Subgroups — #27473109

Order 13568.

838 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 350 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16810899	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#20284189	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₂×#16810731	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#20283434	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#20276016	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#20274771	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#20274708	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₅₃×#1849	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂×#13133250	C₂²	1	4	yes	—
10	C₂²×Dic₂₁₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#13133223	C₂²	1	2	yes	—
12	#16811173	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×C₄×Dic₁₀₆	C₂²	1	2	yes	—
14	#16810899	—	2	8	no	—
15	#16810846	—	2	4	no	—
16	#16810834	—	2	2	no	—
17	#16810824	—	2	2	no	—
18	#16810731	—	2	4	no	—
19	#16810696	—	2	4	no	—
20	C₂×#13133149	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#16810647	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#16810625	C₂²	1	4	yes	—
23	C₂×#13133142	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×#13133135	C₂²	1	4	yes	—
25	#16810589	C₂²	1	2	yes	—
26	#16810391	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂×#108×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×#108×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
29	C₅₃×#423	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#97×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×#11719945	C₂³	1	2	yes	—
32	C₂²×Dic₁₀₆	C₂³	1	2	yes	—
33	#13133250	—	2	8	no	—
34	#13133250	—	4	4	no	—
35	C₂×Dic₂₁₂	—	2	2	no	—
36	C₂×Dic₂₁₂	—	2	2	no	—
37	C₂×Dic₂₁₂	—	2	4	no	—
38	C₂×Dic₂₁₂	D₄	1	4	yes	complemented
39	C₂×#11719913	—	2	4	no	—
40	#13133223	—	2	4	no	—
41	#13133223	—	2	4	no	—
42	C₂×#11719917	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂×#11719912	—	2	2	no	—
44	C₂×C₈×D₅₃	—	2	2	no	—
45	#13133217	D₄	1	1	yes	characteristic
46	#13133214	D₄	1	1	yes	characteristic
47	#13133205	D₄	1	2	yes	—
48	#13133191	—	2	2	no	—
49	C₄×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
50	C₄×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
51	C₄×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
52	C₄×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
53	C₄×D₂₁₂	—	2	2	no	—
54	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂×#11719919	—	2	2	no	—
56	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
57	#13133149	—	2	2	no	—
58	C₄⋊#88322	—	2	2	no	—
59	#13133142	—	2	4	no	—
60	#13133142	—	2	4	no	—
61	#13133139	—	2	4	no	—
62	#13133135	—	2	8	no	—
63	#13133129	—	2	4	no	—
64	C₂×M₁₆×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
65	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	#108×C₅₃	—	2	4	no	—
69	#108×C₅₃	—	4	2	no	—
70	C₄⋊C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
71	C₄⋊C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
72	#97×C₅₃	D₄	1	4	yes	—
73	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
74	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
75	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	2	2	no	—
76	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
77	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
78	#11719945	—	2	2	no	—
79	#11719945	—	2	2	no	—
80	#11719945	—	2	2	no	—
81	#11719945	—	2	2	no	—
82	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
83	C₂×D₂₁₂	C₂×D₄	1	2	yes	—
84	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
85	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
86	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
87	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
88	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
89	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
90	C₂×Dic₁₀₆	C₂×D₄	1	4	yes	—
91	C₂×Dic₁₀₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
92	M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
93	M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
94	C₂×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
95	C₂×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
96	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
97	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
98	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
99	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
100	C₂×C₈×C₅₃	#41	1	2	yes	—
101	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
102	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
103	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
104	#11719921	—	2	4	no	—
105	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
106	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
107	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
108	#11719919	—	4	2	no	—
109	#11719919	—	4	2	no	—
110	C₄×Dic₅₃	—	4	2	no	—
111	C₄×Dic₅₃	—	4	2	no	—
112	#11719917	—	2	2	no	—
113	#11719917	—	2	2	no	—
114	C₂×#88322	—	2	2	no	—
115	Dic₂₁₂	—	2	8	no	—
116	Dic₂₁₂	—	4	8	no	—
117	#11719913	—	4	8	no	—
118	#11719912	—	4	4	no	—
119	C₈×D₅₃	—	4	4	no	—
120	C₂³×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
121	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
122	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
123	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	2	yes	—
124	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	2	yes	—
125	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
128	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
129	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
130	C₂×C₄×C₅₃	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
131	C₂²⋊D₅₃	—	4	2	no	—
132	C₂²⋊D₅₃	—	4	2	no	—
133	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
134	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
135	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
136	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
137	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
138	C₂×Dic₅₃	—	8	2	no	—
139	D₂₁₂	—	2	2	no	—
140	D₂₁₂	—	2	2	no	—
141	D₂₁₂	—	8	2	no	—
142	C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
143	C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
144	Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
145	Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
146	Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
147	Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
148	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
149	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
150	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
151	C₈×C₅₃	—	4	4	no	—
152	C₈×C₅₃	#121	1	4	yes	—
153	#88322	—	4	2	no	—
154	#28244	—	53	1	no	maximal, Sylow
155	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
156	C₂²×C₅₃	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
157	C₂²×C₅₃	#547	1	1	yes	characteristic
158	C₂²×C₅₃	#555	1	1	yes	characteristic
159	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
160	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
161	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
162	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
163	C₄×C₅₃	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
164	C₄×C₅₃	#537	1	1	yes	characteristic
165	C₄×C₅₃	D₄²	1	1	yes	characteristic
166	C₄×C₅₃	#547	1	1	yes	characteristic
167	Dic₅₃	—	4	4	no	—
168	Dic₅₃	—	4	2	no	—
169	Dic₅₃	—	8	2	no	—
170	C₂×#473	—	53	2	no	—
171	#3037	—	53	2	no	—
172	C₂×#441	—	53	1	no	—
173	#2932	—	53	1	no	—
174	#2052	—	53	4	no	—
175	#1849	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
176	#1815	—	53	2	no	—
177	#1801	—	53	2	no	—
178	C₂×C₅₃	—	2	1	no	—
179	C₂×C₅₃	—	2	1	no	—
180	C₂×C₅₃	#2537	1	1	yes	characteristic
181	C₂×C₅₃	#3069	1	2	yes	—
182	D₅₃	—	8	2	no	—
183	C₂×#137	—	53	4	no	—
184	C₂²×Q₁₆	—	53	1	no	—
185	C₂×#131	—	53	2	no	—
186	#532	—	53	1	no	—
187	C₂×C₄×Q₈	—	53	2	no	—
188	#473	—	106	8	no	—
189	#464	—	106	4	no	—
190	#462	—	106	2	no	—
191	#460	—	106	2	no	—
192	#441	—	106	4	no	—
193	#435	—	106	4	no	—
194	C₂×#108	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
195	C₂×#108	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
196	C₂×#106	—	53	1	no	—
197	#423	—	53	1	no	—
198	#423	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
199	#417	—	53	4	no	—
200	C₂×#103	—	53	2	no	—
201	C₂×#101	—	53	4	no	—
202	#408	—	53	2	no	—
203	C₂×#97	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
204	#343	—	53	4	no	—
205	C₅₃	#28244	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
206	C₂×#41	—	53	2	no	—
207	C₂²×Q₈	—	53	2	no	—
208	#137	—	106	8	no	—
209	#137	—	212	4	no	—
210	C₂×Q₁₆	—	53	4	no	—
211	C₂×Q₁₆	—	106	4	no	—
212	C₂×Q₁₆	—	106	2	no	—
213	C₂×Q₁₆	—	106	2	no	—
214	C₂×SD₁₆	—	106	4	no	—
215	#131	—	106	4	no	—
216	#131	—	106	4	no	—
217	C₂×M₁₆	—	53	2	no	—
218	C₂×M₁₆	—	106	2	no	—
219	C₂×M₁₆	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
220	C₂²×C₈	—	106	2	no	—
221	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
222	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
223	C₄⋊Q₈	—	53	1	no	—
224	#127	—	53	1	no	—
225	#124	—	53	2	no	—
226	#121	—	106	2	no	—
227	C₄×Q₈	—	106	2	no	—
228	C₄×Q₈	—	106	2	no	—
229	C₄×Q₈	—	106	2	no	—
230	C₄×Q₈	—	106	2	no	—
231	C₄×D₄	—	106	2	no	—
232	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
233	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
234	C₂×C₄²	—	106	2	no	—
235	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
236	#108	—	2	4	no	—
237	#108	—	4	2	no	—
238	#106	—	106	2	no	—
239	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
240	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
241	C₄⋊C₈	—	106	2	no	—
242	#103	—	106	4	no	—
243	#103	—	106	4	no	—
244	#102	—	106	4	no	—
245	#101	—	106	8	no	—
246	C₂²⋊C₈	—	106	4	no	—
247	#97	D₂₁₂	1	4	yes	—
248	#41	—	106	2	no	—
249	#41	—	106	2	no	—
250	#41	—	106	2	no	—
251	#41	—	106	2	no	—
252	C₂×Q₈	—	53	4	no	—
253	C₂×Q₈	—	53	2	no	—
254	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
255	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
256	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
257	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
258	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
259	C₂×D₄	—	53	2	no	—
260	C₂×D₄	—	106	2	no	—
261	C₂×D₄	—	106	2	no	—
262	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
263	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
264	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
265	C₂²×C₄	#11719949	1	2	yes	—
266	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
267	Q₁₆	—	106	8	no	—
268	Q₁₆	—	212	8	no	—
269	SD₁₆	—	212	8	no	—
270	M₁₆	—	2	4	no	—
271	M₁₆	—	2	4	no	—
272	M₁₆	—	106	2	no	—
273	M₁₆	—	106	2	no	—
274	M₁₆	—	212	4	no	—
275	C₂×C₈	—	2	1	no	—
276	C₂×C₈	—	2	1	no	—
277	C₂×C₈	—	2	4	no	—
278	C₂×C₈	—	106	2	no	—
279	C₂×C₈	—	212	4	no	—
280	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
281	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
282	C₂×C₈	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
283	C₂×C₈	#11719949	1	2	yes	—
284	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
285	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
286	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
287	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
288	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
289	C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
290	C₄²	—	212	2	no	—
291	C₄²	—	212	2	no	—
292	C₄²	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
293	C₄²	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
294	C₄²	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
295	C₂³	—	106	2	no	—
296	C₂³	C₂×#11719949	1	1	yes	characteristic
297	Q₈	—	106	2	no	—
298	Q₈	—	106	4	no	—
299	Q₈	—	106	4	no	—
300	Q₈	—	106	2	no	—
301	Q₈	—	212	2	no	—
302	Q₈	—	212	2	no	—
303	D₄	—	106	2	no	—
304	D₄	—	106	2	no	—
305	D₄	—	424	2	no	—
306	D₄	—	212	2	no	—
307	D₄	—	212	2	no	—
308	C₂×C₄	—	4	2	no	—
309	C₂×C₄	—	106	4	no	—
310	C₂×C₄	—	106	2	no	—
311	C₂×C₄	—	424	2	no	—
312	C₂×C₄	—	212	2	no	—
313	C₂×C₄	—	212	2	no	—
314	C₂×C₄	—	212	2	no	—
315	C₂×C₄	—	212	2	no	—
316	C₂×C₄	—	212	2	no	—
317	C₂×C₄	#13133192	1	2	yes	—
318	C₂×C₄	#13133192	1	2	yes	—
319	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
320	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
321	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
322	C₂×C₄	C₂×#11719949	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₄	#13133262	1	1	yes	characteristic
324	C₂×C₄	#13133265	1	1	yes	characteristic
325	C₈	—	2	2	no	—
326	C₈	—	4	4	no	—
327	C₈	—	212	2	no	—
328	C₈	#13133192	1	4	yes	—
329	C₂²	—	2	2	no	—
330	C₂²	—	212	4	no	—
331	C₂²	—	212	2	no	—
332	C₂²	C₂×#13133192	1	1	yes	characteristic
333	C₂²	#16811276	1	1	yes	characteristic
334	C₂²	#16811339	1	1	yes	characteristic
335	C₄	—	2	2	no	—
336	C₄	—	2	2	no	—
337	C₄	—	424	2	no	—
338	C₄	—	212	2	no	—
339	C₄	—	212	4	no	—
340	C₄	C₂×#13133192	1	1	yes	characteristic
341	C₄	#16811204	1	1	yes	characteristic
342	C₄	#16811258	1	1	yes	characteristic
343	C₄	#16811276	1	1	yes	characteristic
344	C₂	—	2	1	no	—
345	C₂	—	2	1	no	—
346	C₂	—	424	2	no	—
347	C₂	#20279631	1	1	yes	characteristic
348	C₂	#20284453	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂×#13133192
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#1849	C₂
socle	C₂²×C₅₃	C₂×#121
prime radical	#16811173	C₂²
hypercenter	#1849	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#28244
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ #1849

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#16810899	C₂	semidirect
3. C₂×#16810731	C₂	semidirect
5. #20276016	C₂	semidirect
6. #20274771	C₂	semidirect
7. #20274708	C₂	semidirect
8. C₅₃×#1849	C₂	semidirect
38. C₂×Dic₂₁₂	D₄	semidirect
175. #1849	D₅₃	semidirect
205. C₅₃	#28244	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16810899	2
#20284189	2
C₂×#16810731	2
#20283434	2
#20276016	2
#20274771	2
#20274708	2
C₅₃×#1849	2
#28244	53