Subgroups — #27473117

Order 13568.

858 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 382 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20284387	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	#20284378	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	C₂×#16810741	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#16810741	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#20275944	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#20274780	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#20274775	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₅₃×#1846	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂×#13133239	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×#13133239	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#13133223	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×#13133223	C₂²	1	2	yes	—
13	#16811204	C₂²	1	4	yes	—
14	#16810882	—	2	2	no	—
15	#16810877	—	2	2	no	—
16	#16810870	—	2	4	no	—
17	#16810865	—	2	2	no	—
18	#16810860	—	2	2	no	—
19	#16810853	—	2	4	no	—
20	#16810741	—	2	4	no	—
21	#16810741	—	2	4	no	—
22	C₂×#13133153	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#13133153	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×#13133145	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#13133145	C₂²	1	2	yes	—
26	#16810622	C₂²	1	4	yes	—
27	#16810622	C₂²	1	4	yes	—
28	#16810392	C₂²	1	4	yes	—
29	C₂×#107×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#106×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×C₄×C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₅₃×#382	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#11719945	C₂³	1	2	yes	—
34	C₂×#11719945	C₂³	1	2	yes	—
35	#13133239	—	2	2	no	—
36	#13133239	—	2	2	no	—
37	#13133239	—	2	2	no	—
38	#13133239	—	2	2	no	—
39	C₂×Dic₂₁₂	D₄	1	1	yes	characteristic
40	C₂×Dic₂₁₂	D₄	1	1	yes	characteristic
41	C₂×#11719913	D₄	1	2	yes	—
42	C₂×#11719913	D₄	1	2	yes	—
43	C₂×D₄₂₄	D₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂×D₄₂₄	D₄	1	1	yes	characteristic
45	#13133223	—	2	4	no	—
46	#13133223	—	2	4	no	—
47	#13133223	—	2	4	no	—
48	#13133223	—	2	4	no	—
49	C₂×#11719917	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂×#11719917	C₂³	1	2	yes	—
51	C₂×#11719912	—	2	2	no	—
52	C₂×#11719912	—	2	2	no	—
53	C₂×C₈×D₅₃	—	2	2	no	—
54	C₂×C₈×D₅₃	—	2	2	no	—
55	#13133197	—	2	4	no	—
56	#13133197	—	2	4	no	—
57	#13133192	—	2	4	no	—
58	#13133192	—	2	4	no	—
59	#13133191	—	4	4	no	—
60	#13133153	—	2	2	no	—
61	#13133153	—	2	2	no	—
62	#13133145	—	2	4	no	—
63	#13133145	—	2	4	no	—
64	#13133140	—	2	4	no	—
65	#13133140	—	2	4	no	—
66	#13133137	—	2	4	no	—
67	#13133137	—	2	4	no	—
68	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
71	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	#107×C₅₃	—	2	2	no	—
73	#107×C₅₃	—	2	2	no	—
74	#106×C₅₃	—	2	2	no	—
75	#106×C₅₃	—	2	2	no	—
76	C₄×C₈×C₅₃	D₄	1	4	yes	complemented
77	#95×C₅₃	—	4	2	no	—
78	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
79	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
80	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
81	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	2	2	no	—
82	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	2	2	no	—
83	#11719945	—	2	2	no	—
84	#11719945	—	2	2	no	—
85	#11719945	—	2	2	no	—
86	#11719945	—	2	2	no	—
87	#11719945	—	2	2	no	—
88	#11719945	—	2	2	no	—
89	#11719945	—	2	2	no	—
90	#11719945	—	2	2	no	—
91	C₂×D₂₁₂	—	4	4	no	—
92	C₂×D₂₁₂	C₂×D₄	1	2	yes	—
93	C₂×D₂₁₂	C₂×D₄	1	2	yes	—
94	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
95	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
96	C₂×Dic₁₀₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
97	C₂×Dic₁₀₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
98	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
99	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
100	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
101	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
102	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
103	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂×C₈×C₅₃	#41	1	2	yes	—
105	C₂×C₈×C₅₃	#41	1	2	yes	—
106	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
107	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
108	C₄²×C₅₃	—	2	1	no	—
109	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
110	#11719921	—	4	4	no	—
111	#11719921	—	4	4	no	—
112	C₄⋊Dic₅₃	—	4	4	no	—
113	#11719917	—	2	2	no	—
114	#11719917	—	2	2	no	—
115	#11719917	—	2	2	no	—
116	#11719917	—	2	2	no	—
117	C₂×#88322	—	2	2	no	—
118	C₂×#88322	—	2	2	no	—
119	Dic₂₁₂	—	2	2	no	—
120	Dic₂₁₂	—	2	2	no	—
121	D₄₂₄	—	2	2	no	—
122	D₄₂₄	—	2	2	no	—
123	#11719913	—	2	4	no	—
124	#11719913	—	2	4	no	—
125	#11719912	—	4	4	no	—
126	#11719912	—	4	4	no	—
127	C₈×D₅₃	—	4	4	no	—
128	C₈×D₅₃	—	4	4	no	—
129	C₂³×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
130	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
131	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
132	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
133	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
134	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
135	C₂×C₄×C₅₃	—	8	4	no	—
136	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
139	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
140	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
141	C₂×C₄×C₅₃	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
142	C₂²⋊D₅₃	—	4	2	no	—
143	C₂²⋊D₅₃	—	4	2	no	—
144	C₂²⋊D₅₃	—	4	2	no	—
145	C₂²⋊D₅₃	—	4	2	no	—
146	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
147	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
148	D₂₁₂	—	2	2	no	—
149	D₂₁₂	—	2	2	no	—
150	D₂₁₂	—	2	2	no	—
151	D₂₁₂	—	2	2	no	—
152	D₂₁₂	—	16	4	no	—
153	C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
154	C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
155	C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
156	C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
157	Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
158	Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
159	Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
160	Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
161	C₈×C₅₃	#121	1	2	yes	—
162	C₈×C₅₃	#121	1	2	yes	—
163	C₈×C₅₃	#121	1	2	yes	—
164	C₈×C₅₃	#121	1	2	yes	—
165	#88322	—	4	2	no	—
166	#88322	—	4	2	no	—
167	#28245	—	53	1	no	maximal, Sylow
168	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
169	C₂²×C₅₃	#537	1	1	yes	characteristic
170	C₂²×C₅₃	D₄²	1	1	yes	characteristic
171	C₂²×C₅₃	#555	1	1	yes	characteristic
172	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
173	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
174	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
175	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
176	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
177	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
178	C₄×C₅₃	—	8	4	no	—
179	C₄×C₅₃	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
180	C₄×C₅₃	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
181	C₄×C₅₃	#547	1	1	yes	characteristic
182	C₄×C₅₃	#547	1	1	yes	characteristic
183	Dic₅₃	—	4	2	no	—
184	Dic₅₃	—	4	2	no	—
185	#3061	—	53	2	no	—
186	#3060	—	53	2	no	—
187	C₂×#443	—	53	1	no	—
188	C₂×#443	—	53	1	no	—
189	#2040	—	53	4	no	—
190	#1846	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
191	#1816	—	53	2	no	—
192	#1815	—	53	2	no	—
193	C₂×C₅₃	—	2	1	no	—
194	C₂×C₅₃	—	2	1	no	—
195	C₂×C₅₃	#2537	1	1	yes	characteristic
196	C₂×C₅₃	#3290	1	2	yes	—
197	D₅₃	—	8	2	no	—
198	D₅₃	—	8	2	no	—
199	C₂×#135	—	53	1	no	—
200	C₂×#135	—	53	1	no	—
201	C₂×#131	—	53	2	no	—
202	C₂×#131	—	53	2	no	—
203	#537	—	53	4	no	—
204	#470	—	106	2	no	—
205	#469	—	106	2	no	—
206	#468	—	106	4	no	—
207	#467	—	106	2	no	—
208	#466	—	106	2	no	—
209	#465	—	106	4	no	—
210	#443	—	106	4	no	—
211	#443	—	106	4	no	—
212	C₂×#108	—	53	1	no	—
213	C₂×#108	—	53	1	no	—
214	C₂×#107	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
215	C₂×#106	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
216	C₂×#104	—	53	2	no	—
217	C₂×#104	—	53	2	no	—
218	#417	—	53	4	no	—
219	#417	—	53	4	no	—
220	C₂×C₄×C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
221	#382	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
222	#343	—	53	4	no	—
223	C₅₃	#28245	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
224	C₂×#41	—	53	2	no	—
225	C₂×#41	—	53	2	no	—
226	#135	—	106	2	no	—
227	#135	—	106	2	no	—
228	#135	—	106	2	no	—
229	#135	—	106	2	no	—
230	C₂×Q₁₆	—	53	1	no	—
231	C₂×Q₁₆	—	53	1	no	—
232	C₂×SD₁₆	—	53	2	no	—
233	C₂×SD₁₆	—	53	2	no	—
234	C₂×D₈	—	53	1	no	—
235	C₂×D₈	—	53	1	no	—
236	#131	—	106	4	no	—
237	#131	—	106	4	no	—
238	#131	—	106	4	no	—
239	#131	—	106	4	no	—
240	C₂×M₁₆	—	53	2	no	—
241	C₂×M₁₆	—	53	2	no	—
242	C₂×M₁₆	—	106	2	no	—
243	C₂×M₁₆	—	106	2	no	—
244	C₂²×C₈	—	106	2	no	—
245	C₂²×C₈	—	106	2	no	—
246	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
247	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
248	C₂²⋊Q₈	—	106	4	no	—
249	C₂²⋊Q₈	—	106	4	no	—
250	#121	—	106	4	no	—
251	#121	—	106	4	no	—
252	#121	—	212	4	no	—
253	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
254	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
255	#108	—	106	2	no	—
256	#108	—	106	2	no	—
257	#107	—	2	2	no	—
258	#107	—	2	2	no	—
259	#106	—	2	2	no	—
260	#106	—	2	2	no	—
261	#104	—	106	4	no	—
262	#104	—	106	4	no	—
263	#103	—	106	4	no	—
264	#103	—	106	4	no	—
265	#102	—	106	4	no	—
266	#102	—	106	4	no	—
267	C₄×C₈	D₂₁₂	1	4	yes	complemented
268	#95	—	4	2	no	—
269	#41	—	106	2	no	—
270	#41	—	106	2	no	—
271	#41	—	106	2	no	—
272	#41	—	106	2	no	—
273	#41	—	106	2	no	—
274	#41	—	106	2	no	—
275	#41	—	106	2	no	—
276	#41	—	106	2	no	—
277	C₂×Q₈	—	53	2	no	—
278	C₂×Q₈	—	53	2	no	—
279	C₂×D₄	—	53	2	no	—
280	C₂×D₄	—	53	2	no	—
281	C₂×D₄	—	106	2	no	—
282	C₂×D₄	—	106	2	no	—
283	C₂×D₄	—	212	4	no	—
284	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
285	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
286	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
287	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
288	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
289	Q₁₆	—	106	2	no	—
290	Q₁₆	—	106	2	no	—
291	SD₁₆	—	106	4	no	—
292	SD₁₆	—	106	4	no	—
293	D₈	—	106	2	no	—
294	D₈	—	106	2	no	—
295	M₁₆	—	106	2	no	—
296	M₁₆	—	106	2	no	—
297	M₁₆	—	106	2	no	—
298	M₁₆	—	106	2	no	—
299	M₁₆	—	212	4	no	—
300	M₁₆	—	212	4	no	—
301	C₂×C₈	—	106	2	no	—
302	C₂×C₈	—	106	2	no	—
303	C₂×C₈	—	212	4	no	—
304	C₂×C₈	—	212	4	no	—
305	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
306	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
307	C₂×C₈	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
308	C₂×C₈	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
309	C₂×C₈	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
310	C₂×C₈	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
311	C₂×C₈	#11719949	1	2	yes	—
312	C₂×C₈	#11719949	1	2	yes	—
313	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
314	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
315	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
316	C₂²⋊C₄	—	212	4	no	—
317	C₂²⋊C₄	—	212	4	no	—
318	C₄²	—	2	1	no	—
319	C₄²	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
320	C₂³	—	106	2	no	—
321	C₂³	—	106	2	no	—
322	C₂³	#13133262	1	1	yes	characteristic
323	Q₈	—	106	2	no	—
324	Q₈	—	106	2	no	—
325	Q₈	—	106	2	no	—
326	Q₈	—	106	2	no	—
327	D₄	—	848	4	no	—
328	D₄	—	106	2	no	—
329	D₄	—	106	2	no	—
330	D₄	—	106	2	no	—
331	D₄	—	106	2	no	—
332	D₄	—	212	2	no	—
333	D₄	—	212	2	no	—
334	D₄	—	212	2	no	—
335	D₄	—	212	2	no	—
336	C₂×C₄	—	2	2	no	—
337	C₂×C₄	—	4	2	no	—
338	C₂×C₄	—	4	4	no	—
339	C₂×C₄	—	8	4	no	—
340	C₂×C₄	—	106	2	no	—
341	C₂×C₄	—	106	2	no	—
342	C₂×C₄	—	212	2	no	—
343	C₂×C₄	—	212	2	no	—
344	C₂×C₄	—	212	2	no	—
345	C₂×C₄	—	212	2	no	—
346	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
347	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
348	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
349	C₂×C₄	C₂×#11719949	1	1	yes	characteristic
350	C₂×C₄	C₂×#11719949	1	1	yes	characteristic
351	C₂×C₄	#13133265	1	1	yes	characteristic
352	C₈	—	212	2	no	—
353	C₈	—	212	2	no	—
354	C₈	#13133192	1	2	yes	—
355	C₈	#13133192	1	2	yes	—
356	C₈	#13133192	1	2	yes	—
357	C₈	#13133192	1	2	yes	—
358	C₂²	—	2	2	no	—
359	C₂²	—	212	2	no	—
360	C₂²	—	212	4	no	—
361	C₂²	—	212	2	no	—
362	C₂²	—	212	2	no	—
363	C₂²	—	212	2	no	—
364	C₂²	#16811204	1	1	yes	characteristic
365	C₂²	#16811258	1	1	yes	characteristic
366	C₂²	#16811339	1	1	yes	characteristic
367	C₄	—	4	2	no	—
368	C₄	—	8	4	no	—
369	C₄	—	212	2	no	—
370	C₄	—	212	2	no	—
371	C₄	C₂×#13133192	1	1	yes	characteristic
372	C₄	C₂×#13133192	1	1	yes	characteristic
373	C₄	#16811276	1	1	yes	characteristic
374	C₄	#16811276	1	1	yes	characteristic
375	C₂	—	2	1	no	—
376	C₂	—	2	1	no	—
377	C₂	—	424	2	no	—
378	C₂	—	424	2	no	—
379	C₂	#20279631	1	1	yes	characteristic
380	C₂	#20286500	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²	#16811258
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#1846	C₂
socle	C₂²×C₅₃	D₄²
hypercenter	#1846	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#28245
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×C₄ ◁ #1846

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #20284387	C₂	semidirect
2. #20284378	C₂	semidirect
3. C₂×#16810741	C₂	semidirect
4. C₂×#16810741	C₂	semidirect
5. #20275944	C₂	semidirect
6. #20274780	C₂	semidirect
7. #20274775	C₂	semidirect
8. C₅₃×#1846	C₂	semidirect
76. C₄×C₈×C₅₃	D₄	semidirect
190. #1846	D₅₃	semidirect
223. C₅₃	#28245	semidirect
267. C₄×C₈	D₂₁₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20284387	2
#20284378	2
C₂×#16810741	2
#20275944	2
#20274780	2
#20274775	2
C₅₃×#1846	2
#28245	53