Subgroups — #27473101

Order 13568.

902 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 370 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16810894	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#20284181	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#16810736	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#20283434	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#20276009	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#20274771	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#20274704	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₅₃×#1849	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂×#13133245	C₂²	1	4	yes	—
10	C₂²×D₄₂₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#13133223	C₂²	1	2	yes	—
12	#16811173	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×C₄×D₂₁₂	C₂²	1	2	yes	—
14	#16810894	—	2	8	no	—
15	#16810839	—	2	4	no	—
16	#16810829	—	2	2	no	—
17	#16810819	—	2	2	no	—
18	#16810736	—	2	4	no	—
19	#16810696	—	2	4	no	—
20	C₂×#13133149	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#16810647	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#16810625	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂×#13133139	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#13133133	C₂²	1	4	yes	—
25	#16810589	C₂²	1	2	yes	—
26	#16810391	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂×#108×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#108×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
29	C₅₃×#423	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#97×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×#11719945	C₂³	1	2	yes	—
32	C₂²×D₂₁₂	C₂³	1	2	yes	—
33	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
34	#13133245	—	2	8	no	—
35	#13133245	—	4	4	no	—
36	C₂×#11719913	—	2	4	no	—
37	C₂×D₄₂₄	—	2	2	no	—
38	C₂×D₄₂₄	—	2	2	no	—
39	C₂×D₄₂₄	—	2	4	no	—
40	C₂×D₄₂₄	D₄	1	4	yes	complemented
41	#13133223	—	2	4	no	—
42	#13133223	—	2	4	no	—
43	C₂×#11719917	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂×#11719912	—	2	2	no	—
45	C₂×C₈×D₅₃	—	2	2	no	—
46	#13133217	D₄	1	1	yes	characteristic
47	#13133214	D₄	1	1	yes	characteristic
48	#13133205	D₄	1	2	yes	—
49	#13133191	—	2	2	no	—
50	C₄×D₂₁₂	—	2	2	no	—
51	C₄×D₂₁₂	—	2	2	no	—
52	C₄×D₂₁₂	—	2	2	no	—
53	C₄×D₂₁₂	—	2	2	no	—
54	C₄×D₂₁₂	—	2	2	no	—
55	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂×#11719921	—	2	2	no	—
57	#13133149	—	2	2	no	—
58	C₄⋊#88322	—	2	2	no	—
59	#13133142	—	2	4	no	—
60	#13133139	—	2	4	no	—
61	#13133139	—	2	4	no	—
62	#13133133	—	2	8	no	—
63	#13133129	—	2	4	no	—
64	C₂×M₁₆×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
65	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	#108×C₅₃	—	2	4	no	—
69	#108×C₅₃	—	4	2	no	—
70	C₄⋊C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
71	C₄⋊C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
72	#97×C₅₃	D₄	1	4	yes	—
73	C₂³×D₅₃	—	2	2	no	—
74	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
75	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
76	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	2	2	no	—
77	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
78	#11719945	—	2	2	no	—
79	#11719945	—	2	2	no	—
80	#11719945	—	2	2	no	—
81	#11719945	—	2	2	no	—
82	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
83	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
84	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
85	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
86	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
87	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
88	C₂×D₂₁₂	C₂×D₄	1	4	yes	—
89	C₂×D₂₁₂	C₂×D₄	1	2	yes	—
90	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
91	C₂×C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
92	C₂×C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
93	C₂×C₄×D₅₃	—	8	4	no	—
94	C₂×Dic₁₀₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
95	M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
96	M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
97	C₂×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
98	C₂×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
99	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
100	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
101	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
102	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
103	C₂×C₈×C₅₃	#41	1	2	yes	—
104	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
105	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
106	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
107	#11719921	—	2	4	no	—
108	#11719921	—	4	2	no	—
109	#11719921	—	4	2	no	—
110	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
111	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
112	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
113	#11719917	—	2	2	no	—
114	#11719917	—	2	2	no	—
115	C₂×#88322	—	2	2	no	—
116	D₄₂₄	—	2	8	no	—
117	D₄₂₄	—	4	8	no	—
118	#11719913	—	4	8	no	—
119	#11719912	—	4	4	no	—
120	C₈×D₅₃	—	4	4	no	—
121	C₂³×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
122	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
123	C₂²×D₅₃	—	2	4	no	—
124	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
125	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
126	C₂²×D₅₃	—	8	2	no	—
127	C₂²×D₅₃	—	8	2	no	—
128	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
129	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	2	yes	—
130	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	2	yes	—
131	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
134	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
135	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
136	C₂×C₄×C₅₃	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
137	C₂²⋊D₅₃	—	4	2	no	—
138	C₂²⋊D₅₃	—	4	2	no	—
139	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
140	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
141	C₂×Dic₅₃	—	8	2	no	—
142	D₂₁₂	—	2	4	no	—
143	D₂₁₂	—	2	4	no	—
144	D₂₁₂	—	2	2	no	—
145	D₂₁₂	—	2	2	no	—
146	D₂₁₂	—	4	2	no	—
147	D₂₁₂	—	4	2	no	—
148	D₂₁₂	—	8	2	no	—
149	C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
150	C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
151	C₄×D₅₃	—	8	4	no	—
152	C₄×D₅₃	—	8	4	no	—
153	Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
154	Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
155	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
156	C₈×C₅₃	—	4	4	no	—
157	C₈×C₅₃	#121	1	4	yes	—
158	#88322	—	4	2	no	—
159	#28243	—	53	1	no	maximal, Sylow
160	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
161	C₂²×C₅₃	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
162	C₂²×C₅₃	#547	1	1	yes	characteristic
163	C₂²×C₅₃	#555	1	1	yes	characteristic
164	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
165	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
166	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
167	C₂×D₅₃	—	8	4	no	—
168	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
169	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
170	C₂×D₅₃	—	8	4	no	—
171	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
172	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
173	C₄×C₅₃	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
174	C₄×C₅₃	#537	1	1	yes	characteristic
175	C₄×C₅₃	D₄²	1	1	yes	characteristic
176	C₄×C₅₃	#547	1	1	yes	characteristic
177	Dic₅₃	—	4	2	no	—
178	Dic₅₃	—	8	2	no	—
179	C₂×#472	—	53	2	no	—
180	#3036	—	53	2	no	—
181	C₂×#442	—	53	1	no	—
182	#2932	—	53	1	no	—
183	#2051	—	53	4	no	—
184	#1849	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
185	#1815	—	53	2	no	—
186	#1800	—	53	2	no	—
187	C₂×C₅₃	—	2	1	no	—
188	C₂×C₅₃	—	2	1	no	—
189	C₂×C₅₃	#2537	1	1	yes	characteristic
190	C₂×C₅₃	#3068	1	2	yes	—
191	D₅₃	—	8	2	no	—
192	D₅₃	—	8	4	no	—
193	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	53	4	no	—
194	C₂²×D₈	—	53	1	no	—
195	C₂×#131	—	53	2	no	—
196	#532	—	53	1	no	—
197	C₂×C₄×D₄	—	53	2	no	—
198	#472	—	106	8	no	—
199	#463	—	106	4	no	—
200	#461	—	106	2	no	—
201	#459	—	106	2	no	—
202	#442	—	106	4	no	—
203	#435	—	106	4	no	—
204	C₂×#108	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
205	C₂×#108	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
206	C₂×#106	—	53	1	no	—
207	#423	—	53	1	no	—
208	#423	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
209	#417	—	53	4	no	—
210	C₂×#102	—	53	2	no	—
211	C₂×#100	—	53	4	no	—
212	#408	—	53	2	no	—
213	C₂×#97	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
214	#343	—	53	4	no	—
215	C₅₃	#28243	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
216	C₂×#41	—	53	2	no	—
217	C₂²×D₄	—	53	2	no	—
218	C₂³×C₄	—	106	2	no	—
219	AGL(1,ℤ/8)	—	106	8	no	—
220	AGL(1,ℤ/8)	—	212	4	no	—
221	C₂×SD₁₆	—	106	4	no	—
222	C₂×D₈	—	53	4	no	—
223	C₂×D₈	—	106	4	no	—
224	C₂×D₈	—	106	2	no	—
225	C₂×D₈	—	106	2	no	—
226	#131	—	106	4	no	—
227	#131	—	106	4	no	—
228	C₂×M₁₆	—	53	2	no	—
229	C₂×M₁₆	—	106	2	no	—
230	C₂×M₁₆	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
231	C₂²×C₈	—	106	2	no	—
232	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
234	C₄⋊Q₈	—	53	1	no	—
235	#127	—	53	1	no	—
236	#124	—	53	2	no	—
237	#121	—	106	2	no	—
238	C₄×D₄	—	106	2	no	—
239	C₄×D₄	—	106	2	no	—
240	C₄×D₄	—	106	2	no	—
241	C₄×D₄	—	106	2	no	—
242	C₄×D₄	—	106	2	no	—
243	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
244	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
245	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
246	#108	—	2	4	no	—
247	#108	—	4	2	no	—
248	#106	—	106	2	no	—
249	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
250	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
251	C₄⋊C₈	—	106	2	no	—
252	#103	—	106	4	no	—
253	#102	—	106	4	no	—
254	#102	—	106	4	no	—
255	#100	—	106	8	no	—
256	C₂²⋊C₈	—	106	4	no	—
257	#97	D₂₁₂	1	4	yes	—
258	C₂⁴	—	106	2	no	—
259	#41	—	106	2	no	—
260	#41	—	106	2	no	—
261	#41	—	106	2	no	—
262	#41	—	106	2	no	—
263	C₂×Q₈	—	53	2	no	—
264	C₂×D₄	—	53	4	no	—
265	C₂×D₄	—	53	2	no	—
266	C₂×D₄	—	106	2	no	—
267	C₂×D₄	—	106	2	no	—
268	C₂×D₄	—	106	2	no	—
269	C₂×D₄	—	106	2	no	—
270	C₂×D₄	—	106	2	no	—
271	C₂×D₄	—	106	2	no	—
272	C₂×D₄	—	106	2	no	—
273	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
274	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
275	C₂²×C₄	—	424	4	no	—
276	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
277	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
278	C₂²×C₄	#11719949	1	2	yes	—
279	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
280	SD₁₆	—	212	8	no	—
281	D₈	—	106	8	no	—
282	D₈	—	212	8	no	—
283	M₁₆	—	2	4	no	—
284	M₁₆	—	2	4	no	—
285	M₁₆	—	106	2	no	—
286	M₁₆	—	106	2	no	—
287	M₁₆	—	212	4	no	—
288	C₂×C₈	—	2	1	no	—
289	C₂×C₈	—	2	1	no	—
290	C₂×C₈	—	2	4	no	—
291	C₂×C₈	—	106	2	no	—
292	C₂×C₈	—	212	4	no	—
293	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
294	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
295	C₂×C₈	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
296	C₂×C₈	#11719949	1	2	yes	—
297	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
298	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
299	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
300	C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
301	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
302	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
303	C₄²	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
304	C₄²	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
305	C₄²	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
306	C₂³	—	106	4	no	—
307	C₂³	—	106	2	no	—
308	C₂³	—	424	2	no	—
309	C₂³	—	424	2	no	—
310	C₂³	—	212	2	no	—
311	C₂³	—	212	2	no	—
312	C₂³	C₂×#11719949	1	1	yes	characteristic
313	Q₈	—	106	2	no	—
314	Q₈	—	106	2	no	—
315	D₄	—	106	2	no	—
316	D₄	—	106	4	no	—
317	D₄	—	106	2	no	—
318	D₄	—	106	4	no	—
319	D₄	—	424	2	no	—
320	D₄	—	212	2	no	—
321	D₄	—	212	2	no	—
322	D₄	—	212	2	no	—
323	D₄	—	212	2	no	—
324	C₂×C₄	—	4	2	no	—
325	C₂×C₄	—	106	2	no	—
326	C₂×C₄	—	424	4	no	—
327	C₂×C₄	—	424	4	no	—
328	C₂×C₄	—	424	2	no	—
329	C₂×C₄	—	212	2	no	—
330	C₂×C₄	—	212	2	no	—
331	C₂×C₄	—	212	2	no	—
332	C₂×C₄	#13133192	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	#13133192	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
335	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
336	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
337	C₂×C₄	C₂×#11719949	1	1	yes	characteristic
338	C₂×C₄	#13133262	1	1	yes	characteristic
339	C₂×C₄	#13133265	1	1	yes	characteristic
340	C₈	—	2	2	no	—
341	C₈	—	4	4	no	—
342	C₈	—	212	2	no	—
343	C₈	#13133192	1	4	yes	—
344	C₂²	—	2	2	no	—
345	C₂²	—	424	4	no	—
346	C₂²	—	424	4	no	—
347	C₂²	—	424	2	no	—
348	C₂²	—	424	2	no	—
349	C₂²	—	212	4	no	—
350	C₂²	—	212	2	no	—
351	C₂²	—	212	4	no	—
352	C₂²	C₂×#13133192	1	1	yes	characteristic
353	C₂²	#16811276	1	1	yes	characteristic
354	C₂²	#16811339	1	1	yes	characteristic
355	C₄	—	2	2	no	—
356	C₄	—	2	2	no	—
357	C₄	—	424	2	no	—
358	C₄	—	212	2	no	—
359	C₄	C₂×#13133192	1	1	yes	characteristic
360	C₄	#16811204	1	1	yes	characteristic
361	C₄	#16811258	1	1	yes	characteristic
362	C₄	#16811276	1	1	yes	characteristic
363	C₂	—	2	1	no	—
364	C₂	—	2	1	no	—
365	C₂	—	424	4	no	—
366	C₂	—	424	2	no	—
367	C₂	#20279631	1	1	yes	characteristic
368	C₂	#20284444	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂×#13133192
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#1849	C₂
socle	C₂²×C₅₃	C₂×#121
hypercenter	#1849	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#28243
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ #1849

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#16810894	C₂	semidirect
2. #20284181	C₂	semidirect
3. C₂×#16810736	C₂	semidirect
4. #20283434	C₂	semidirect
5. #20276009	C₂	semidirect
6. #20274771	C₂	semidirect
7. #20274704	C₂	semidirect
8. C₅₃×#1849	C₂	semidirect
40. C₂×D₄₂₄	D₄	semidirect
184. #1849	D₅₃	semidirect
215. C₅₃	#28243	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16810894	2
#20284181	2
C₂×#16810736	2
#20283434	2
#20276009	2
#20274771	2
#20274704	2
C₅₃×#1849	2
#28243	53