Subgroups — #27474660

Order 13568.

1026 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 348 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16810918	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂×#16810823	C₂	1	2	yes	maximal
3	#20283072	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#20276244	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20275798	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#20275599	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#20274568	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₄×C₄⋊Q₈×C₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×#11719924	C₂²	1	4	yes	—
10	C₂×#13133217	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#13133214	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#13133205	—	2	2	no	—
13	#16810918	—	2	8	no	—
14	#16810823	—	2	8	no	—
15	C₂×#13133150	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×C₄⋊#88322	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#13133141	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×#13133137	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×#13133128	C₂²	1	2	yes	—
20	#16810525	—	2	2	no	—
21	#16810525	C₂²	1	2	yes	—
22	#16810525	C₂²	1	2	yes	—
23	#16810378	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×C₄⋊Q₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×C₄×Q₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
26	C₅₃×#391	C₂²	1	2	yes	—
27	C₅₃×#389	—	2	2	no	—
28	C₅₃×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₄×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
30	C₄³×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
32	C₂²×D₂₁₂	—	2	1	no	—
33	C₂²×D₂₁₂	—	2	1	no	—
34	C₂²×D₂₁₂	C₂³	1	2	yes	—
35	C₂×#11719924	—	2	8	no	—
36	C₂×#11719924	—	2	8	no	—
37	C₂×#11719924	—	4	4	no	—
38	C₂²×#88322	C₂³	1	4	yes	—
39	#13133217	—	2	4	no	—
40	#13133214	—	2	4	no	—
41	#13133205	—	4	8	no	—
42	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
43	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂×#11719921	—	2	4	no	—
45	C₂×#11719921	—	2	4	no	—
46	#13133150	—	2	8	no	—
47	C₄⋊#88322	D₄	1	8	yes	—
48	#13133141	—	2	8	no	—
49	#13133137	—	2	8	no	—
50	#13133128	—	4	2	no	—
51	C₂²×Q₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
52	C₄⋊Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
53	C₄×Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
54	C₄×Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
55	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
56	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
57	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
58	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
60	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
61	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
62	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	#95×C₅₃	—	2	4	no	—
66	C₂³×D₅₃	—	2	2	no	—
67	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
68	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
69	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
70	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
71	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
72	C₂×Q₈×C₅₃	#41	1	4	yes	—
73	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
74	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
75	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
76	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
78	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
80	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
81	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
82	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
83	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
84	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
85	C₂×D₂₁₂	—	4	4	no	—
86	C₂×D₂₁₂	—	4	2	no	—
87	C₂×D₂₁₂	—	4	2	no	—
88	C₂×D₂₁₂	—	4	4	no	—
89	C₂×Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
90	C₂×Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
91	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
92	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
93	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
94	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
95	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
96	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
97	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
98	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
99	C₄²×C₅₃	—	2	1	no	—
100	C₄²×C₅₃	—	2	1	no	—
101	C₄²×C₅₃	—	4	4	no	—
102	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
103	#11719924	—	4	16	no	—
104	#11719921	—	4	8	no	—
105	#11719921	—	4	8	no	—
106	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
107	C₄⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
108	C₂×#88322	—	2	4	no	—
109	C₂×#88322	—	2	4	no	—
110	C₂×#88322	C₂×D₄	1	8	yes	—
111	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
112	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
113	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
114	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
115	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
116	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
117	Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
118	Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
119	Q₈×C₅₃	—	4	2	no	—
120	Q₈×C₅₃	—	4	2	no	—
121	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
122	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
123	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
124	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
125	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
126	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
127	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
128	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
129	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
130	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
131	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
132	C₂×C₄×C₅₃	#127	1	2	yes	—
133	C₂×C₄×C₅₃	#127	1	2	yes	—
134	C₂×C₄×C₅₃	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
135	C₂×C₄×C₅₃	#137	1	4	yes	—
136	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
137	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
138	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
139	C₂×C₄×C₅₃	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
140	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
141	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
142	D₂₁₂	—	4	4	no	—
143	D₂₁₂	—	4	4	no	—
144	D₂₁₂	—	8	4	no	—
145	D₂₁₂	—	8	4	no	—
146	Dic₁₀₆	—	8	4	no	—
147	#88322	—	2	8	no	—
148	#28386	—	53	1	no	maximal, Sylow
149	C₂²×C₅₃	#525	1	1	yes	characteristic
150	C₂²×C₅₃	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
151	C₂²×C₅₃	#537	1	1	yes	characteristic
152	C₂²×C₅₃	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
153	C₂²×C₅₃	C₂×#137	1	2	yes	—
154	C₂×D₅₃	—	8	4	no	—
155	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
156	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
157	C₂×D₅₃	—	8	4	no	—
158	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
159	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
160	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
161	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
162	C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
163	C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
164	C₄×C₅₃	#497	1	4	yes	—
165	C₄×C₅₃	#546	1	2	yes	—
166	C₄×C₅₃	#548	1	2	yes	—
167	Dic₅₃	—	8	2	no	—
168	C₂×#477	—	53	2	no	—
169	C₂×#460	—	53	2	no	—
170	#2858	—	53	1	no	—
171	C₄×C₄⋊Q₈	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
172	#2093	—	53	2	no	—
173	#2013	—	53	2	no	—
174	#1973	—	53	4	no	—
175	#1767	—	53	1	no	—
176	C₂×C₅₃	#2540	1	1	yes	characteristic
177	C₂×C₅₃	#3112	1	2	yes	—
178	C₂×C₅₃	C₂×#497	1	1	yes	characteristic
179	C₂×C₅₃	#3151	1	1	yes	characteristic
180	C₂×C₅₃	#3254	1	2	yes	—
181	D₅₃	—	16	2	no	—
182	C₂²×SD₁₆	—	53	4	no	—
183	C₂×C₄⋊Q₈	—	53	1	no	—
184	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
185	C₂×#127	—	53	1	no	—
186	C₂×#124	—	106	2	no	—
187	C₂×C₄×Q₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
188	#477	—	106	8	no	—
189	#460	—	106	8	no	—
190	C₂×#107	—	53	4	no	—
191	C₂×C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
192	C₂×#103	—	53	4	no	—
193	C₂×#102	—	53	4	no	—
194	C₂×#97	—	53	2	no	—
195	#391	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
196	#390	—	53	2	no	—
197	#390	—	53	2	no	—
198	#390	—	106	2	no	—
199	#389	—	2	2	no	—
200	#384	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
201	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
202	C₄³	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
203	#336	—	53	2	no	—
204	C₅₃	#28386	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
205	C₂²×Q₈	—	106	1	no	—
206	C₂²×Q₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
207	C₂²×D₄	—	53	2	no	—
208	C₂²×D₄	—	106	1	no	—
209	C₂²×D₄	—	106	1	no	—
210	C₂×SD₁₆	—	106	8	no	—
211	C₂×SD₁₆	—	106	8	no	—
212	C₂×SD₁₆	—	212	4	no	—
213	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
214	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
215	C₄⋊Q₈	—	106	4	no	—
216	#127	—	106	4	no	—
217	#124	—	212	8	no	—
218	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
219	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
220	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
221	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
222	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
223	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
224	C₂×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
225	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
226	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
227	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
228	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
229	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
230	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
231	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
232	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
233	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
234	#107	—	106	8	no	—
235	C₄⋊C₈	—	53	8	no	—
236	#103	—	106	8	no	—
237	#102	—	106	8	no	—
238	#97	—	212	2	no	—
239	#95	—	2	4	no	—
240	C₂⁴	—	106	2	no	—
241	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
242	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
243	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
244	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
245	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
246	C₂×Q₈	—	212	4	no	—
247	C₂×Q₈	—	212	2	no	—
248	C₂×Q₈	#11719945	1	4	yes	—
249	C₂×D₄	—	106	4	no	—
250	C₂×D₄	—	106	4	no	—
251	C₂×D₄	—	106	2	no	—
252	C₂×D₄	—	106	2	no	—
253	C₂×D₄	—	212	4	no	—
254	C₂×D₄	—	212	2	no	—
255	C₂×D₄	—	212	2	no	—
256	C₂×D₄	—	212	4	no	—
257	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
258	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
259	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
260	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
261	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
262	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
263	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
264	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
265	SD₁₆	—	212	16	no	—
266	C₂×C₈	—	53	8	no	—
267	C₂×C₈	—	106	4	no	—
268	C₂×C₈	—	106	4	no	—
269	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
270	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
271	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
272	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
273	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
274	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
275	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	212	8	no	—
277	C₂²⋊C₄	—	212	8	no	—
278	C₄²	—	2	4	no	—
279	C₄²	—	2	4	no	—
280	C₄²	—	2	2	no	—
281	C₄²	—	2	1	no	—
282	C₄²	—	2	1	no	—
283	C₄²	—	4	4	no	—
284	C₄²	D₄×D₅₃	1	4	yes	—
285	C₂³	—	212	2	no	—
286	C₂³	—	212	4	no	—
287	C₂³	—	212	4	no	—
288	C₂³	—	212	2	no	—
289	C₂³	—	212	2	no	—
290	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
291	Q₈	—	2	4	no	—
292	Q₈	—	2	4	no	—
293	Q₈	—	4	2	no	—
294	Q₈	—	4	2	no	—
295	Q₈	—	424	4	no	—
296	D₄	—	424	4	no	—
297	D₄	—	424	4	no	—
298	D₄	—	212	4	no	—
299	D₄	—	212	4	no	—
300	C₂×C₄	—	2	2	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	4	no	—
304	C₂×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂×C₄	—	2	2	no	—
306	C₂×C₄	—	2	2	no	—
307	C₂×C₄	—	4	2	no	—
308	C₂×C₄	—	4	2	no	—
309	C₂×C₄	—	4	4	no	—
310	C₂×C₄	—	4	2	no	—
311	C₂×C₄	—	212	4	no	—
312	C₂×C₄	—	212	2	no	—
313	C₂×C₄	#13133213	1	2	yes	—
314	C₂×C₄	#13133213	1	2	yes	—
315	C₂×C₄	#13133242	1	4	yes	—
316	C₂×C₄	#13133248	1	4	yes	—
317	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	2	yes	—
318	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	2	yes	—
319	C₂×C₄	#13133263	1	1	yes	characteristic
320	C₂×C₄	#13133264	1	1	yes	characteristic
321	C₈	—	106	8	no	—
322	C₂²	—	424	2	no	—
323	C₂²	—	424	4	no	—
324	C₂²	—	424	4	no	—
325	C₂²	—	424	2	no	—
326	C₂²	—	424	2	no	—
327	C₂²	#16811134	1	1	yes	characteristic
328	C₂²	C₂×#13133213	1	1	yes	characteristic
329	C₂²	#16811201	1	1	yes	characteristic
330	C₂²	C₂×#13133242	1	2	yes	—
331	C₂²	C₂×#13133248	1	2	yes	—
332	C₄	—	2	4	no	—
333	C₄	—	2	2	no	—
334	C₄	—	4	4	no	—
335	C₄	—	4	2	no	—
336	C₄	—	8	2	no	—
337	C₄	—	424	2	no	—
338	C₄	#16811015	1	4	yes	—
339	C₄	#16811269	1	2	yes	—
340	C₄	#16811282	1	2	yes	—
341	C₂	—	848	2	no	—
342	C₂	#20279654	1	1	yes	characteristic
343	C₂	#20284837	1	2	yes	—
344	C₂	C₂×#16811015	1	1	yes	characteristic
345	C₂	#20285168	1	1	yes	characteristic
346	C₂	#20286098	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₄×C₄⋊Q₈×C₅₃	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
prime radical	C₂×#13133214	C₂²
hypercenter	C₄×C₄⋊Q₈	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#28386
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄³ ◁ C₄×C₄⋊Q₈

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#16810918	C₂	semidirect
4. #20276244	C₂	semidirect
5. #20275798	C₂	semidirect
6. #20275599	C₂	semidirect
7. #20274568	C₂	semidirect
8. C₄×C₄⋊Q₈×C₅₃	C₂	semidirect
171. C₄×C₄⋊Q₈	D₅₃	semidirect
204. C₅₃	#28386	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16810918	2
C₂×#16810823	2
#20283072	2
#20276244	2
#20275798	2
#20275599	2
#20274568	2
C₄×C₄⋊Q₈×C₅₃	2
#28386	53