Subgroups — #27466282

Order 13568.

626 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 378 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20283430	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20283325	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#20276291	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#20276289	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#20276268	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#20275465	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#20275095	C₂	1	2	yes	maximal
8	#20274999	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#20274767	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#20274760	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₅₃×#2098	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	#16811389	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#13133225	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#13133224	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	#16811169	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	#16810697	—	2	2	no	—
17	#16810691	—	2	2	no	—
18	#16810672	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#16810670	—	2	2	no	—
20	C₂×#13133152	C₂²	1	2	yes	—
21	#108×D₅₃	—	2	2	no	—
22	#16810659	C₂²	1	2	yes	—
23	#16810649	C₂²	1	2	yes	—
24	#16810646	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#16810640	C₂²	1	2	yes	—
26	#16810596	C₂²	1	2	yes	—
27	#16810589	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×#13133127	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#16810394	C₂²	1	2	yes	—
30	#16810393	C₂²	1	2	yes	—
31	#16810384	C₂²	1	2	yes	—
32	#16810382	C₂²	1	2	yes	—
33	#16810380	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₅₃×#430	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₅₃×#424	C₂²	1	2	yes	—
36	C₅₃×#421	C₂²	1	2	yes	—
37	C₅₃×#408	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₅₃×H(3,ℤ/4)	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂×#11719945	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	#13133225	—	2	2	no	—
41	#13133225	—	2	2	no	—
42	#13133225	—	4	2	no	—
43	#13133224	—	2	2	no	—
44	#13133224	—	2	2	no	—
45	#13133223	—	4	2	no	—
46	C₂×#11719917	—	2	1	no	—
47	C₂×#11719917	C₂³	1	1	yes	characteristic
48	C₂×#11719917	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂×#11719912	D₄	1	2	yes	—
50	M₁₆×D₅₃	—	2	4	no	—
51	C₂²×#88322	—	2	1	no	—
52	C₂²×#88322	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂×C₈×D₅₃	D₄	1	2	yes	—
54	#13133215	Q₈	1	1	yes	characteristic
55	#13133213	Q₈	1	1	yes	characteristic
56	#13133206	Q₈	1	1	yes	characteristic
57	#13133204	Q₈	1	1	yes	characteristic
58	#13133189	—	2	2	no	—
59	C₄×C₂²⋊D₅₃	—	2	2	no	—
60	#13133176	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	#13133153	—	2	2	no	—
63	#13133152	—	2	2	no	—
64	#13133152	—	2	2	no	—
65	#13133150	—	2	2	no	—
66	#13133148	—	2	2	no	—
67	#13133146	—	2	2	no	—
68	#13133146	—	4	2	no	—
69	#13133144	—	4	2	no	—
70	#13133131	—	2	4	no	—
71	#13133129	—	2	2	no	—
72	#13133127	—	2	1	no	—
73	#13133127	—	2	1	no	—
74	C₂×#41×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₂×M₁₆×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂×M₁₆×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
77	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	#117×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
79	#108×C₅₃	—	2	2	no	—
80	C₄⋊C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
81	#104×C₅₃	—	4	2	no	—
82	C₂²⋊C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
83	#41×C₅₃	—	2	2	no	—
84	#41×C₅₃	—	2	2	no	—
85	C₂×Q₈×C₅₃	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
86	C₂×D₄×C₅₃	—	2	1	no	—
87	C₂×D₄×C₅₃	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
88	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
89	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
90	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	2	2	no	—
91	C₂×C₂²⋊D₅₃	#41	1	2	yes	—
92	C₂²×Dic₅₃	—	2	1	no	—
93	#11719945	—	2	2	no	—
94	#11719945	—	2	2	no	—
95	C₂×D₂₁₂	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
96	C₂×C₄×D₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
97	C₂×Dic₁₀₆	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
98	M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
99	M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
100	M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
101	C₂×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
102	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
103	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
104	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
105	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
106	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
107	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
108	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
109	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
110	#11719921	—	2	2	no	—
111	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
112	#11719919	—	2	2	no	—
113	C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
114	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
115	C₄×Dic₅₃	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
116	C₄×Dic₅₃	C₂×Q₈	1	1	yes	characteristic
117	#11719917	—	2	2	no	—
118	#11719917	—	2	2	no	—
119	#11719917	—	2	2	no	—
120	#11719917	—	4	1	no	—
121	#11719917	—	4	1	no	—
122	C₂×#88322	—	2	1	no	—
123	C₂×#88322	—	2	2	no	—
124	C₂×#88322	—	4	2	no	—
125	C₂×#88322	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂×#88322	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂×#88322	#41	1	2	yes	—
128	C₂×#88322	#41	1	2	yes	—
129	#11719912	—	2	4	no	—
130	#11719912	—	4	4	no	—
131	C₈×D₅₃	—	2	2	no	—
132	C₈×D₅₃	—	2	2	no	—
133	C₈×D₅₃	—	4	4	no	—
134	C₂³×C₅₃	—	2	1	no	—
135	C₂³×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
136	C₂²×D₅₃	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
137	Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
138	D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
139	D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
140	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
141	C₂×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
142	C₂×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
143	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
144	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
145	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
146	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
147	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
148	C₂²⋊D₅₃	—	2	4	no	—
149	C₂²⋊D₅₃	—	8	2	no	—
150	C₂×Dic₅₃	—	2	1	no	—
151	C₂×Dic₅₃	—	2	1	no	—
152	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
153	C₂×Dic₅₃	—	8	1	no	—
154	C₂×Dic₅₃	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
155	D₂₁₂	—	2	2	no	—
156	C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
157	C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
158	Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
159	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
160	C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
161	C₈×C₅₃	—	4	1	no	—
162	#88322	—	4	1	no	—
163	#88322	—	4	2	no	—
164	#88322	#123	1	1	yes	characteristic
165	#88322	#123	1	1	yes	characteristic
166	#88322	#123	1	2	yes	—
167	#27694	—	53	1	no	maximal, Sylow
168	C₂²×C₅₃	—	4	1	no	—
169	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
170	C₂²×C₅₃	—	4	1	no	—
171	C₂²×C₅₃	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
172	C₂²×C₅₃	#553	1	2	yes	—
173	C₂×D₅₃	—	2	2	no	—
174	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
175	C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
176	C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
177	C₄×C₅₃	C₂×#123	1	1	yes	characteristic
178	C₄×C₅₃	#535	1	1	yes	characteristic
179	C₄×C₅₃	#554	1	2	yes	—
180	Dic₅₃	—	2	2	no	—
181	Dic₅₃	—	4	1	no	—
182	Dic₅₃	—	4	1	no	—
183	Dic₅₃	—	8	2	no	—
184	#2932	—	53	1	no	—
185	#2916	—	53	1	no	—
186	#2102	—	53	1	no	—
187	#2102	—	53	1	no	—
188	#2098	—	53	1	no	—
189	#2098	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
190	#1946	—	53	2	no	—
191	#1884	—	53	2	no	—
192	#1868	—	53	2	no	—
193	#1814	—	53	2	no	—
194	#1812	—	53	1	no	—
195	C₂×C₅₃	—	2	1	no	—
196	C₂×C₅₃	—	2	2	no	—
197	C₂×C₅₃	—	8	1	no	—
198	C₂×C₅₃	#2487	1	1	yes	characteristic
199	D₅₃	—	4	2	no	—
200	#568	—	53	2	no	—
201	C₂×#131	—	53	1	no	—
202	C₂×#131	—	53	1	no	—
203	#532	—	53	1	no	—
204	#435	—	106	2	no	—
205	#435	—	106	2	no	—
206	#430	—	53	1	no	—
207	#430	—	106	2	no	—
208	#430	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
209	C₂×#108	—	53	2	no	—
210	C₂×#108	—	106	2	no	—
211	#427	—	53	2	no	—
212	#424	—	53	2	no	—
213	#424	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
214	#423	—	53	1	no	—
215	#421	—	53	2	no	—
216	#421	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
217	#410	—	53	2	no	—
218	#408	—	53	1	no	—
219	#408	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
220	C₂×#97	—	53	1	no	—
221	#344	—	53	2	no	—
222	#344	—	53	2	no	—
223	#339	—	53	2	no	—
224	#339	—	53	2	no	—
225	H(3,ℤ/4)	—	53	1	no	—
226	H(3,ℤ/4)	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
227	C₅₃	#27694	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
228	C₂×#41	—	53	1	no	—
229	C₂×#41	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
230	#131	—	106	2	no	—
231	#131	—	106	2	no	—
232	#131	—	106	2	no	—
233	#131	—	106	2	no	—
234	#131	—	212	2	no	—
235	#131	—	212	2	no	—
236	C₂×M₁₆	—	53	2	no	—
237	C₂×M₁₆	—	53	1	no	—
238	C₂×M₁₆	—	53	2	no	—
239	C₂×M₁₆	—	106	1	no	—
240	C₂×M₁₆	—	106	4	no	—
241	C₂×M₁₆	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
242	C₂×M₁₆	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
243	C₂²×C₈	—	53	1	no	—
244	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
245	C₂²×C₈	—	106	1	no	—
246	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
247	C₄⋊Q₈	—	53	1	no	—
248	#127	—	53	1	no	—
249	#124	—	53	1	no	—
250	#124	—	53	1	no	—
251	#121	—	106	2	no	—
252	C₄×D₄	—	106	2	no	—
253	#117	—	53	2	no	—
254	#117	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
255	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
256	#108	—	2	2	no	—
257	#108	—	106	2	no	—
258	#108	—	106	2	no	—
259	#108	—	106	2	no	—
260	#107	—	106	2	no	—
261	#106	—	106	2	no	—
262	C₄⋊C₈	—	4	2	no	—
263	C₄⋊C₈	—	106	2	no	—
264	C₄⋊C₈	—	212	2	no	—
265	#104	—	4	2	no	—
266	#104	—	212	2	no	—
267	#99	—	106	4	no	—
268	C₂²⋊C₈	—	2	2	no	—
269	C₂²⋊C₈	—	106	2	no	—
270	#97	—	106	1	no	—
271	#97	—	106	1	no	—
272	#41	—	2	2	no	—
273	#41	—	2	2	no	—
274	#41	—	106	2	no	—
275	#41	—	106	2	no	—
276	C₂×Q₈	—	53	1	no	—
277	C₂×Q₈	Q₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
278	C₂×D₄	—	2	1	no	—
279	C₂×D₄	—	53	2	no	—
280	C₂×D₄	—	53	1	no	—
281	C₂×D₄	—	106	2	no	—
282	C₂×D₄	Q₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
283	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
284	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
285	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
286	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
287	M₁₆	—	2	2	no	—
288	M₁₆	—	2	2	no	—
289	M₁₆	—	2	2	no	—
290	M₁₆	—	106	4	no	—
291	M₁₆	—	106	2	no	—
292	M₁₆	—	106	2	no	—
293	M₁₆	—	106	2	no	—
294	M₁₆	—	212	4	no	—
295	M₁₆	—	212	1	no	—
296	M₁₆	—	212	1	no	—
297	C₂×C₈	—	2	1	no	—
298	C₂×C₈	—	2	2	no	—
299	C₂×C₈	—	2	2	no	—
300	C₂×C₈	—	53	1	no	—
301	C₂×C₈	—	53	1	no	—
302	C₂×C₈	—	53	2	no	—
303	C₂×C₈	—	53	2	no	—
304	C₂×C₈	—	106	2	no	—
305	C₂×C₈	—	106	2	no	—
306	C₂×C₈	—	106	1	no	—
307	C₂×C₈	—	106	2	no	—
308	C₂×C₈	—	212	4	no	—
309	C₂×C₈	—	212	2	no	—
310	C₂×C₈	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
311	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
312	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
313	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
314	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
315	C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
316	C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
317	C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
318	C₄²	—	2	2	no	—
319	C₄²	—	53	1	no	—
320	C₄²	—	53	1	no	—
321	C₄²	—	106	1	no	—
322	C₄²	—	106	2	no	—
323	C₂³	—	2	1	no	—
324	C₂³	—	53	2	no	—
325	C₂³	#41×D₅₃	1	1	yes	characteristic
326	Q₈	—	2	2	no	—
327	Q₈	—	106	2	no	—
328	D₄	—	2	2	no	—
329	D₄	—	4	2	no	—
330	D₄	—	106	4	no	—
331	D₄	—	106	2	no	—
332	D₄	—	424	2	no	—
333	C₂×C₄	—	2	1	no	—
334	C₂×C₄	—	4	1	no	—
335	C₂×C₄	—	4	1	no	—
336	C₂×C₄	—	4	2	no	—
337	C₂×C₄	—	53	2	no	—
338	C₂×C₄	—	106	2	no	—
339	C₂×C₄	—	106	2	no	—
340	C₂×C₄	—	106	1	no	—
341	C₂×C₄	—	106	1	no	—
342	C₂×C₄	—	424	1	no	—
343	C₂×C₄	—	212	2	no	—
344	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	C₂×Q₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
346	C₂×C₄	#41×D₅₃	1	2	yes	—
347	C₂×C₄	#13133262	1	2	yes	—
348	C₈	—	2	2	no	—
349	C₈	—	4	1	no	—
350	C₈	—	4	2	no	—
351	C₈	—	53	1	no	—
352	C₈	—	53	1	no	—
353	C₈	—	53	2	no	—
354	C₈	—	212	1	no	—
355	C₈	—	212	2	no	—
356	C₂²	—	4	1	no	—
357	C₂²	—	4	2	no	—
358	C₂²	—	4	1	no	—
359	C₂²	—	106	2	no	—
360	C₂²	—	212	2	no	—
361	C₂²	C₂²⋊Q₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
362	C₂²	#16811318	1	2	yes	—
363	C₄	—	4	1	no	—
364	C₄	—	8	2	no	—
365	C₄	—	106	2	no	—
366	C₄	—	424	2	no	—
367	C₄	—	212	1	no	—
368	C₄	—	212	1	no	—
369	C₄	#123×D₅₃	1	1	yes	characteristic
370	C₄	#16811186	1	1	yes	characteristic
371	C₄	#16811327	1	2	yes	—
372	C₂	—	2	2	no	—
373	C₂	—	2	1	no	—
374	C₂	—	8	1	no	—
375	C₂	—	212	2	no	—
376	C₂	#20279025	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₄	#16811186
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#2098	C₂
socle	C₂×C₅₃	#2487
prime radical	#16811169	C₂²
hypercenter	#2098	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#27694
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₄ ◁ C₂²×C₄ ◁ #2098

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #20283325	C₂	semidirect
3. #20276291	C₂	semidirect
4. #20276289	C₂	semidirect
5. #20276268	C₂	semidirect
6. #20275465	C₂	semidirect
8. #20274999	C₂	semidirect
9. #20274767	C₂	semidirect
10. #20274760	C₂	semidirect
11. C₅₃×#2098	C₂	semidirect
189. #2098	D₅₃	semidirect
227. C₅₃	#27694	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20283430	2
#20283325	2
#20276291	2
#20276289	2
#20276268	2
#20275465	2
#20275095	2
#20274999	2
#20274767	2
#20274760	2
C₅₃×#2098	2
#27694	53