Subgroups — #27474661

Order 13568.

1026 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 348 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16810915	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂×#16810820	C₂	1	2	yes	maximal
3	C₄×#13133217	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#20276243	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20275797	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#20275595	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#20274568	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₅₃×#2858	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₂²×#11719923	C₂²	1	4	yes	—
10	C₂×#13133217	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×C₄×Dic₁₀₆	C₂²	1	2	yes	—
12	#16810915	—	2	8	no	—
13	#16810820	—	2	8	no	—
14	C₂×#13133150	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂×C₄⋊#88322	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#13133140	C₂²	1	4	yes	—
17	C₂×#13133138	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×#13133128	C₂²	1	2	yes	—
19	#16810529	C₂²	1	2	yes	—
20	#16810521	—	2	2	no	—
21	#16810493	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₄×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
23	#16810378	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×C₄⋊Q₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#127×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×#124×C₅₃	—	2	2	no	—
27	C₅₃×#390	—	2	2	no	—
28	C₅₃×#390	C₂²	1	2	yes	—
29	C₅₃×#390	C₂²	1	2	yes	—
30	C₄³×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂²×Dic₁₀₆	C₂³	1	2	yes	—
32	C₂×#11719923	—	2	8	no	—
33	C₂×#11719923	—	2	8	no	—
34	C₂×#11719923	—	4	4	no	—
35	C₂²×#88322	C₂³	1	4	yes	—
36	#13133217	—	2	4	no	—
37	C₄×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
38	C₄×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
39	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
40	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
41	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂×#11719919	—	2	2	no	—
43	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
44	#13133150	—	2	8	no	—
45	C₄⋊#88322	D₄	1	8	yes	—
46	#13133140	—	2	8	no	—
47	#13133138	—	2	8	no	—
48	#13133128	—	4	2	no	—
49	#13133124	—	2	4	no	—
50	C₂²×Q₈×C₅₃	—	2	1	no	—
51	C₂²×D₄×C₅₃	—	2	1	no	—
52	C₂²×D₄×C₅₃	—	2	1	no	—
53	C₂²×D₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
54	C₄⋊Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
55	#127×C₅₃	—	2	4	no	—
56	#124×C₅₃	—	4	8	no	—
57	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
58	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
60	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
61	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
62	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
63	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂⁴×C₅₃	—	2	2	no	—
67	C₂×Q₈×C₅₃	—	4	4	no	—
68	C₂×Q₈×C₅₃	—	4	2	no	—
69	C₂×D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
70	C₂×D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
71	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
72	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
73	C₂×D₄×C₅₃	—	4	4	no	—
74	C₂×D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
75	C₂×D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
76	C₂×D₄×C₅₃	—	4	4	no	—
77	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
78	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
79	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
80	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
81	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
82	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
83	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
84	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
85	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
86	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
87	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
88	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
89	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
90	C₂×Dic₁₀₆	#41	1	4	yes	—
91	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
92	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
93	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
94	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
95	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
96	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
97	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
98	C₄²×C₅₃	—	2	1	no	—
99	C₄²×C₅₃	—	2	1	no	—
100	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
101	#11719923	—	4	16	no	—
102	C₄⋊Dic₅₃	—	2	8	no	—
103	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
104	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
105	C₄⋊Dic₅₃	—	4	4	no	—
106	#11719919	—	4	4	no	—
107	C₄×Dic₅₃	—	4	4	no	—
108	C₂×#88322	—	2	4	no	—
109	C₂×#88322	—	2	4	no	—
110	C₂×#88322	C₂×D₄	1	8	yes	—
111	C₂³×C₅₃	—	4	2	no	—
112	C₂³×C₅₃	—	4	2	no	—
113	C₂³×C₅₃	—	4	2	no	—
114	C₂³×C₅₃	—	4	4	no	—
115	C₂³×C₅₃	—	4	4	no	—
116	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
117	Q₈×C₅₃	—	8	4	no	—
118	D₄×C₅₃	—	4	4	no	—
119	D₄×C₅₃	—	4	4	no	—
120	D₄×C₅₃	—	8	4	no	—
121	D₄×C₅₃	—	8	4	no	—
122	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
123	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
124	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
125	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
126	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
127	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
128	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
129	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
130	C₂×C₄×C₅₃	#127	1	2	yes	—
131	C₂×C₄×C₅₃	#127	1	2	yes	—
132	C₂×C₄×C₅₃	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
133	C₂×C₄×C₅₃	#137	1	4	yes	—
134	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
135	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
136	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
137	C₂×C₄×C₅₃	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
138	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
139	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
140	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
141	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
142	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
143	Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
144	Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
145	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
146	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
147	#88322	—	2	8	no	—
148	#28386	—	53	1	no	maximal, Sylow
149	C₂²×C₅₃	—	8	4	no	—
150	C₂²×C₅₃	—	8	2	no	—
151	C₂²×C₅₃	—	8	2	no	—
152	C₂²×C₅₃	—	8	4	no	—
153	C₂²×C₅₃	—	8	2	no	—
154	C₂²×C₅₃	#525	1	1	yes	characteristic
155	C₂²×C₅₃	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
156	C₂²×C₅₃	#537	1	1	yes	characteristic
157	C₂²×C₅₃	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
158	C₂²×C₅₃	C₂×#137	1	2	yes	—
159	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
160	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
161	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
162	C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
163	C₄×C₅₃	#497	1	4	yes	—
164	C₄×C₅₃	#546	1	2	yes	—
165	C₄×C₅₃	#548	1	2	yes	—
166	Dic₅₃	—	4	4	no	—
167	Dic₅₃	—	8	2	no	—
168	C₂×#477	—	53	2	no	—
169	C₂×#460	—	53	2	no	—
170	#2858	D₅₃	1	1	yes	characteristic
171	C₄×C₄⋊Q₈	—	53	1	no	—
172	#2093	—	53	2	no	—
173	#2013	—	53	2	no	—
174	#1973	—	53	4	no	—
175	#1767	—	53	1	no	—
176	C₂×C₅₃	—	16	2	no	—
177	C₂×C₅₃	#2540	1	1	yes	characteristic
178	C₂×C₅₃	#3112	1	2	yes	—
179	C₂×C₅₃	C₂×#497	1	1	yes	characteristic
180	C₂×C₅₃	#3151	1	1	yes	characteristic
181	C₂×C₅₃	#3254	1	2	yes	—
182	C₂²×SD₁₆	—	53	4	no	—
183	C₂×C₄⋊Q₈	—	53	1	no	—
184	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
185	C₂×#127	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
186	C₂×#124	—	2	2	no	—
187	C₂×C₄×Q₈	—	53	2	no	—
188	#477	—	106	8	no	—
189	#460	—	106	8	no	—
190	C₂×#107	—	53	4	no	—
191	C₂×C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
192	C₂×#103	—	53	4	no	—
193	C₂×#102	—	53	4	no	—
194	C₂×#97	—	53	2	no	—
195	#391	—	53	2	no	—
196	#390	—	2	2	no	—
197	#390	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
198	#390	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
199	#389	—	106	2	no	—
200	#384	—	53	1	no	—
201	C₄×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
202	C₄³	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
203	#336	—	53	2	no	—
204	C₅₃	#28386	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
205	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
206	C₂²×Q₈	—	53	2	no	—
207	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
208	C₂²×D₄	—	2	1	no	—
209	C₂²×D₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
210	C₂×SD₁₆	—	106	8	no	—
211	C₂×SD₁₆	—	106	8	no	—
212	C₂×SD₁₆	—	212	4	no	—
213	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
214	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
215	C₄⋊Q₈	—	106	4	no	—
216	#127	—	2	4	no	—
217	#124	—	4	8	no	—
218	C₄×Q₈	—	106	4	no	—
219	C₄×Q₈	—	106	4	no	—
220	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
221	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
222	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
223	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
224	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
225	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
226	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
227	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
228	C₂×C₄²	—	106	2	no	—
229	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
230	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
231	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
232	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
233	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
234	#107	—	106	8	no	—
235	C₄⋊C₈	—	53	8	no	—
236	#103	—	106	8	no	—
237	#102	—	106	8	no	—
238	#97	—	212	2	no	—
239	#95	—	106	4	no	—
240	C₂⁴	—	2	2	no	—
241	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
242	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
243	C₂×Q₈	—	53	4	no	—
244	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
245	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
246	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
247	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
248	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
249	C₂×D₄	—	2	4	no	—
250	C₂×D₄	—	2	4	no	—
251	C₂×D₄	—	2	2	no	—
252	C₂×D₄	—	2	2	no	—
253	C₂×D₄	—	4	4	no	—
254	C₂×D₄	—	4	2	no	—
255	C₂×D₄	—	4	2	no	—
256	C₂×D₄	—	4	4	no	—
257	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
258	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
259	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
260	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
261	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
262	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
263	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
264	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
265	SD₁₆	—	212	16	no	—
266	C₂×C₈	—	53	8	no	—
267	C₂×C₈	—	106	4	no	—
268	C₂×C₈	—	106	4	no	—
269	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
270	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
271	C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
272	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
273	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
274	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
275	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
276	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
277	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
278	C₄²	—	2	4	no	—
279	C₄²	—	2	4	no	—
280	C₄²	—	2	2	no	—
281	C₄²	—	2	1	no	—
282	C₄²	—	2	1	no	—
283	C₄²	—	212	4	no	—
284	C₄²	D₄×D₅₃	1	4	yes	—
285	C₂³	—	4	2	no	—
286	C₂³	—	4	4	no	—
287	C₂³	—	4	4	no	—
288	C₂³	—	4	2	no	—
289	C₂³	—	4	2	no	—
290	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
291	Q₈	—	8	4	no	—
292	Q₈	—	106	4	no	—
293	Q₈	—	106	4	no	—
294	Q₈	—	212	2	no	—
295	Q₈	—	212	2	no	—
296	D₄	—	4	4	no	—
297	D₄	—	4	4	no	—
298	D₄	—	8	4	no	—
299	D₄	—	8	4	no	—
300	C₂×C₄	—	2	2	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	2	2	no	—
304	C₂×C₄	—	2	2	no	—
305	C₂×C₄	—	2	2	no	—
306	C₂×C₄	—	4	4	no	—
307	C₂×C₄	—	4	2	no	—
308	C₂×C₄	—	106	4	no	—
309	C₂×C₄	—	212	4	no	—
310	C₂×C₄	—	212	2	no	—
311	C₂×C₄	—	212	2	no	—
312	C₂×C₄	—	212	2	no	—
313	C₂×C₄	#13133213	1	2	yes	—
314	C₂×C₄	#13133213	1	2	yes	—
315	C₂×C₄	#13133243	1	4	yes	—
316	C₂×C₄	#13133247	1	4	yes	—
317	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	2	yes	—
318	C₂×C₄	#41×D₅₃	1	2	yes	—
319	C₂×C₄	#13133263	1	1	yes	characteristic
320	C₂×C₄	#13133264	1	1	yes	characteristic
321	C₈	—	106	8	no	—
322	C₂²	—	8	2	no	—
323	C₂²	—	8	4	no	—
324	C₂²	—	8	4	no	—
325	C₂²	—	8	2	no	—
326	C₂²	—	8	2	no	—
327	C₂²	#16811130	1	1	yes	characteristic
328	C₂²	C₂×#13133213	1	1	yes	characteristic
329	C₂²	#16811201	1	1	yes	characteristic
330	C₂²	C₂×#13133243	1	2	yes	—
331	C₂²	C₂×#13133247	1	2	yes	—
332	C₄	—	2	4	no	—
333	C₄	—	2	2	no	—
334	C₄	—	4	2	no	—
335	C₄	—	8	2	no	—
336	C₄	—	424	2	no	—
337	C₄	—	212	4	no	—
338	C₄	#16811018	1	4	yes	—
339	C₄	#16811266	1	2	yes	—
340	C₄	#16811281	1	2	yes	—
341	C₂	—	16	2	no	—
342	C₂	#20279655	1	1	yes	characteristic
343	C₂	#20284833	1	2	yes	—
344	C₂	C₂×#16811018	1	1	yes	characteristic
345	C₂	#20285165	1	1	yes	characteristic
346	C₂	#20286102	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#2858	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
prime radical	C₂×#127×C₅₃	C₂²
hypercenter	#2858	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#28386
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄³ ◁ #2858

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#16810915	C₂	semidirect
3. C₄×#13133217	C₂	semidirect
4. #20276243	C₂	semidirect
5. #20275797	C₂	semidirect
6. #20275595	C₂	semidirect
7. #20274568	C₂	semidirect
204. C₅₃	#28386	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16810915	2
C₂×#16810820	2
C₄×#13133217	2
#20276243	2
#20275797	2
#20275595	2
#20274568	2
C₅₃×#2858	2
#28386	53