Subgroups — #27472803

Order 13568.

830 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 372 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16810920	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#20277440	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20276196	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#20275949	C₂	1	2	yes	maximal
5	#20275342	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#20275335	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#20274835	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#20274712	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	C₅₃×#2330	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#13133214	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×C₄×D₂₁₂	C₂²	1	2	yes	—
12	#16810920	—	2	8	no	—
13	C₂×#13133150	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#13133148	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×C₄⋊#88322	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#13133137	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#13133137	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#13133137	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#13133137	C₂²	1	2	yes	—
20	#16810525	C₂²	1	2	yes	—
21	#16810501	—	2	2	no	—
22	#16810501	—	2	2	no	—
23	#16810489	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#16810385	C₂²	1	2	yes	—
25	#16810385	C₂²	1	2	yes	—
26	#16810378	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#16810378	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#16810378	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#125×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₅₃×#389	—	2	2	no	—
31	C₅₃×#389	C₂²	1	2	yes	—
32	C₅₃×#387	—	2	2	no	—
33	C₅₃×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₄×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
35	C₅₃×#376	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂²×D₂₁₂	—	2	1	no	—
37	C₂²×D₂₁₂	—	2	1	no	—
38	C₂²×D₂₁₂	C₂³	1	2	yes	—
39	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
40	C₂²×#88322	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂²×#88322	C₂³	1	2	yes	—
42	#13133214	—	2	4	no	—
43	C₄×D₂₁₂	—	2	4	no	—
44	C₄×D₂₁₂	—	2	4	no	—
45	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂×#11719921	—	2	2	no	—
47	C₂×#11719921	—	2	2	no	—
48	C₂×#11719921	—	2	2	no	—
49	#13133150	—	2	4	no	—
50	#13133148	—	2	4	no	—
51	C₄⋊#88322	—	2	4	no	—
52	#13133137	—	2	4	no	—
53	#13133137	—	2	4	no	—
54	#13133137	—	2	4	no	—
55	#13133137	—	2	4	no	—
56	#13133124	—	2	1	no	—
57	#13133124	—	2	1	no	—
58	#125×C₅₃	—	2	2	no	—
59	#125×C₅₃	D₄	1	4	yes	complemented
60	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
61	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
62	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
63	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
64	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
66	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	#95×C₅₃	—	2	2	no	—
70	#95×C₅₃	—	2	2	no	—
71	#95×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
72	#95×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
73	C₂³×D₅₃	—	2	2	no	—
74	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
75	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
76	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
78	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
80	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
81	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
82	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
83	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
84	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
85	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
86	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
87	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
88	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
89	C₂×D₂₁₂	—	8	2	no	—
90	C₂×D₂₁₂	—	8	2	no	—
91	C₂×D₂₁₂	#41	1	4	yes	—
92	C₂×C₄×D₅₃	—	4	4	no	—
93	C₂×C₄×D₅₃	—	8	2	no	—
94	C₂×C₄×D₅₃	—	8	2	no	—
95	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
96	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
97	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
98	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
99	C₄⋊C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
100	C₄⋊C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
101	C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
102	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
103	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
104	C₄²×C₅₃	—	8	2	no	—
105	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
106	C₄²×C₅₃	#41	1	2	yes	—
107	#11719921	—	4	4	no	—
108	#11719921	—	8	2	no	—
109	#11719921	—	8	2	no	—
110	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
111	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
112	C₂×#88322	—	2	2	no	—
113	C₂×#88322	—	2	2	no	—
114	C₂×#88322	—	2	2	no	—
115	C₂×#88322	—	2	2	no	—
116	C₂×#88322	—	2	2	no	—
117	C₂×#88322	—	2	2	no	—
118	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂²×D₅₃	—	2	4	no	—
120	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
121	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
122	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
123	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
124	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
125	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
126	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
127	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
128	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
129	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
130	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
131	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
132	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
133	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
134	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
135	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
136	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
137	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
138	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
139	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
140	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
141	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	4	yes	—
142	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
143	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
144	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
145	C₂×C₄×C₅₃	2₋¹⁺⁴	1	2	yes	—
146	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
147	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
148	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
149	D₂₁₂	—	2	4	no	—
150	D₂₁₂	—	2	4	no	—
151	D₂₁₂	—	4	2	no	—
152	D₂₁₂	—	4	2	no	—
153	D₂₁₂	—	8	4	no	—
154	D₂₁₂	—	8	4	no	—
155	C₄×D₅₃	—	8	8	no	—
156	#88322	—	4	2	no	—
157	#88322	—	4	2	no	—
158	#28214	—	53	1	no	maximal, Sylow
159	C₂²×C₅₃	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
160	C₂²×C₅₃	#525	1	1	yes	characteristic
161	C₂²×C₅₃	#536	1	1	yes	characteristic
162	C₂²×C₅₃	#576	1	2	yes	—
163	C₂²×C₅₃	#577	1	2	yes	—
164	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
165	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
166	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
167	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
168	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
169	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
170	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
171	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
172	C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
173	C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
174	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
175	C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
176	C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
177	C₄×C₅₃	#548	1	2	yes	—
178	C₄×C₅₃	#552	1	2	yes	—
179	Dic₅₃	—	8	2	no	—
180	C₂×#478	—	53	2	no	—
181	#2330	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
182	#2328	—	53	1	no	—
183	#2085	—	53	2	no	—
184	#2041	—	53	2	no	—
185	#1926	—	53	2	no	—
186	#1925	—	53	2	no	—
187	#1832	—	53	1	no	—
188	#1802	—	53	2	no	—
189	C₂×C₅₃	#2536	1	1	yes	characteristic
190	C₂×C₅₃	#3045	1	2	yes	—
191	C₂×C₅₃	#3122	1	1	yes	characteristic
192	C₂×C₅₃	#3123	1	1	yes	characteristic
193	C₂×C₅₃	#3241	1	2	yes	—
194	D₅₃	—	8	4	no	—
195	C₂×#127	—	53	1	no	—
196	C₂×#125	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
197	C₂×C₄×D₄	—	53	2	no	—
198	#478	—	106	8	no	—
199	C₂×#107	—	53	2	no	—
200	C₂×#106	—	53	2	no	—
201	C₂×C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
202	C₂×#102	—	53	2	no	—
203	C₂×#102	—	53	2	no	—
204	C₂×#102	—	53	2	no	—
205	C₂×#102	—	53	2	no	—
206	#390	—	53	2	no	—
207	#389	—	2	2	no	—
208	#389	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
209	#387	—	2	2	no	—
210	#386	—	106	2	no	—
211	#386	—	106	2	no	—
212	#384	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
213	#382	—	53	1	no	—
214	C₄×C₄⋊C₄	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
215	#376	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
216	#340	—	53	2	no	—
217	#340	—	53	2	no	—
218	#336	—	53	2	no	—
219	#336	—	53	1	no	—
220	#336	—	53	1	no	—
221	C₅₃	#28214	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
222	C₂²×D₄	—	53	2	no	—
223	C₂²×D₄	—	106	1	no	—
224	C₂²×D₄	—	106	1	no	—
225	C₂³×C₄	—	106	2	no	—
226	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
227	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
228	#127	—	106	4	no	—
229	#125	—	2	2	no	—
230	#125	D₂₁₂	1	4	yes	complemented
231	C₄×D₄	—	106	4	no	—
232	C₄×D₄	—	106	4	no	—
233	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
234	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
235	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
236	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
237	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
238	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
239	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
240	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
241	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
242	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
243	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
244	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
245	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
246	#107	—	106	4	no	—
247	#106	—	106	4	no	—
248	C₄⋊C₈	—	106	4	no	—
249	#102	—	106	4	no	—
250	#102	—	106	4	no	—
251	#102	—	106	4	no	—
252	#102	—	106	4	no	—
253	#95	—	2	2	no	—
254	#95	—	2	2	no	—
255	#95	—	106	1	no	—
256	#95	—	106	1	no	—
257	#95	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
258	#95	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
259	C₂⁴	—	106	2	no	—
260	C₂×D₄	—	53	4	no	—
261	C₂×D₄	—	106	4	no	—
262	C₂×D₄	—	106	4	no	—
263	C₂×D₄	—	106	2	no	—
264	C₂×D₄	—	106	2	no	—
265	C₂×D₄	—	106	2	no	—
266	C₂×D₄	—	106	2	no	—
267	C₂×D₄	—	106	2	no	—
268	C₂×D₄	—	424	2	no	—
269	C₂×D₄	—	424	2	no	—
270	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
271	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
272	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
273	C₂²×C₄	—	424	2	no	—
274	C₂²×C₄	—	424	2	no	—
275	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
276	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
277	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
278	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
279	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
280	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
281	C₂×C₈	—	106	2	no	—
282	C₂×C₈	—	106	2	no	—
283	C₂×C₈	—	106	2	no	—
284	C₂×C₈	—	106	2	no	—
285	C₂×C₈	—	106	2	no	—
286	C₂×C₈	—	106	2	no	—
287	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
288	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
289	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
290	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
291	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
292	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
293	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
294	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
295	C₄⋊C₄	C₂×D₂₁₂	1	4	yes	—
296	C₂²⋊C₄	—	424	2	no	—
297	C₂²⋊C₄	—	424	2	no	—
298	C₂²⋊C₄	—	212	4	no	—
299	C₄²	—	2	2	no	—
300	C₄²	—	2	2	no	—
301	C₄²	—	8	2	no	—
302	C₄²	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
303	C₄²	#11719945	1	2	yes	—
304	C₂³	—	106	4	no	—
305	C₂³	—	212	2	no	—
306	C₂³	—	212	2	no	—
307	C₂³	—	212	2	no	—
308	C₂³	—	212	2	no	—
309	C₂³	—	212	2	no	—
310	C₂³	—	212	2	no	—
311	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
312	D₄	—	106	4	no	—
313	D₄	—	106	4	no	—
314	D₄	—	424	4	no	—
315	D₄	—	424	4	no	—
316	D₄	—	212	2	no	—
317	D₄	—	212	2	no	—
318	C₂×C₄	—	2	2	no	—
319	C₂×C₄	—	2	2	no	—
320	C₂×C₄	—	2	4	no	—
321	C₂×C₄	—	2	1	no	—
322	C₂×C₄	—	2	1	no	—
323	C₂×C₄	—	2	2	no	—
324	C₂×C₄	—	2	2	no	—
325	C₂×C₄	—	2	2	no	—
326	C₂×C₄	—	2	2	no	—
327	C₂×C₄	—	2	2	no	—
328	C₂×C₄	—	4	2	no	—
329	C₂×C₄	—	4	2	no	—
330	C₂×C₄	—	4	2	no	—
331	C₂×C₄	—	4	2	no	—
332	C₂×C₄	—	4	2	no	—
333	C₂×C₄	—	424	8	no	—
334	C₂×C₄	—	212	2	no	—
335	C₂×C₄	—	212	2	no	—
336	C₂×C₄	—	212	2	no	—
337	C₂×C₄	#13133191	1	4	yes	—
338	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
339	C₂×C₄	#41×D₅₃	1	2	yes	—
340	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	1	yes	characteristic
341	C₂×C₄	#13133265	1	2	yes	—
342	C₈	—	212	2	no	—
343	C₈	—	212	2	no	—
344	C₂²	—	424	2	no	—
345	C₂²	—	424	2	no	—
346	C₂²	—	424	2	no	—
347	C₂²	—	424	2	no	—
348	C₂²	—	212	4	no	—
349	C₂²	—	212	4	no	—
350	C₂²	—	212	4	no	—
351	C₂²	C₂×#13133191	1	1	yes	characteristic
352	C₂²	#16811130	1	1	yes	characteristic
353	C₂²	#16811197	1	1	yes	characteristic
354	C₂²	#16811426	1	2	yes	—
355	C₂²	#16811431	1	2	yes	—
356	C₄	—	2	4	no	—
357	C₄	—	4	2	no	—
358	C₄	—	4	1	no	—
359	C₄	—	4	1	no	—
360	C₄	—	4	4	no	—
361	C₄	—	8	2	no	—
362	C₄	—	424	2	no	—
363	C₄	#16811285	1	2	yes	—
364	C₄	#16811314	1	2	yes	—
365	C₂	—	424	4	no	—
366	C₂	#20279620	1	1	yes	characteristic
367	C₂	#20284254	1	2	yes	—
368	C₂	#20284953	1	1	yes	characteristic
369	C₂	#20284962	1	1	yes	characteristic
370	C₂	#20285968	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#2330	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
prime radical	C₂×#13133214	C₂²
hypercenter	#2330	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#28214
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ #376 ◁ #2330

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#16810920	C₂	semidirect
3. #20276196	C₂	semidirect
5. #20275342	C₂	semidirect
6. #20275335	C₂	semidirect
7. #20274835	C₂	semidirect
8. #20274712	C₂	semidirect
9. C₅₃×#2330	C₂	semidirect
59. #125×C₅₃	D₄	semidirect
181. #2330	D₅₃	semidirect
221. C₅₃	#28214	semidirect
230. #125	D₂₁₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16810920	2
#20277440	2
#20276196	2
#20275949	2
#20275342	2
#20275335	2
#20274835	2
#20274712	2
C₅₃×#2330	2
#28214	53