Subgroups — #27472912

Order 13568.

1094 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 396 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16810856	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂×C₈×D₂₁₂	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#20279612	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#20275903	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#20274879	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#20274741	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#20274725	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂×C₄×D₈×C₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×C₈×D₅₃	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂×#13133188	C₂²	1	4	yes	—
11	C₂×C₄×D₂₁₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	#16810856	—	2	8	no	—
13	C₈×D₂₁₂	—	2	4	no	—
14	C₂×#13133151	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#13133149	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×C₄⋊#88322	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#13133138	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×#13133129	C₂²	1	2	yes	—
19	#16810548	—	2	2	no	—
20	#16810532	—	2	2	no	—
21	#16810502	—	2	4	no	—
22	#16810489	C₂²	1	2	yes	—
23	#16810480	C₂²	1	4	yes	—
24	#16810385	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂²×D₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×C₄×D₄×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
27	C₄×D₈×C₅₃	—	2	4	no	—
28	C₂×#107×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×#102×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×C₄×C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂²×D₂₁₂	D₄	1	1	yes	characteristic
32	C₂²×C₂²⋊D₅₃	—	2	4	no	—
33	C₂²×C₄×D₅₃	C₂³	1	2	yes	—
34	C₂²×#88322	C₂³	1	2	yes	—
35	C₂×C₈×D₅₃	—	2	4	no	—
36	C₂×C₈×D₅₃	—	2	4	no	—
37	C₂×C₈×D₅₃	—	2	4	no	—
38	#13133188	—	2	8	no	—
39	#13133188	—	4	4	no	—
40	C₄×D₂₁₂	—	2	2	no	—
41	C₄×D₂₁₂	—	2	2	no	—
42	C₂×C₄⋊Dic₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
43	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	4	yes	—
44	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
45	C₂×#11719921	—	2	4	no	—
46	C₂×#11719921	D₄	1	2	yes	—
47	#13133151	—	2	4	no	—
48	#13133149	—	4	2	no	—
49	C₄⋊#88322	—	2	2	no	—
50	#13133138	—	2	8	no	—
51	#13133129	—	2	4	no	—
52	#13133124	—	2	2	no	—
53	#13133124	—	2	2	no	—
54	#13133124	—	2	4	no	—
55	C₂²×D₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂³×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
57	C₂×D₈×C₅₃	—	2	2	no	—
58	C₂×D₈×C₅₃	—	2	2	no	—
59	C₂×D₈×C₅₃	D₄	1	4	yes	complemented
60	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	C₄×D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
63	C₄×D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
64	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
65	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
66	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	#107×C₅₃	—	2	2	no	—
68	#102×C₅₃	—	2	4	no	—
69	C₄×C₈×C₅₃	D₄	1	4	yes	complemented
70	C₂⁴×C₅₃	—	2	2	no	—
71	C₂³×D₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
72	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
73	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
74	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
75	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
76	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
77	C₂×D₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
78	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
79	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
80	C₂²×C₄×C₅₃	—	8	4	no	—
81	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
82	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
84	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	8	no	—
85	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	8	no	—
86	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	8	4	no	—
87	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
88	C₂²×Dic₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
89	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
90	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
91	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
92	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
93	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
94	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
95	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
96	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
97	D₈×C₅₃	—	2	8	no	—
98	C₂×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
99	C₂×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
100	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
101	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
102	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
103	C₂×C₈×C₅₃	#41	1	2	yes	—
104	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
105	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
106	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
107	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
108	C₄²×C₅₃	#41	1	2	yes	—
109	C₂²⋊Dic₅₃	—	4	8	no	—
110	#11719921	—	2	4	no	—
111	#11719921	—	8	4	no	—
112	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
113	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
114	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
115	C₂×#88322	—	2	2	no	—
116	C₂×#88322	—	2	2	no	—
117	C₂×#88322	—	2	2	no	—
118	C₈×D₅₃	—	4	8	no	—
119	C₂³×C₅₃	—	2	4	no	—
120	C₂³×C₅₃	—	4	2	no	—
121	C₂³×C₅₃	—	4	2	no	—
122	C₂³×C₅₃	—	4	4	no	—
123	C₂³×C₅₃	—	4	4	no	—
124	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
126	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
127	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
128	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
129	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
130	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
131	C₂²×D₅₃	#135	1	4	yes	—
132	D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
133	D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
134	D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
135	D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
136	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
137	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
138	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
139	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
140	C₂×C₄×C₅₃	—	8	8	no	—
141	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	2	yes	—
142	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	2	yes	—
143	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
145	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
146	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
147	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
148	C₂×C₄×C₅₃	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
149	C₂²⋊D₅₃	—	8	16	no	—
150	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
151	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
152	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
153	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
154	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
155	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
156	D₂₁₂	—	2	8	no	—
157	C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
158	C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
159	C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
160	C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
161	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
162	C₈×C₅₃	#121	1	4	yes	—
163	#88322	—	4	2	no	—
164	#28225	—	53	1	no	maximal, Sylow
165	C₂²×C₅₃	—	4	8	no	—
166	C₂²×C₅₃	—	4	4	no	—
167	C₂²×C₅₃	—	8	4	no	—
168	C₂²×C₅₃	—	8	2	no	—
169	C₂²×C₅₃	—	8	2	no	—
170	C₂²×C₅₃	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
171	C₂²×C₅₃	D₄²	1	1	yes	characteristic
172	C₂²×C₅₃	#547	1	1	yes	characteristic
173	C₂²×C₅₃	C₂×#135	1	2	yes	—
174	C₂²×C₅₃	#576	1	2	yes	—
175	C₂×D₅₃	—	2	4	no	—
176	C₂×D₅₃	—	2	4	no	—
177	C₂×D₅₃	—	2	4	no	—
178	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
179	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
180	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
181	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
182	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
183	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
184	C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
185	C₄×C₅₃	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
186	C₄×C₅₃	#537	1	1	yes	characteristic
187	C₄×C₅₃	#547	1	1	yes	characteristic
188	C₄×C₅₃	#555	1	1	yes	characteristic
189	Dic₅₃	—	4	2	no	—
190	Dic₅₃	—	8	4	no	—
191	C₂×#466	—	53	2	no	—
192	C₂×C₄×D₈	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
193	C₂×C₈×D₄	—	53	1	no	—
194	#2535	—	53	2	no	—
195	#2034	—	53	4	no	—
196	#1846	—	53	1	no	—
197	#1808	—	53	2	no	—
198	#1804	—	53	2	no	—
199	C₂×C₅₃	—	8	4	no	—
200	C₂×C₅₃	#2537	1	1	yes	characteristic
201	C₂×C₅₃	#3050	1	1	yes	characteristic
202	C₂×C₅₃	#3058	1	1	yes	characteristic
203	C₂×C₅₃	#3280	1	2	yes	—
204	C₂×C₅₃	#3339	1	2	yes	—
205	D₅₃	—	4	4	no	—
206	C₂²×D₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
207	C₂³×C₈	—	53	2	no	—
208	C₂×#121	—	53	4	no	—
209	C₂×C₄×D₄	—	53	1	no	—
210	C₂×C₄×D₄	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
211	#466	—	106	8	no	—
212	C₄×D₈	—	2	4	no	—
213	C₈×D₄	—	106	4	no	—
214	C₂×#107	—	53	2	no	—
215	C₂×#107	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
216	C₂×#106	—	53	2	no	—
217	C₂×C₄⋊C₈	—	53	1	no	—
218	C₂×#102	—	53	4	no	—
219	C₂×#102	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
220	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	2	no	—
221	C₂×C₄×C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
222	#397	—	106	2	no	—
223	#392	—	106	2	no	—
224	#386	—	106	4	no	—
225	#382	—	53	2	no	—
226	#380	—	53	4	no	—
227	#340	—	53	4	no	—
228	C₅₃	#28225	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
229	C₂²×D₄	—	53	1	no	—
230	C₂²×D₄	—	106	4	no	—
231	C₂²×D₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
232	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
233	C₂³×C₄	—	53	2	no	—
234	C₂×D₈	—	2	2	no	—
235	C₂×D₈	—	2	2	no	—
236	C₂×D₈	D₂₁₂	1	4	yes	complemented
237	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
238	C₂²×C₈	—	106	4	no	—
239	C₂²×C₈	—	106	4	no	—
240	C₂²×C₈	—	106	4	no	—
241	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
243	#121	—	106	8	no	—
244	#121	—	212	4	no	—
245	C₄×D₄	—	2	4	no	—
246	C₄×D₄	—	2	4	no	—
247	C₄×D₄	—	106	2	no	—
248	C₄×D₄	—	106	2	no	—
249	C₂×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
250	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
251	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
252	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
253	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	2	no	—
254	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
255	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
256	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
257	#107	—	2	2	no	—
258	#107	—	106	4	no	—
259	#106	—	212	2	no	—
260	C₄⋊C₈	—	106	2	no	—
261	#102	—	2	4	no	—
262	#102	—	106	8	no	—
263	C₂²⋊C₈	—	106	4	no	—
264	C₄×C₈	C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	complemented
265	#95	—	106	4	no	—
266	#95	—	106	2	no	—
267	#95	—	106	2	no	—
268	C₂⁴	—	2	2	no	—
269	C₂⁴	—	53	2	no	—
270	C₂×D₄	—	2	2	no	—
271	C₂×D₄	—	2	2	no	—
272	C₂×D₄	—	2	2	no	—
273	C₂×D₄	—	2	2	no	—
274	C₂×D₄	—	2	2	no	—
275	C₂×D₄	—	106	4	no	—
276	C₂×D₄	—	106	2	no	—
277	C₂×D₄	—	424	4	no	—
278	C₂×D₄	—	212	8	no	—
279	C₂×D₄	—	212	8	no	—
280	C₂×D₄	C₂×D₂₁₂	1	4	yes	—
281	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
282	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
283	C₂²×C₄	—	8	4	no	—
284	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
285	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
286	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
287	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
288	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
289	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
290	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
291	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
292	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
293	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
294	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
295	D₈	—	2	8	no	—
296	C₂×C₈	—	2	1	no	—
297	C₂×C₈	—	2	1	no	—
298	C₂×C₈	—	106	2	no	—
299	C₂×C₈	—	106	2	no	—
300	C₂×C₈	—	106	2	no	—
301	C₂×C₈	—	212	8	no	—
302	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
303	C₂×C₈	#11719945	1	2	yes	—
304	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
305	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
306	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
307	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
308	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
309	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
310	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
311	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
312	C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
313	C₂²⋊C₄	—	424	4	no	—
314	C₂²⋊C₄	—	212	8	no	—
315	C₄²	#11719947	1	2	yes	—
316	C₄²	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
317	C₂³	—	2	4	no	—
318	C₂³	—	4	2	no	—
319	C₂³	—	4	2	no	—
320	C₂³	—	4	4	no	—
321	C₂³	—	4	4	no	—
322	C₂³	—	53	4	no	—
323	C₂³	—	106	2	no	—
324	C₂³	—	106	2	no	—
325	C₂³	—	106	2	no	—
326	C₂³	—	106	2	no	—
327	C₂³	—	106	2	no	—
328	C₂³	—	106	2	no	—
329	C₂³	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
330	D₄	—	2	4	no	—
331	D₄	—	2	4	no	—
332	D₄	—	4	2	no	—
333	D₄	—	4	2	no	—
334	D₄	—	106	8	no	—
335	D₄	—	424	16	no	—
336	C₂×C₄	—	2	2	no	—
337	C₂×C₄	—	2	2	no	—
338	C₂×C₄	—	4	2	no	—
339	C₂×C₄	—	4	4	no	—
340	C₂×C₄	—	8	8	no	—
341	C₂×C₄	—	106	2	no	—
342	C₂×C₄	—	106	2	no	—
343	C₂×C₄	—	106	2	no	—
344	C₂×C₄	—	212	4	no	—
345	C₂×C₄	—	212	4	no	—
346	C₂×C₄	—	212	4	no	—
347	C₂×C₄	—	212	2	no	—
348	C₂×C₄	—	212	2	no	—
349	C₂×C₄	—	212	2	no	—
350	C₂×C₄	—	212	2	no	—
351	C₂×C₄	#13133188	1	2	yes	—
352	C₂×C₄	#13133188	1	2	yes	—
353	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
354	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
355	C₂×C₄	C₂×#11719947	1	1	yes	characteristic
356	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	1	yes	characteristic
357	C₂×C₄	#13133263	1	1	yes	characteristic
358	C₂×C₄	#13133264	1	1	yes	characteristic
359	C₈	—	2	2	no	—
360	C₈	—	212	2	no	—
361	C₈	#13133191	1	4	yes	—
362	C₂²	—	4	4	no	—
363	C₂²	—	4	8	no	—
364	C₂²	—	8	2	no	—
365	C₂²	—	8	4	no	—
366	C₂²	—	8	2	no	—
367	C₂²	—	106	4	no	—
368	C₂²	—	106	4	no	—
369	C₂²	—	106	4	no	—
370	C₂²	—	212	2	no	—
371	C₂²	—	212	2	no	—
372	C₂²	—	212	2	no	—
373	C₂²	—	212	2	no	—
374	C₂²	C₂×#13133188	1	1	yes	characteristic
375	C₂²	D₄×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
376	C₂²	#16811278	1	1	yes	characteristic
377	C₂²	#135×D₅₃	1	2	yes	—
378	C₂²	#16811424	1	2	yes	—
379	C₄	—	2	2	no	—
380	C₄	—	2	2	no	—
381	C₄	—	8	2	no	—
382	C₄	—	424	4	no	—
383	C₄	—	212	2	no	—
384	C₄	C₂×#13133191	1	1	yes	characteristic
385	C₄	#16811201	1	1	yes	characteristic
386	C₄	#16811277	1	1	yes	characteristic
387	C₄	#16811338	1	1	yes	characteristic
388	C₂	—	8	4	no	—
389	C₂	—	212	4	no	—
390	C₂	#20279628	1	1	yes	characteristic
391	C₂	#20284292	1	1	yes	characteristic
392	C₂	#20284359	1	1	yes	characteristic
393	C₂	#20286401	1	2	yes	—
394	C₂	#20287119	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂×D₄×D₅₃
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₂×C₄×D₈×C₅₃	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
hypercenter	C₂×C₄×D₈	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#28225
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ C₂×C₄×D₈

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#16810856	C₂	semidirect
2. C₂×C₈×D₂₁₂	C₂	semidirect
3. #20279612	C₂	semidirect
4. #20275903	C₂	semidirect
5. #20274879	C₂	semidirect
6. #20274741	C₂	semidirect
7. #20274725	C₂	semidirect
8. C₂×C₄×D₈×C₅₃	C₂	semidirect
59. C₂×D₈×C₅₃	D₄	semidirect
69. C₄×C₈×C₅₃	D₄	semidirect
192. C₂×C₄×D₈	D₅₃	semidirect
228. C₅₃	#28225	semidirect
236. C₂×D₈	D₂₁₂	semidirect
264. C₄×C₈	C₂²⋊D₅₃	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16810856	2
C₂×C₈×D₂₁₂	2
#20279612	2
#20275903	2
#20274879	2
#20274741	2
#20274725	2
C₂×C₄×D₈×C₅₃	2
#28225	53