Subgroups — #27473108

Order 13568.

838 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 350 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16810898	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#20284183	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#16810731	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#20276013	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#20274890	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#20274774	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#20274708	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₅₃×#2932	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₂×#13133247	C₂²	1	4	yes	—
10	C₂²×Dic₂₁₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×C₄×Dic₁₀₆	C₂²	1	2	yes	—
12	#16810898	—	2	8	no	—
13	#16810842	—	2	4	no	—
14	#16810830	—	2	2	no	—
15	#16810820	—	2	2	no	—
16	#16810731	—	2	4	no	—
17	C₂×#13133153	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#13133153	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#13133149	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#16810647	C₂²	1	2	yes	—
21	#16810624	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂×#13133142	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#13133135	C₂²	1	4	yes	—
24	#16810391	C₂²	1	4	yes	—
25	C₂×#131×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
26	C₅₃×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₅₃×#435	—	2	4	no	—
28	C₅₃×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₅₃×#408	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#97×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂²×Dic₁₀₆	C₂³	1	2	yes	—
32	#13133247	—	2	8	no	—
33	#13133247	—	4	4	no	—
34	C₂×Dic₂₁₂	—	2	2	no	—
35	C₂×Dic₂₁₂	—	2	2	no	—
36	C₂×Dic₂₁₂	D₄	1	4	yes	complemented
37	C₂×#11719925	—	2	4	no	—
38	C₂×#11719923	—	2	4	no	—
39	C₂×#11719917	C₂³	1	4	yes	—
40	C₄×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
41	C₄×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
42	C₄×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
43	C₄×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
44	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂×#11719919	—	2	2	no	—
46	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
47	#13133153	—	2	4	no	—
48	#13133153	—	4	2	no	—
49	#13133149	—	2	2	no	—
50	C₄⋊#88322	—	2	2	no	—
51	C₄⋊#88322	—	2	2	no	—
52	#13133142	—	2	4	no	—
53	#13133141	—	2	4	no	—
54	#13133138	—	2	4	no	—
55	#13133135	—	2	8	no	—
56	C₂×#41×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
57	#131×C₅₃	—	2	4	no	—
58	#131×C₅₃	—	2	4	no	—
59	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
60	C₂×M₁₆×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂²×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
62	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₄⋊Q₈×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
65	#127×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
66	#124×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
67	#121×C₅₃	—	2	2	no	—
68	C₄×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
69	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₄⋊C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
71	C₂²⋊C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
72	#97×C₅₃	D₄	1	4	yes	—
73	#41×C₅₃	—	2	2	no	—
74	#41×C₅₃	—	2	2	no	—
75	#41×C₅₃	—	2	2	no	—
76	#41×C₅₃	—	2	2	no	—
77	C₂×Q₈×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
78	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
79	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
80	C₂×D₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
81	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
82	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
83	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
84	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
85	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
86	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
87	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
88	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
89	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
90	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
91	C₂×Dic₁₀₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
92	M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
93	M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
94	M₁₆×C₅₃	—	4	4	no	—
95	C₂×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
96	C₂×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
97	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
98	C₂×C₈×C₅₃	—	4	4	no	—
99	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
100	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
101	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
102	C₂×C₈×C₅₃	#41	1	2	yes	—
103	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
104	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
105	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
106	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
107	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
108	#11719925	—	4	8	no	—
109	#11719923	—	4	8	no	—
110	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
111	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
112	#11719919	—	4	2	no	—
113	#11719919	—	4	2	no	—
114	C₄×Dic₅₃	—	4	2	no	—
115	C₄×Dic₅₃	—	4	2	no	—
116	#11719917	—	2	4	no	—
117	#11719917	—	2	4	no	—
118	C₂×#88322	—	2	4	no	—
119	Dic₂₁₂	—	2	8	no	—
120	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
121	C₂³×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
122	Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
123	Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
124	D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
125	D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
126	D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
127	D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
128	D₄×C₅₃	—	8	2	no	—
129	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
130	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
131	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
132	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
133	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	2	yes	—
134	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	2	yes	—
135	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
139	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
140	C₂×C₄×C₅₃	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
141	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
142	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
143	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
144	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
145	C₂×Dic₅₃	—	8	2	no	—
146	Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
147	Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
148	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
149	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
150	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
151	C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
152	C₈×C₅₃	#121	1	4	yes	—
153	#88322	—	4	4	no	—
154	#28244	—	53	1	no	maximal, Sylow
155	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
156	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
157	C₂²×C₅₃	—	4	4	no	—
158	C₂²×C₅₃	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
159	C₂²×C₅₃	#547	1	1	yes	characteristic
160	C₂²×C₅₃	#555	1	1	yes	characteristic
161	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
162	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
163	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
164	C₄×C₅₃	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
165	C₄×C₅₃	#537	1	1	yes	characteristic
166	C₄×C₅₃	D₄²	1	1	yes	characteristic
167	C₄×C₅₃	#547	1	1	yes	characteristic
168	Dic₅₃	—	4	4	no	—
169	Dic₅₃	—	8	2	no	—
170	C₂×#473	—	53	2	no	—
171	#3037	—	53	2	no	—
172	C₂×#441	—	53	1	no	—
173	#2932	D₅₃	1	1	yes	characteristic
174	#2052	—	53	4	no	—
175	#1849	—	53	1	no	—
176	#1815	—	53	2	no	—
177	#1801	—	53	2	no	—
178	C₂×C₅₃	—	2	1	no	—
179	C₂×C₅₃	—	2	1	no	—
180	C₂×C₅₃	—	8	2	no	—
181	C₂×C₅₃	#2537	1	1	yes	characteristic
182	C₂×C₅₃	#3069	1	2	yes	—
183	C₂×#137	—	53	4	no	—
184	C₂²×Q₁₆	—	53	1	no	—
185	C₂×#131	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
186	#532	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
187	C₂×C₄×Q₈	—	53	2	no	—
188	#473	—	106	8	no	—
189	#464	—	106	4	no	—
190	#462	—	106	2	no	—
191	#460	—	106	2	no	—
192	#441	—	106	4	no	—
193	#435	—	2	4	no	—
194	C₂×#108	—	53	2	no	—
195	C₂×#108	—	53	2	no	—
196	C₂×#106	—	53	1	no	—
197	#423	—	53	2	no	—
198	#423	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
199	#417	—	53	4	no	—
200	C₂×#103	—	53	2	no	—
201	C₂×#101	—	53	4	no	—
202	#408	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
203	C₂×#97	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
204	#343	—	53	4	no	—
205	C₅₃	#28244	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
206	C₂×#41	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
207	C₂²×Q₈	—	53	2	no	—
208	#137	—	106	8	no	—
209	#137	—	212	4	no	—
210	C₂×Q₁₆	—	53	4	no	—
211	C₂×Q₁₆	—	106	4	no	—
212	C₂×Q₁₆	—	106	2	no	—
213	C₂×Q₁₆	—	106	2	no	—
214	C₂×SD₁₆	—	106	4	no	—
215	#131	—	2	4	no	—
216	#131	—	2	4	no	—
217	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
218	C₂×M₁₆	—	53	4	no	—
219	C₂×M₁₆	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
220	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
221	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
222	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
223	C₄⋊Q₈	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
224	#127	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
225	#124	D₂₁₂	1	2	yes	—
226	#121	—	2	2	no	—
227	C₄×Q₈	—	106	2	no	—
228	C₄×Q₈	—	106	2	no	—
229	C₄×Q₈	—	106	2	no	—
230	C₄×Q₈	—	106	2	no	—
231	C₄×D₄	—	2	2	no	—
232	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
233	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
234	C₂×C₄²	—	106	2	no	—
235	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
236	#108	—	106	4	no	—
237	#108	—	212	2	no	—
238	#106	—	106	2	no	—
239	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
240	C₄⋊C₈	—	106	2	no	—
241	C₄⋊C₈	—	106	2	no	—
242	#103	—	106	4	no	—
243	#103	—	106	4	no	—
244	#102	—	106	4	no	—
245	#101	—	106	8	no	—
246	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
247	#97	C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
248	#41	—	2	2	no	—
249	#41	—	2	2	no	—
250	#41	—	2	2	no	—
251	#41	—	2	2	no	—
252	C₂×Q₈	—	53	4	no	—
253	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
254	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
255	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
256	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
257	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
258	C₂×Q₈	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
259	C₂×D₄	—	2	2	no	—
260	C₂×D₄	—	2	2	no	—
261	C₂×D₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
262	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
263	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
264	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
265	C₂²×C₄	#11719945	1	2	yes	—
266	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
267	Q₁₆	—	106	8	no	—
268	Q₁₆	—	212	8	no	—
269	SD₁₆	—	212	8	no	—
270	M₁₆	—	2	2	no	—
271	M₁₆	—	2	2	no	—
272	M₁₆	—	4	4	no	—
273	M₁₆	—	106	4	no	—
274	M₁₆	—	106	4	no	—
275	C₂×C₈	—	2	1	no	—
276	C₂×C₈	—	2	1	no	—
277	C₂×C₈	—	2	2	no	—
278	C₂×C₈	—	4	4	no	—
279	C₂×C₈	—	106	4	no	—
280	C₂×C₈	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
281	C₂×C₈	#11719947	1	2	yes	—
282	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
283	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
284	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
285	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
286	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
287	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
288	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
289	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
290	C₄²	—	212	2	no	—
291	C₄²	—	212	2	no	—
292	C₄²	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
293	C₄²	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
294	C₄²	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
295	C₂³	—	2	2	no	—
296	C₂³	C₂×#11719945	1	1	yes	characteristic
297	Q₈	—	2	2	no	—
298	Q₈	—	2	2	no	—
299	Q₈	—	106	4	no	—
300	Q₈	—	106	4	no	—
301	Q₈	—	212	2	no	—
302	Q₈	—	212	2	no	—
303	D₄	—	2	2	no	—
304	D₄	—	2	2	no	—
305	D₄	—	4	2	no	—
306	D₄	—	4	2	no	—
307	D₄	—	8	2	no	—
308	C₂×C₄	—	2	2	no	—
309	C₂×C₄	—	4	2	no	—
310	C₂×C₄	—	4	2	no	—
311	C₂×C₄	—	4	2	no	—
312	C₂×C₄	—	106	4	no	—
313	C₂×C₄	—	424	2	no	—
314	C₂×C₄	—	212	2	no	—
315	C₂×C₄	—	212	2	no	—
316	C₂×C₄	—	212	2	no	—
317	C₂×C₄	#13133191	1	2	yes	—
318	C₂×C₄	#13133191	1	2	yes	—
319	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
320	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
321	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
322	C₂×C₄	C₂×#11719947	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₄	#13133263	1	1	yes	characteristic
324	C₂×C₄	#13133264	1	1	yes	characteristic
325	C₈	—	2	2	no	—
326	C₈	—	4	2	no	—
327	C₈	—	212	4	no	—
328	C₈	#13133188	1	4	yes	—
329	C₂²	—	2	2	no	—
330	C₂²	—	4	4	no	—
331	C₂²	—	4	2	no	—
332	C₂²	C₂×#13133191	1	1	yes	characteristic
333	C₂²	#16811278	1	1	yes	characteristic
334	C₂²	#16811338	1	1	yes	characteristic
335	C₄	—	2	2	no	—
336	C₄	—	2	2	no	—
337	C₄	—	4	2	no	—
338	C₄	—	424	2	no	—
339	C₄	—	212	4	no	—
340	C₄	C₂×#13133188	1	1	yes	characteristic
341	C₄	#16811201	1	1	yes	characteristic
342	C₄	D₄×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
343	C₄	#16811277	1	1	yes	characteristic
344	C₂	—	2	1	no	—
345	C₂	—	2	1	no	—
346	C₂	—	8	2	no	—
347	C₂	#20279628	1	1	yes	characteristic
348	C₂	#20284452	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂×#13133191
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#2932	C₂
socle	C₂²×C₅₃	C₂×#121
prime radical	C₅₃×#532	C₂²
hypercenter	#2932	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#28244
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ #2932

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#16810898	C₂	semidirect
3. C₂×#16810731	C₂	semidirect
4. #20276013	C₂	semidirect
5. #20274890	C₂	semidirect
6. #20274774	C₂	semidirect
7. #20274708	C₂	semidirect
36. C₂×Dic₂₁₂	D₄	semidirect
205. C₅₃	#28244	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16810898	2
#20284183	2
C₂×#16810731	2
#20276013	2
#20274890	2
#20274774	2
#20274708	2
C₅₃×#2932	2
#28244	53