Subgroups — #27472256

Order 13568.

872 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 382 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16810834	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₄×#13133217	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₄×#13133217	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#20276125	C₂	1	2	yes	maximal
5	#20275817	C₂	1	2	yes	maximal
6	#20275055	C₂	1	4	yes	maximal
7	#20274721	C₂	1	2	yes	maximal
8	C₅₃×#1831	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₂²×Dic₂₁₂	C₂²	1	4	yes	—
10	C₂×#13133217	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#13133217	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×C₄×Dic₁₀₆	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×C₄×Dic₁₀₆	C₂²	1	2	yes	—
14	#16810834	—	2	8	no	—
15	C₂×#13133142	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×#13133142	C₂²	1	4	yes	—
17	#16810529	C₂²	1	2	yes	—
18	#16810529	C₂²	1	2	yes	—
19	#16810521	—	2	1	no	—
20	#16810521	—	2	1	no	—
21	#16810521	—	2	1	no	—
22	#16810521	—	2	1	no	—
23	#16810493	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#16810493	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₄×C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
26	C₄×C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
27	C₄×C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
28	C₄×C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
29	#16810386	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂×C₄⋊C₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
31	C₄³×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₅₃×#336	C₂²	1	2	yes	—
33	C₅₃×#336	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂²×Dic₁₀₆	C₂³	1	2	yes	—
35	C₂²×Dic₁₀₆	C₂³	1	2	yes	—
36	C₂×Dic₂₁₂	—	2	8	no	—
37	C₂×Dic₂₁₂	—	2	8	no	—
38	C₂×Dic₂₁₂	—	4	4	no	—
39	#13133217	—	2	2	no	—
40	#13133217	—	2	4	no	—
41	#13133217	D₄	1	4	yes	—
42	C₄×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
43	C₄×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
44	C₄×Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
45	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
46	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
47	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
48	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
49	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
50	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
51	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
52	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
53	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂×#11719919	—	2	2	no	—
56	C₂×#11719919	—	2	2	no	—
57	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
58	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
59	#13133142	—	2	8	no	—
60	#13133142	—	4	4	no	—
61	#13133124	—	2	2	no	—
62	#13133124	—	2	2	no	—
63	#13133124	—	2	2	no	—
64	#13133124	—	2	2	no	—
65	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
66	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
67	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
68	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	C₄⋊C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
74	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
78	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
80	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
81	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
82	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
83	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
84	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
85	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
86	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
87	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
88	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
89	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
90	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
91	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
92	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
93	C₂×Dic₁₀₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
94	C₂×Dic₁₀₆	#41	1	4	yes	—
95	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
96	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
97	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
98	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
99	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
100	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
101	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
102	C₄²×C₅₃	—	4	1	no	—
103	C₄²×C₅₃	Q₁₆	1	4	yes	complemented
104	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
105	C₄²×C₅₃	#41	1	2	yes	—
106	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
107	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
108	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
109	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
110	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
111	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
112	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
113	C₄⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
114	C₄⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
115	C₄⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
116	C₄⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
117	#11719919	—	4	4	no	—
118	#11719919	—	4	4	no	—
119	C₄×Dic₅₃	—	4	4	no	—
120	C₄×Dic₅₃	—	4	4	no	—
121	Dic₂₁₂	—	4	16	no	—
122	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
123	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
124	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
125	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
126	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
127	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
128	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
129	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
130	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
131	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
132	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
133	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
134	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	2	yes	—
135	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	2	yes	—
136	C₂×C₄×C₅₃	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
137	C₂×C₄×C₅₃	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
138	C₂×C₄×C₅₃	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
139	C₂×C₄×C₅₃	#137	1	2	yes	—
140	C₂×C₄×C₅₃	#137	1	2	yes	—
141	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
143	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
144	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
145	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
146	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
147	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
148	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
149	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
150	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
151	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
152	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
153	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
154	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
155	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
156	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
157	Dic₁₀₆	—	2	8	no	—
158	Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
159	Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
160	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
161	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
162	Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
163	C₈×C₅₃	—	4	4	no	—
164	#28161	—	53	1	no	maximal, Sylow
165	C₂²×C₅₃	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
166	C₂²×C₅₃	#525	1	1	yes	characteristic
167	C₂²×C₅₃	#535	1	1	yes	characteristic
168	C₂²×C₅₃	C₂²×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
169	C₂²×C₅₃	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
170	C₂²×C₅₃	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
171	C₂²×C₅₃	#575	1	1	yes	characteristic
172	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
173	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
174	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
175	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
176	C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
177	C₄×C₅₃	#462	1	4	yes	—
178	C₄×C₅₃	#546	1	2	yes	—
179	C₄×C₅₃	#553	1	2	yes	—
180	Dic₅₃	—	4	4	no	—
181	Dic₅₃	—	4	4	no	—
182	Dic₅₃	—	8	2	no	—
183	Dic₅₃	—	8	2	no	—
184	C₂×#462	—	53	2	no	—
185	C₄×C₄⋊Q₈	—	53	1	no	—
186	C₄×C₄⋊Q₈	—	53	1	no	—
187	#2072	—	53	2	no	—
188	#2016	—	53	2	no	—
189	#1878	—	53	4	no	—
190	#1831	D₅₃	1	1	yes	characteristic
191	#1803	—	53	2	no	—
192	C₂×C₅₃	#2535	1	1	yes	characteristic
193	C₂×C₅₃	C₂×#462	1	1	yes	characteristic
194	C₂×C₅₃	#3037	1	1	yes	characteristic
195	C₂×C₅₃	#3104	1	1	yes	characteristic
196	C₂×C₅₃	#3113	1	1	yes	characteristic
197	C₂×C₅₃	#3209	1	1	yes	characteristic
198	C₂×C₅₃	#3216	1	1	yes	characteristic
199	C₂²×Q₁₆	—	53	4	no	—
200	C₂×C₄⋊Q₈	—	53	1	no	—
201	C₂×C₄⋊Q₈	—	53	1	no	—
202	C₂×C₄×Q₈	—	53	2	no	—
203	C₂×C₄×Q₈	—	53	2	no	—
204	#462	—	106	8	no	—
205	C₂×C₄⋊C₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
206	C₂×#103	—	53	4	no	—
207	C₂×#103	—	53	4	no	—
208	#391	—	53	2	no	—
209	#391	—	53	2	no	—
210	#389	—	106	1	no	—
211	#389	—	106	1	no	—
212	#389	—	106	1	no	—
213	#389	—	106	1	no	—
214	#384	—	53	1	no	—
215	#384	—	53	1	no	—
216	C₄×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
217	C₄×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
218	C₄×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
219	C₄×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
220	C₄³	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
221	#340	—	53	4	no	—
222	#336	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
223	#336	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
224	C₅₃	#28161	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
225	C₂²×Q₈	—	53	2	no	—
226	C₂²×Q₈	—	53	2	no	—
227	C₂×Q₁₆	—	106	8	no	—
228	C₂×Q₁₆	—	106	8	no	—
229	C₂×Q₁₆	—	212	4	no	—
230	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
231	C₄⋊Q₈	—	53	4	no	—
232	C₄⋊Q₈	—	106	4	no	—
233	C₄⋊Q₈	—	106	2	no	—
234	C₄×Q₈	—	106	4	no	—
235	C₄×Q₈	—	106	4	no	—
236	C₄×Q₈	—	212	4	no	—
237	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
238	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
239	C₂×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
240	C₂×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
241	C₂×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
242	C₂×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
243	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
244	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
245	C₂×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
246	C₂×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
247	C₂×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
248	C₂×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
249	C₂×C₄²	—	106	2	no	—
250	C₂×C₄²	—	106	2	no	—
251	C₂×C₄²	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
252	C₂×C₄²	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
253	C₂×C₄²	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
254	C₂×C₄²	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
255	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
256	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
257	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
258	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
259	#103	—	106	8	no	—
260	#103	—	212	4	no	—
261	#95	—	106	2	no	—
262	#95	—	106	2	no	—
263	#95	—	106	2	no	—
264	#95	—	106	2	no	—
265	C₂×Q₈	—	53	4	no	—
266	C₂×Q₈	—	53	4	no	—
267	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
268	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
269	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
270	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
271	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
272	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
273	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
274	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
275	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
276	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
277	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
278	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
279	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
280	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
281	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
282	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
283	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
284	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
285	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
286	Q₁₆	—	212	16	no	—
287	C₂×C₈	—	2	4	no	—
288	C₂×C₈	—	2	4	no	—
289	C₂×C₈	—	2	4	no	—
290	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
291	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
292	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
293	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
294	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
295	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
296	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
297	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
298	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
299	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
300	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
301	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
302	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
303	C₄²	—	2	2	no	—
304	C₄²	—	2	2	no	—
305	C₄²	—	2	2	no	—
306	C₄²	—	2	2	no	—
307	C₄²	—	4	1	no	—
308	C₄²	—	212	4	no	—
309	C₄²	—	212	4	no	—
310	C₄²	Dic₂₁₂	1	4	yes	complemented
311	C₄²	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
312	C₄²	#11719949	1	2	yes	—
313	C₂³	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
314	Q₈	—	106	4	no	—
315	Q₈	—	106	8	no	—
316	Q₈	—	106	4	no	—
317	Q₈	—	212	2	no	—
318	Q₈	—	212	2	no	—
319	Q₈	—	212	4	no	—
320	C₂×C₄	—	2	1	no	—
321	C₂×C₄	—	2	1	no	—
322	C₂×C₄	—	2	1	no	—
323	C₂×C₄	—	2	1	no	—
324	C₂×C₄	—	2	1	no	—
325	C₂×C₄	—	2	1	no	—
326	C₂×C₄	—	2	1	no	—
327	C₂×C₄	—	2	1	no	—
328	C₂×C₄	—	2	1	no	—
329	C₂×C₄	—	2	1	no	—
330	C₂×C₄	—	2	1	no	—
331	C₂×C₄	—	106	4	no	—
332	C₂×C₄	—	106	4	no	—
333	C₂×C₄	—	212	2	no	—
334	C₂×C₄	—	212	2	no	—
335	C₂×C₄	—	212	2	no	—
336	C₂×C₄	—	212	2	no	—
337	C₂×C₄	—	212	2	no	—
338	C₂×C₄	—	212	2	no	—
339	C₂×C₄	—	212	2	no	—
340	C₂×C₄	—	212	2	no	—
341	C₂×C₄	—	212	2	no	—
342	C₂×C₄	—	212	2	no	—
343	C₂×C₄	#13133192	1	2	yes	—
344	C₂×C₄	#13133192	1	2	yes	—
345	C₂×C₄	C₂×Dic₂₁₂	1	2	yes	—
346	C₂×C₄	C₂×Dic₂₁₂	1	2	yes	—
347	C₂×C₄	C₂×Dic₂₁₂	1	2	yes	—
348	C₂×C₄	#13133250	1	2	yes	—
349	C₂×C₄	#13133250	1	2	yes	—
350	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
351	C₂×C₄	#41×D₅₃	1	2	yes	—
352	C₂×C₄	C₂×#11719949	1	1	yes	characteristic
353	C₂×C₄	#13133263	1	2	yes	—
354	C₈	—	4	4	no	—
355	C₂²	C₂×#13133192	1	1	yes	characteristic
356	C₂²	#16811135	1	1	yes	characteristic
357	C₂²	#16811192	1	1	yes	characteristic
358	C₂²	C₂²×Dic₂₁₂	1	1	yes	characteristic
359	C₂²	C₂×#13133250	1	1	yes	characteristic
360	C₂²	C₂×#13133250	1	1	yes	characteristic
361	C₂²	#16811423	1	1	yes	characteristic
362	C₄	—	2	2	no	—
363	C₄	—	2	2	no	—
364	C₄	—	2	2	no	—
365	C₄	—	2	2	no	—
366	C₄	—	4	1	no	—
367	C₄	—	424	2	no	—
368	C₄	—	424	2	no	—
369	C₄	—	212	4	no	—
370	C₄	—	212	4	no	—
371	C₄	#16810834	1	4	yes	—
372	C₄	#16811266	1	2	yes	—
373	C₄	#16811326	1	2	yes	—
374	C₂	#20279617	1	1	yes	characteristic
375	C₂	C₂×#16810834	1	1	yes	characteristic
376	C₂	#20284189	1	1	yes	characteristic
377	C₂	#20284755	1	1	yes	characteristic
378	C₂	#20284846	1	1	yes	characteristic
379	C₂	#20285665	1	1	yes	characteristic
380	C₂	#20285728	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂²×D₂₁₂
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#1831	C₂
socle, prime radical	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
hypercenter	#1831	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#28161
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄³ ◁ #1831

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
103. C₄²×C₅₃	Q₁₆	semidirect
224. C₅₃	#28161	semidirect
310. C₄²	Dic₂₁₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16810834	2
C₄×#13133217	2
#20276125	2
#20275817	2
#20275055	2
#20274721	2
C₅₃×#1831	2
#28161	53