	1	2	yes	—
356	C₄	—	2	2	no	—
357	C₄	—	212	2	no	—
358	C₄	—	212	1	no	—
359	C₄	#123×D₅₃	1	1	yes	characteristic
360	C₄	#16811188	1	1	yes	characteristic
361	C₄	#16811322	1	2	yes	—
362	C₂	—	2	1	no	—
363	C₂	—	2	2	no	—
364	C₂	—	4	2	no	—
365	C₂	—	212	2	no	—
366	C₂	#20279031	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₄	#16811188
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#1858	C₂
socle	C₂×C₅₃	#2487
prime radical	#16811130	C₂²
hypercenter	#1858	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#27691
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₄ ◁ C₂²×C₄ ◁ #1858

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #20283324	C₂	semidirect
3. #20276297	C₂	semidirect
4. #20276230	C₂	semidirect
5. #20275502	C₂	semidirect
8. #20274934	C₂	semidirect
9. #20274763	C₂	semidirect
10. #20274752	C₂	semidirect
11. C₅₃×#1858	C₂	semidirect
187. #1858	D₅₃	semidirect
222. C₅₃	#27691	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20283412	2
#20283324	2
#20276297	2
#20276230	2
#20275502	2
#20275133	2
#20275131	2
#20274934	2
#20274763	2
#20274752	2
C₅₃×#1858	2
#27691	53