Subgroups — #27472381

Order 13568.

866 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 418 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16810847	C₂	1	2	yes	maximal
2	#20277435	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#20277429	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#20276133	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#20276130	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#20275798	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#20275058	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#20275046	C₂	1	2	yes	maximal
9	#20274833	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	#20274718	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
11	C₅₃×#2016	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂²×#11719924	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#13133206	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×Q₈×Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×Q₈×Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#13133179	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#16810847	—	2	8	no	—
18	C₂×#13133146	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#13133141	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#13133141	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#13133139	C₂²	1	2	yes	—
22	#16810530	C₂²	1	2	yes	—
23	#16810525	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#16810512	—	2	2	no	—
25	#16810509	—	2	2	no	—
26	#16810509	—	2	2	no	—
27	#16810497	—	2	2	no	—
28	#16810492	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	#16810489	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#16810469	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	#16810386	C₂²	1	2	yes	—
32	#16810385	C₂²	1	2	yes	—
33	#16810378	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#16810377	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂²×Q₁₆×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×C₄⋊Q₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₂×#103×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
38	C₅₃×#391	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₅₃×#336	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₂²×D₂₁₂	C₂³	1	1	yes	characteristic
41	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	1	no	—
42	C₂×#11719924	—	2	4	no	—
43	C₂×#11719924	—	2	4	no	—
44	C₂×#11719924	—	4	2	no	—
45	C₂²×#88322	C₂³	1	2	yes	—
46	#13133206	—	2	2	no	—
47	#13133206	D₄	1	4	yes	—
48	Q₈×Dic₅₃	—	2	4	no	—
49	Q₈×Dic₅₃	—	2	4	no	—
50	Q₈×Dic₅₃	—	4	2	no	—
51	#13133179	—	4	2	no	—
52	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
53	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
54	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂×#11719919	—	2	2	no	—
57	C₂×#11719921	—	2	2	no	—
58	C₂×#11719921	—	2	2	no	—
59	C₂×#11719921	—	2	1	no	—
60	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
61	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
62	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	#13133146	—	2	4	no	—
65	#13133141	—	2	4	no	—
66	#13133141	—	4	2	no	—
67	#13133139	—	2	4	no	—
68	#13133124	—	2	2	no	—
69	#13133124	—	2	2	no	—
70	#13133124	—	2	2	no	—
71	#13133124	D₄	1	2	yes	—
72	#13133124	D₄	1	2	yes	—
73	C₂²×Q₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	C₂²×Q₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
75	C₂×Q₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
76	C₂×Q₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
77	C₂×Q₁₆×C₅₃	—	4	2	no	—
78	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
79	C₄⋊Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
80	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
81	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
82	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	#103×C₅₃	—	4	2	no	—
84	#95×C₅₃	—	2	2	no	—
85	C₂³×D₅₃	—	2	1	no	—
86	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
87	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	1	no	—
88	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
89	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
90	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
91	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
92	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
93	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
94	C₂×Q₈×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
95	C₂×Q₈×C₅₃	#41	1	4	yes	—
96	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
97	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
98	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
99	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
100	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
101	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
102	C₂²×Dic₅₃	—	2	1	no	—
103	C₂²×Dic₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂²×Dic₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
105	C₂²×Dic₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
106	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
107	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
108	C₂×D₂₁₂	—	2	1	no	—
109	C₂×D₂₁₂	C₂×D₄	1	2	yes	—
110	C₂×C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
111	C₂×C₄×D₅₃	—	8	2	no	—
112	Q₁₆×C₅₃	—	4	8	no	—
113	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
114	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
115	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
116	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
117	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
118	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
119	#11719924	—	4	8	no	—
120	#11719921	—	2	8	no	—
121	#11719921	—	4	2	no	—
122	#11719921	—	8	2	no	—
123	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
124	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
125	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
126	C₄⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
127	C₄⋊Dic₅₃	—	4	4	no	—
128	#11719919	—	8	2	no	—
129	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
130	C₄×Dic₅₃	—	4	2	no	—
131	C₄×Dic₅₃	—	4	4	no	—
132	C₄×Dic₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
133	C₄×Dic₅₃	#41	1	2	yes	—
134	C₂×#88322	—	2	2	no	—
135	C₂×#88322	—	2	2	no	—
136	C₂×#88322	—	2	2	no	—
137	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
139	C₂²×D₅₃	—	4	1	no	—
140	C₂²×D₅₃	—	4	1	no	—
141	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
142	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
143	Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
144	Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
145	Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
146	Q₈×C₅₃	—	4	2	no	—
147	Q₈×C₅₃	—	4	2	no	—
148	Q₈×C₅₃	—	4	2	no	—
149	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
150	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
151	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
152	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
153	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
154	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
155	C₂×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
156	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
157	C₂×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
158	C₂×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
159	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
160	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
161	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
162	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
163	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
164	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
165	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
166	C₂×Dic₅₃	—	2	1	no	—
167	C₂×Dic₅₃	—	2	1	no	—
168	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
169	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
170	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
171	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
172	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
173	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
174	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
175	C₂×Dic₅₃	#121	1	4	yes	—
176	D₂₁₂	—	2	4	no	—
177	D₂₁₂	—	4	2	no	—
178	C₄×D₅₃	—	8	4	no	—
179	C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
180	#88322	—	4	2	no	—
181	#28173	—	53	1	no	maximal, Sylow
182	C₂²×C₅₃	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
183	C₂²×C₅₃	#525	1	1	yes	characteristic
184	C₂²×C₅₃	#535	1	1	yes	characteristic
185	C₂²×C₅₃	#577	1	2	yes	—
186	C₂²×C₅₃	#578	1	2	yes	—
187	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
188	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
189	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
190	C₂×D₅₃	—	8	1	no	—
191	C₂×D₅₃	—	8	1	no	—
192	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
193	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
194	C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
195	C₄×C₅₃	—	8	1	no	—
196	C₄×C₅₃	#546	1	2	yes	—
197	C₄×C₅₃	#553	1	2	yes	—
198	Dic₅₃	—	2	4	no	—
199	Dic₅₃	—	4	1	no	—
200	Dic₅₃	—	4	1	no	—
201	Dic₅₃	—	8	1	no	—
202	Dic₅₃	—	8	2	no	—
203	C₂×#464	—	53	2	no	—
204	#2327	—	53	1	no	—
205	#2326	—	53	1	no	—
206	#2074	—	53	1	no	—
207	#2073	—	53	1	no	—
208	#2016	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
209	#2013	—	53	1	no	—
210	#1878	—	53	2	no	—
211	#1877	—	53	2	no	—
212	#1832	—	53	1	no	—
213	#1803	—	53	2	no	—
214	C₂×C₅₃	#2535	1	1	yes	characteristic
215	C₂×C₅₃	#3046	1	2	yes	—
216	C₂×C₅₃	#3121	1	2	yes	—
217	C₂×C₅₃	#3222	1	1	yes	characteristic
218	C₂×C₅₃	#3223	1	1	yes	characteristic
219	D₅₃	—	8	2	no	—
220	C₂²×Q₁₆	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
221	C₂²×SD₁₆	—	53	2	no	—
222	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
223	C₂×#124	—	53	1	no	—
224	C₂×C₄×Q₈	—	53	2	no	—
225	C₂×C₄×Q₈	—	53	1	no	—
226	C₂×C₄×D₄	—	53	1	no	—
227	#464	—	106	8	no	—
228	C₂×C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
229	C₂×#103	—	53	2	no	—
230	C₂×#103	—	53	2	no	—
231	C₂×#103	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
232	C₂×#102	—	53	2	no	—
233	#391	—	53	2	no	—
234	#391	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
235	#390	—	53	1	no	—
236	#388	—	106	2	no	—
237	#387	—	106	2	no	—
238	#387	—	106	2	no	—
239	#385	—	106	2	no	—
240	#384	—	53	1	no	—
241	#382	—	53	1	no	—
242	#376	—	53	1	no	—
243	#340	—	53	2	no	—
244	#340	—	53	2	no	—
245	#336	—	53	2	no	—
246	#336	—	53	1	no	—
247	#336	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
248	C₅₃	#28173	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
249	C₂²×Q₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
250	C₂²×Q₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
251	C₂²×D₄	—	53	1	no	—
252	C₂³×C₄	—	106	1	no	—
253	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
254	C₂×Q₁₆	—	2	4	no	—
255	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
256	C₂×SD₁₆	—	106	4	no	—
257	C₂×SD₁₆	—	106	4	no	—
258	C₂×SD₁₆	—	212	2	no	—
259	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
260	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
261	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
262	#124	—	53	4	no	—
263	#124	—	106	2	no	—
264	C₄×Q₈	—	106	4	no	—
265	C₄×Q₈	—	106	4	no	—
266	C₄×Q₈	—	212	2	no	—
267	C₄×D₄	—	212	2	no	—
268	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
269	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
270	C₂×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
271	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
272	C₂×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
273	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
274	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
275	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
276	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
277	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	1	no	—
278	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
279	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
280	C₂×C₄²	—	106	2	no	—
281	C₂×C₄²	—	106	1	no	—
282	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
283	C₄⋊C₈	—	106	4	no	—
284	#103	—	4	2	no	—
285	#103	—	106	4	no	—
286	#103	—	212	2	no	—
287	#102	—	106	4	no	—
288	#95	—	2	2	no	—
289	#95	—	53	2	no	—
290	#95	—	53	2	no	—
291	#95	—	106	2	no	—
292	#95	—	106	2	no	—
293	#95	—	106	2	no	—
294	C₂⁴	—	106	1	no	—
295	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
296	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
297	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
298	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
299	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
300	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
301	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
302	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
303	C₂×Q₈	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
304	C₂×Q₈	#11719947	1	4	yes	—
305	C₂×D₄	—	53	2	no	—
306	C₂×D₄	—	106	1	no	—
307	C₂×D₄	—	106	2	no	—
308	C₂×D₄	—	106	2	no	—
309	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
310	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
312	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
313	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
314	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
315	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
316	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
317	C₂²×C₄	—	424	2	no	—
318	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
319	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
320	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
321	Q₁₆	—	4	8	no	—
322	SD₁₆	—	212	8	no	—
323	C₂×C₈	—	2	2	no	—
324	C₂×C₈	—	2	2	no	—
325	C₂×C₈	—	2	2	no	—
326	C₂×C₈	—	106	2	no	—
327	C₂×C₈	—	106	2	no	—
328	C₂×C₈	—	106	2	no	—
329	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
330	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
331	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
332	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
333	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
334	C₄⋊C₄	—	424	2	no	—
335	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
336	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
337	C₂²⋊C₄	—	106	8	no	—
338	C₂²⋊C₄	—	424	2	no	—
339	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
340	C₄²	—	2	2	no	—
341	C₄²	—	53	2	no	—
342	C₄²	—	53	2	no	—
343	C₄²	—	106	2	no	—
344	C₄²	—	212	4	no	—
345	C₄²	—	212	2	no	—
346	C₂³	—	106	2	no	—
347	C₂³	—	212	1	no	—
348	C₂³	—	212	2	no	—
349	C₂³	—	212	2	no	—
350	C₂³	—	212	1	no	—
351	C₂³	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
352	Q₈	—	2	4	no	—
353	Q₈	—	2	4	no	—
354	Q₈	—	2	4	no	—
355	Q₈	—	4	2	no	—
356	Q₈	—	4	2	no	—
357	Q₈	—	4	2	no	—
358	D₄	—	106	4	no	—
359	D₄	—	212	2	no	—
360	C₂×C₄	—	2	2	no	—
361	C₂×C₄	—	2	2	no	—
362	C₂×C₄	—	2	4	no	—
363	C₂×C₄	—	2	2	no	—
364	C₂×C₄	—	2	2	no	—
365	C₂×C₄	—	4	2	no	—
366	C₂×C₄	—	4	1	no	—
367	C₂×C₄	—	4	1	no	—
368	C₂×C₄	—	4	2	no	—
369	C₂×C₄	—	4	2	no	—
370	C₂×C₄	—	4	1	no	—
371	C₂×C₄	—	53	4	no	—
372	C₂×C₄	—	106	2	no	—
373	C₂×C₄	—	106	2	no	—
374	C₂×C₄	—	106	2	no	—
375	C₂×C₄	—	106	2	no	—
376	C₂×C₄	—	106	1	no	—
377	C₂×C₄	—	106	1	no	—
378	C₂×C₄	—	424	4	no	—
379	C₂×C₄	—	212	2	no	—
380	C₂×C₄	—	212	2	no	—
381	C₂×C₄	—	212	2	no	—
382	C₂×C₄	—	212	2	no	—
383	C₂×C₄	—	212	1	no	—
384	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
385	C₂×C₄	#41×D₅₃	1	1	yes	characteristic
386	C₂×C₄	C₂×#11719947	1	2	yes	—
387	C₂×C₄	#13133262	1	2	yes	—
388	C₈	—	4	2	no	—
389	C₈	—	212	2	no	—
390	C₂²	—	424	2	no	—
391	C₂²	—	424	1	no	—
392	C₂²	—	424	1	no	—
393	C₂²	—	212	2	no	—
394	C₂²	—	212	4	no	—
395	C₂²	#121×D₅₃	1	1	yes	characteristic
396	C₂²	#16811129	1	1	yes	characteristic
397	C₂²	#16811186	1	1	yes	characteristic
398	C₂²	#16811432	1	2	yes	—
399	C₂²	#16811436	1	2	yes	—
400	C₄	—	4	2	no	—
401	C₄	—	4	2	no	—
402	C₄	—	4	4	no	—
403	C₄	—	8	1	no	—
404	C₄	—	106	4	no	—
405	C₄	—	424	1	no	—
406	C₄	—	424	2	no	—
407	C₄	—	212	1	no	—
408	C₄	—	212	1	no	—
409	C₄	#16811260	1	2	yes	—
410	C₄	#16811316	1	2	yes	—
411	C₂	—	424	2	no	—
412	C₂	#20279611	1	1	yes	characteristic
413	C₂	#20284262	1	2	yes	—
414	C₂	#20284945	1	2	yes	—
415	C₂	#20285782	1	1	yes	characteristic
416	C₂	#20285791	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂×D₄×D₅₃
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#2016	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
prime radical	C₂²×D₂₁₂	C₂³
hypercenter	#2016	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#28173
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ #2016

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #20277435	C₂	semidirect
4. #20276133	C₂	semidirect
7. #20275058	C₂	semidirect
9. #20274833	C₂	semidirect
10. #20274718	C₂	semidirect
11. C₅₃×#2016	C₂	semidirect
208. #2016	D₅₃	semidirect
248. C₅₃	#28173	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16810847	2
#20277435	2
#20277429	2
#20276133	2
#20276130	2
#20275798	2
#20275058	2
#20275046	2
#20274833	2
#20274718	2
C₅₃×#2016	2
#28173	53