Subgroups — #27473116

Order 13568.

858 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 382 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20284381	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#20284377	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#16810741	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#20275943	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#20274879	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#20274776	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#20274774	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₂×C₅₃×#443	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂×#13133239	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#13133223	C₂²	1	2	yes	—
11	#16811201	C₂²	1	4	yes	—
12	#16810881	—	2	2	no	—
13	#16810876	—	2	2	no	—
14	#16810866	—	2	4	no	—
15	#16810861	—	2	2	no	—
16	#16810856	—	2	2	no	—
17	#16810852	—	2	4	no	—
18	#16810741	—	2	4	no	—
19	C₂×#13133153	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×#13133151	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#13133149	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#13133145	C₂²	1	2	yes	—
23	#16810625	C₂²	1	4	yes	—
24	#16810624	C₂²	1	4	yes	—
25	#16810489	C₂²	1	2	yes	—
26	#16810391	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂×#135×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×#131×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
29	C₅₃×#443	—	2	4	no	—
30	C₂×#108×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×#104×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×C₄×C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂×#11719945	C₂³	1	2	yes	—
34	#13133239	—	2	2	no	—
35	#13133239	—	2	2	no	—
36	C₂×Dic₂₁₂	D₄	1	1	yes	characteristic
37	C₂×#11719913	D₄	1	2	yes	—
38	C₂×D₄₂₄	D₄	1	1	yes	characteristic
39	#13133223	—	2	4	no	—
40	#13133223	—	2	4	no	—
41	C₂×#11719917	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂×#11719912	—	2	2	no	—
43	C₂×C₈×D₅₃	—	2	2	no	—
44	#13133196	—	2	4	no	—
45	#13133193	—	2	4	no	—
46	#13133191	—	2	4	no	—
47	#13133189	—	4	4	no	—
48	#13133188	—	2	4	no	—
49	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	4	yes	—
50	#13133153	—	2	2	no	—
51	#13133151	—	2	2	no	—
52	#13133151	—	2	2	no	—
53	#13133149	—	2	2	no	—
54	#13133149	—	2	2	no	—
55	#13133145	—	2	4	no	—
56	#13133142	—	2	4	no	—
57	#13133141	—	2	4	no	—
58	#13133139	—	2	4	no	—
59	#13133138	—	2	4	no	—
60	#13133124	—	4	2	no	—
61	C₂×#41×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
62	#135×C₅₃	—	2	2	no	—
63	#135×C₅₃	—	2	2	no	—
64	C₂×Q₁₆×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
65	C₂×SD₁₆×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
66	C₂×D₈×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
67	#131×C₅₃	—	2	4	no	—
68	#131×C₅₃	—	2	4	no	—
69	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
70	C₂×M₁₆×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂²×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
72	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	#108×C₅₃	—	2	2	no	—
76	#104×C₅₃	—	2	4	no	—
77	C₄×C₈×C₅₃	D₄	1	4	yes	complemented
78	#41×C₅₃	—	2	2	no	—
79	#41×C₅₃	—	2	2	no	—
80	#41×C₅₃	—	2	2	no	—
81	#41×C₅₃	—	2	2	no	—
82	C₂×Q₈×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
83	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
84	C₂×D₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
85	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
86	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
87	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
88	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	2	2	no	—
89	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	4	no	—
90	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
91	#11719945	—	2	2	no	—
92	#11719945	—	2	2	no	—
93	#11719945	—	2	2	no	—
94	#11719945	—	2	2	no	—
95	C₂×D₂₁₂	C₂×D₄	1	2	yes	—
96	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
97	C₂×Dic₁₀₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
98	Q₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
99	SD₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
100	D₈×C₅₃	—	2	2	no	—
101	M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
102	M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
103	M₁₆×C₅₃	—	4	4	no	—
104	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
105	C₂×C₈×C₅₃	—	4	4	no	—
106	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
108	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
109	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
110	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
111	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
112	C₂×C₈×C₅₃	#41	1	2	yes	—
113	C₂×C₈×C₅₃	#41	1	2	yes	—
114	C₄²×C₅₃	—	2	1	no	—
115	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
116	C₂²⋊Dic₅₃	—	4	4	no	—
117	#11719921	—	4	4	no	—
118	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
119	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
120	#11719919	—	4	4	no	—
121	#11719917	—	2	2	no	—
122	#11719917	—	2	2	no	—
123	C₂×#88322	—	2	2	no	—
124	Dic₂₁₂	—	2	2	no	—
125	D₄₂₄	—	2	2	no	—
126	#11719913	—	2	4	no	—
127	#11719912	—	4	4	no	—
128	C₈×D₅₃	—	4	4	no	—
129	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
130	C₂³×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
131	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
132	Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
133	Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
134	D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
135	D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
136	D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
137	D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
138	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
139	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
140	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
141	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
142	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
143	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
144	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
145	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
146	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
147	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
148	C₂×C₄×C₅₃	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
149	C₂²⋊D₅₃	—	4	2	no	—
150	C₂²⋊D₅₃	—	4	2	no	—
151	C₂²⋊D₅₃	—	16	4	no	—
152	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
153	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
154	C₂×Dic₅₃	—	8	4	no	—
155	D₂₁₂	—	2	2	no	—
156	D₂₁₂	—	2	2	no	—
157	C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
158	C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
159	Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
160	Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
161	C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
162	C₈×C₅₃	#121	1	2	yes	—
163	C₈×C₅₃	#121	1	2	yes	—
164	C₈×C₅₃	#121	1	2	yes	—
165	C₈×C₅₃	#121	1	2	yes	—
166	#88322	—	4	2	no	—
167	#28245	—	53	1	no	maximal, Sylow
168	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
169	C₂²×C₅₃	—	4	4	no	—
170	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
171	C₂²×C₅₃	#537	1	1	yes	characteristic
172	C₂²×C₅₃	D₄²	1	1	yes	characteristic
173	C₂²×C₅₃	#555	1	1	yes	characteristic
174	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
175	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
176	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
177	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
178	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
179	C₄×C₅₃	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
180	C₄×C₅₃	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
181	C₄×C₅₃	#547	1	1	yes	characteristic
182	C₄×C₅₃	#547	1	1	yes	characteristic
183	Dic₅₃	—	4	2	no	—
184	Dic₅₃	—	8	4	no	—
185	#3061	—	53	2	no	—
186	#3060	—	53	2	no	—
187	C₂×#443	—	53	1	no	—
188	C₂×#443	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
189	#2040	—	53	4	no	—
190	#1846	—	53	1	no	—
191	#1816	—	53	2	no	—
192	#1815	—	53	2	no	—
193	C₂×C₅₃	—	2	1	no	—
194	C₂×C₅₃	—	2	1	no	—
195	C₂×C₅₃	—	8	2	no	—
196	C₂×C₅₃	#2537	1	1	yes	characteristic
197	C₂×C₅₃	#3290	1	2	yes	—
198	D₅₃	—	8	2	no	—
199	C₂×#135	—	53	1	no	—
200	C₂×#135	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
201	C₂×#131	—	53	2	no	—
202	C₂×#131	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
203	#537	—	53	4	no	—
204	#470	—	106	2	no	—
205	#469	—	106	2	no	—
206	#468	—	106	4	no	—
207	#467	—	106	2	no	—
208	#466	—	106	2	no	—
209	#465	—	106	4	no	—
210	#443	—	2	4	no	—
211	#443	—	106	4	no	—
212	C₂×#108	—	53	1	no	—
213	C₂×#108	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
214	C₂×#107	—	53	2	no	—
215	C₂×#106	—	53	2	no	—
216	C₂×#104	—	53	2	no	—
217	C₂×#104	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
218	#417	—	53	4	no	—
219	#417	—	53	4	no	—
220	C₂×C₄×C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
221	#382	—	53	2	no	—
222	#343	—	53	4	no	—
223	C₅₃	#28245	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
224	C₂×#41	—	53	2	no	—
225	C₂×#41	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
226	#135	—	2	2	no	—
227	#135	—	2	2	no	—
228	#135	—	106	2	no	—
229	#135	—	106	2	no	—
230	C₂×Q₁₆	—	53	1	no	—
231	C₂×Q₁₆	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
232	C₂×SD₁₆	—	53	2	no	—
233	C₂×SD₁₆	D₂₁₂	1	2	yes	—
234	C₂×D₈	—	53	1	no	—
235	C₂×D₈	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
236	#131	—	2	4	no	—
237	#131	—	2	4	no	—
238	#131	—	106	4	no	—
239	#131	—	106	4	no	—
240	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
241	C₂×M₁₆	—	53	2	no	—
242	C₂×M₁₆	—	106	2	no	—
243	C₂×M₁₆	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
244	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
245	C₂²×C₈	—	106	2	no	—
246	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
247	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
248	C₂²⋊Q₈	—	106	4	no	—
249	C₂²⋊Q₈	—	106	4	no	—
250	#121	—	106	4	no	—
251	#121	—	106	4	no	—
252	#121	—	212	4	no	—
253	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
254	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
255	#108	—	2	2	no	—
256	#108	—	106	2	no	—
257	#107	—	106	2	no	—
258	#107	—	106	2	no	—
259	#106	—	106	2	no	—
260	#106	—	106	2	no	—
261	#104	—	2	4	no	—
262	#104	—	106	4	no	—
263	#103	—	106	4	no	—
264	#103	—	106	4	no	—
265	#102	—	106	4	no	—
266	#102	—	106	4	no	—
267	C₄×C₈	C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	complemented
268	#95	—	212	2	no	—
269	#41	—	2	2	no	—
270	#41	—	2	2	no	—
271	#41	—	2	2	no	—
272	#41	—	2	2	no	—
273	#41	—	106	2	no	—
274	#41	—	106	2	no	—
275	#41	—	106	2	no	—
276	#41	—	106	2	no	—
277	C₂×Q₈	—	53	2	no	—
278	C₂×Q₈	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
279	C₂×D₄	—	2	2	no	—
280	C₂×D₄	—	53	2	no	—
281	C₂×D₄	—	106	2	no	—
282	C₂×D₄	—	212	4	no	—
283	C₂×D₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
284	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
285	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
286	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
287	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
288	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
289	Q₁₆	—	2	2	no	—
290	Q₁₆	—	106	2	no	—
291	SD₁₆	—	2	4	no	—
292	SD₁₆	—	106	4	no	—
293	D₈	—	2	2	no	—
294	D₈	—	106	2	no	—
295	M₁₆	—	2	2	no	—
296	M₁₆	—	2	2	no	—
297	M₁₆	—	4	4	no	—
298	M₁₆	—	106	2	no	—
299	M₁₆	—	106	2	no	—
300	M₁₆	—	212	4	no	—
301	C₂×C₈	—	2	2	no	—
302	C₂×C₈	—	4	4	no	—
303	C₂×C₈	—	106	2	no	—
304	C₂×C₈	—	212	4	no	—
305	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
306	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
307	C₂×C₈	#11719945	1	2	yes	—
308	C₂×C₈	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
309	C₂×C₈	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
310	C₂×C₈	#11719947	1	2	yes	—
311	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
312	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
313	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
314	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
315	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
316	C₂²⋊C₄	—	212	4	no	—
317	C₂²⋊C₄	—	212	4	no	—
318	C₄²	—	2	1	no	—
319	C₄²	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
320	C₂³	—	2	2	no	—
321	C₂³	—	106	2	no	—
322	C₂³	#13133263	1	1	yes	characteristic
323	Q₈	—	2	2	no	—
324	Q₈	—	2	2	no	—
325	Q₈	—	106	2	no	—
326	Q₈	—	106	2	no	—
327	D₄	—	2	2	no	—
328	D₄	—	2	2	no	—
329	D₄	—	4	2	no	—
330	D₄	—	4	2	no	—
331	D₄	—	848	4	no	—
332	D₄	—	106	2	no	—
333	D₄	—	106	2	no	—
334	D₄	—	212	2	no	—
335	D₄	—	212	2	no	—
336	C₂×C₄	—	2	2	no	—
337	C₂×C₄	—	2	2	no	—
338	C₂×C₄	—	4	2	no	—
339	C₂×C₄	—	4	2	no	—
340	C₂×C₄	—	4	2	no	—
341	C₂×C₄	—	106	2	no	—
342	C₂×C₄	—	424	4	no	—
343	C₂×C₄	—	212	4	no	—
344	C₂×C₄	—	212	2	no	—
345	C₂×C₄	—	212	2	no	—
346	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
347	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
348	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
349	C₂×C₄	C₂×#11719947	1	1	yes	characteristic
350	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	1	yes	characteristic
351	C₂×C₄	#13133264	1	1	yes	characteristic
352	C₈	—	4	2	no	—
353	C₈	—	212	2	no	—
354	C₈	#13133188	1	2	yes	—
355	C₈	#13133188	1	2	yes	—
356	C₈	#13133191	1	2	yes	—
357	C₈	#13133191	1	2	yes	—
358	C₂²	—	2	2	no	—
359	C₂²	—	4	4	no	—
360	C₂²	—	4	2	no	—
361	C₂²	—	212	2	no	—
362	C₂²	—	212	2	no	—
363	C₂²	—	212	2	no	—
364	C₂²	#16811201	1	1	yes	characteristic
365	C₂²	D₄×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
366	C₂²	#16811338	1	1	yes	characteristic
367	C₄	—	4	2	no	—
368	C₄	—	4	2	no	—
369	C₄	—	424	4	no	—
370	C₄	—	212	2	no	—
371	C₄	C₂×#13133188	1	1	yes	characteristic
372	C₄	C₂×#13133191	1	1	yes	characteristic
373	C₄	#16811277	1	1	yes	characteristic
374	C₄	#16811278	1	1	yes	characteristic
375	C₂	—	2	1	no	—
376	C₂	—	2	1	no	—
377	C₂	—	8	2	no	—
378	C₂	—	424	2	no	—
379	C₂	#20279628	1	1	yes	characteristic
380	C₂	#20286503	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²	D₄×D₂₁₂
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₂×C₅₃×#443	C₂
socle	C₂²×C₅₃	D₄²
hypercenter	C₂×#443	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#28245
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂×#443

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #20284381	C₂	semidirect
2. #20284377	C₂	semidirect
3. C₂×#16810741	C₂	semidirect
4. #20275943	C₂	semidirect
5. #20274879	C₂	semidirect
6. #20274776	C₂	semidirect
7. #20274774	C₂	semidirect
8. C₂×C₅₃×#443	C₂	semidirect
77. C₄×C₈×C₅₃	D₄	semidirect
188. C₂×#443	D₅₃	semidirect
223. C₅₃	#28245	semidirect
267. C₄×C₈	C₂²⋊D₅₃	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20284381	2
#20284377	2
C₂×#16810741	2
#20275943	2
#20274879	2
#20274776	2
#20274774	2
C₂×C₅₃×#443	2
#28245	53