Subgroups — #27474678

Order 13568.

958 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 352 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16810920	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂×#16810825	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#20277440	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#20276263	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20275802	C₂	1	2	yes	maximal
6	#20275599	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#20275572	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#20274572	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₅₃×#2642	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂²×#11719924	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂²×#11719924	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×#13133214	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×C₄×D₂₁₂	C₂²	1	2	yes	—
14	#16810920	—	2	8	no	—
15	#16810825	—	2	8	no	—
16	C₂×#13133150	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#13133148	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×C₄⋊#88322	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#13133141	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#13133141	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×#13133137	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#13133137	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#13133128	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₂×C₄×#88322	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#16810525	C₂²	1	2	yes	—
26	#16810501	—	2	4	no	—
27	#16810489	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#16810378	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×C₄⋊Q₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×#125×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₅₃×#400	—	2	4	no	—
32	C₅₃×#391	C₂²	1	2	yes	—
33	C₅₃×#391	C₂²	1	2	yes	—
34	C₅₃×#376	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂²×D₂₁₂	—	2	2	no	—
36	C₂²×D₂₁₂	C₂³	1	2	yes	—
37	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
38	C₂×#11719924	—	2	4	no	—
39	C₂×#11719924	—	2	4	no	—
40	C₂×#11719924	—	2	4	no	—
41	C₂×#11719924	—	2	4	no	—
42	C₂×#11719924	—	4	2	no	—
43	C₂×#11719924	—	4	2	no	—
44	C₂²×#88322	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂²×#88322	C₂³	1	2	yes	—
46	#13133214	—	2	4	no	—
47	C₄×D₂₁₂	—	2	4	no	—
48	C₄×D₂₁₂	—	2	4	no	—
49	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂×#11719921	—	2	2	no	—
51	C₂×#11719921	—	2	4	no	—
52	#13133150	—	2	4	no	—
53	#13133148	—	2	4	no	—
54	C₄⋊#88322	D₄	1	8	yes	complemented
55	#13133141	—	2	4	no	—
56	#13133141	—	2	4	no	—
57	#13133137	—	2	4	no	—
58	#13133137	—	2	4	no	—
59	#13133128	—	4	1	no	—
60	C₄×#88322	—	4	1	no	—
61	#13133124	—	2	2	no	—
62	C₂²×Q₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
63	C₄⋊Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
64	#125×C₅₃	—	2	4	no	—
65	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
66	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
67	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
68	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	#95×C₅₃	—	2	4	no	—
72	#95×C₅₃	—	2	4	no	—
73	#95×C₅₃	D₄	1	4	yes	—
74	C₂³×D₅₃	—	2	2	no	—
75	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
76	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
77	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
78	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
79	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
80	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
81	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
82	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
83	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
84	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
85	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
86	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
87	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
88	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
89	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
90	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
91	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
92	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
93	C₂×D₂₁₂	—	2	8	no	—
94	C₂×D₂₁₂	—	8	4	no	—
95	C₂×D₂₁₂	#41	1	4	yes	—
96	C₂×C₄×D₅₃	—	4	4	no	—
97	C₂×C₄×D₅₃	—	8	4	no	—
98	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
99	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
100	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
101	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
102	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
103	C₄²×C₅₃	—	2	1	no	—
104	C₄²×C₅₃	—	2	1	no	—
105	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
106	#11719924	—	4	8	no	—
107	#11719924	—	4	8	no	—
108	#11719921	—	4	4	no	—
109	#11719921	—	8	4	no	—
110	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
111	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
112	C₂×#88322	—	2	2	no	—
113	C₂×#88322	—	2	2	no	—
114	C₂×#88322	—	2	2	no	—
115	C₂×#88322	—	2	2	no	—
116	C₂×#88322	C₂×D₄	1	4	yes	—
117	C₂×#88322	C₂×D₄	1	4	yes	—
118	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂²×D₅₃	—	2	4	no	—
120	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
121	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
122	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
123	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
124	Q₈×C₅₃	—	4	2	no	—
125	Q₈×C₅₃	—	4	2	no	—
126	Q₈×C₅₃	—	4	2	no	—
127	Q₈×C₅₃	—	4	2	no	—
128	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
129	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
130	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
131	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
132	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
133	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
134	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
135	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
136	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
137	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
138	C₂×C₄×C₅₃	#127	1	4	yes	—
139	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
140	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
141	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
142	C₂×C₄×C₅₃	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
143	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
144	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
145	D₂₁₂	—	2	4	no	—
146	D₂₁₂	—	2	4	no	—
147	D₂₁₂	—	4	2	no	—
148	D₂₁₂	—	4	2	no	—
149	D₂₁₂	—	8	8	no	—
150	C₄×D₅₃	—	8	8	no	—
151	#88322	—	2	4	no	—
152	#88322	—	2	4	no	—
153	#28388	—	53	1	no	maximal, Sylow
154	C₂²×C₅₃	#525	1	1	yes	characteristic
155	C₂²×C₅₃	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
156	C₂²×C₅₃	#537	1	1	yes	characteristic
157	C₂²×C₅₃	#577	1	4	yes	—
158	C₂×D₅₃	—	4	8	no	—
159	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
160	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
161	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
162	C₂×D₅₃	—	8	4	no	—
163	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
164	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
165	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
166	C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
167	C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
168	C₄×C₅₃	#546	1	2	yes	—
169	C₄×C₅₃	#548	1	2	yes	—
170	Dic₅₃	—	8	2	no	—
171	C₂×#478	—	53	2	no	—
172	C₂×#461	—	53	2	no	—
173	#2642	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
174	#2328	—	53	1	no	—
175	#2097	—	53	2	no	—
176	#2014	—	53	2	no	—
177	#1973	—	53	2	no	—
178	#1968	—	53	2	no	—
179	#1768	—	53	1	no	—
180	C₂×C₅₃	#2540	1	1	yes	characteristic
181	C₂×C₅₃	#3123	1	2	yes	—
182	C₂×C₅₃	#3154	1	2	yes	—
183	C₂×C₅₃	#3260	1	2	yes	—
184	D₅₃	—	8	4	no	—
185	C₂²×SD₁₆	—	53	2	no	—
186	C₂²×SD₁₆	—	53	2	no	—
187	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
188	C₂×#127	—	53	1	no	—
189	C₂×#125	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
190	C₂×C₄×D₄	—	53	2	no	—
191	#478	—	106	8	no	—
192	#461	—	106	8	no	—
193	C₂×#107	—	53	2	no	—
194	C₂×#106	—	53	2	no	—
195	C₂×C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
196	C₂×#103	—	53	2	no	—
197	C₂×#103	—	53	2	no	—
198	C₂×#102	—	53	2	no	—
199	C₂×#102	—	53	2	no	—
200	C₂×#97	—	53	1	no	—
201	C₂×C₄×C₈	—	53	1	no	—
202	#400	—	2	4	no	—
203	#391	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
204	#391	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
205	#390	—	53	2	no	—
206	#386	—	106	4	no	—
207	#382	—	53	1	no	—
208	#376	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
209	#336	—	53	2	no	—
210	C₅₃	#28388	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
211	C₂²×Q₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
212	C₂²×D₄	—	53	2	no	—
213	C₂²×D₄	—	106	2	no	—
214	C₂³×C₄	—	106	2	no	—
215	C₂×SD₁₆	—	106	4	no	—
216	C₂×SD₁₆	—	106	4	no	—
217	C₂×SD₁₆	—	106	4	no	—
218	C₂×SD₁₆	—	106	4	no	—
219	C₂×SD₁₆	—	212	2	no	—
220	C₂×SD₁₆	—	212	2	no	—
221	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
222	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
223	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
224	#127	—	106	4	no	—
225	#125	—	2	4	no	—
226	C₄×D₄	—	106	4	no	—
227	C₄×D₄	—	106	4	no	—
228	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
229	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
230	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
231	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
232	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
233	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
234	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
235	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
236	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
237	#107	—	106	4	no	—
238	#106	—	106	4	no	—
239	C₄⋊C₈	—	53	8	no	—
240	#103	—	106	4	no	—
241	#103	—	106	4	no	—
242	#102	—	106	4	no	—
243	#102	—	106	4	no	—
244	#97	—	212	1	no	—
245	C₄×C₈	—	212	1	no	—
246	#95	—	2	4	no	—
247	#95	—	2	4	no	—
248	#95	—	106	2	no	—
249	#95	C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	—
250	C₂⁴	—	106	2	no	—
251	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
252	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
253	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
254	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
255	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
256	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
257	C₂×D₄	—	53	4	no	—
258	C₂×D₄	—	106	8	no	—
259	C₂×D₄	—	106	2	no	—
260	C₂×D₄	—	106	2	no	—
261	C₂×D₄	—	106	2	no	—
262	C₂×D₄	—	106	2	no	—
263	C₂×D₄	—	106	2	no	—
264	C₂×D₄	—	424	4	no	—
265	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
266	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
267	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
268	C₂²×C₄	—	424	4	no	—
269	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
270	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
271	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
272	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
273	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
274	SD₁₆	—	212	8	no	—
275	SD₁₆	—	212	8	no	—
276	C₂×C₈	—	53	4	no	—
277	C₂×C₈	—	53	4	no	—
278	C₂×C₈	—	106	2	no	—
279	C₂×C₈	—	106	2	no	—
280	C₂×C₈	—	106	2	no	—
281	C₂×C₈	—	106	2	no	—
282	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
283	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
284	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
285	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
286	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
287	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
288	C₂²⋊C₄	—	424	4	no	—
289	C₂²⋊C₄	—	212	4	no	—
290	C₄²	—	2	2	no	—
291	C₄²	—	2	1	no	—
292	C₄²	—	2	1	no	—
293	C₄²	D₄×D₅₃	1	4	yes	—
294	C₂³	—	106	4	no	—
295	C₂³	—	212	2	no	—
296	C₂³	—	212	4	no	—
297	C₂³	—	212	4	no	—
298	C₂³	—	212	2	no	—
299	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
300	Q₈	—	4	2	no	—
301	Q₈	—	4	2	no	—
302	Q₈	—	4	2	no	—
303	Q₈	—	4	2	no	—
304	D₄	—	106	4	no	—
305	D₄	—	106	4	no	—
306	D₄	—	424	8	no	—
307	D₄	—	212	2	no	—
308	D₄	—	212	2	no	—
309	C₂×C₄	—	2	4	no	—
310	C₂×C₄	—	2	2	no	—
311	C₂×C₄	—	2	4	no	—
312	C₂×C₄	—	2	4	no	—
313	C₂×C₄	—	2	2	no	—
314	C₂×C₄	—	4	2	no	—
315	C₂×C₄	—	4	2	no	—
316	C₂×C₄	—	4	2	no	—
317	C₂×C₄	—	4	4	no	—
318	C₂×C₄	—	4	2	no	—
319	C₂×C₄	—	424	8	no	—
320	C₂×C₄	—	212	2	no	—
321	C₂×C₄	—	212	4	no	—
322	C₂×C₄	#13133213	1	4	yes	—
323	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	#41×D₅₃	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	#13133263	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	#13133264	1	1	yes	characteristic
327	C₈	—	106	4	no	—
328	C₈	—	106	4	no	—
329	C₂²	—	424	2	no	—
330	C₂²	—	424	2	no	—
331	C₂²	—	424	4	no	—
332	C₂²	—	212	8	no	—
333	C₂²	—	212	4	no	—
334	C₂²	#16811130	1	1	yes	characteristic
335	C₂²	C₂×#13133213	1	1	yes	characteristic
336	C₂²	#16811201	1	1	yes	characteristic
337	C₂²	#16811431	1	4	yes	—
338	C₄	—	2	4	no	—
339	C₄	—	4	2	no	—
340	C₄	—	4	2	no	—
341	C₄	—	8	2	no	—
342	C₄	—	8	2	no	—
343	C₄	—	424	2	no	—
344	C₄	#16811266	1	2	yes	—
345	C₄	#16811281	1	2	yes	—
346	C₂	—	424	4	no	—
347	C₂	#20279655	1	1	yes	characteristic
348	C₂	#20284962	1	2	yes	—
349	C₂	#20285193	1	2	yes	—
350	C₂	#20286156	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#2642	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
prime radical	C₂×#13133214	C₂²
hypercenter	#2642	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#28388
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ #376 ◁ #2642

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#16810920	C₂	semidirect
2. C₂×#16810825	C₂	semidirect
4. #20276263	C₂	semidirect
6. #20275599	C₂	semidirect
7. #20275572	C₂	semidirect
8. #20274572	C₂	semidirect
9. C₅₃×#2642	C₂	semidirect
54. C₄⋊#88322	D₄	semidirect
173. #2642	D₅₃	semidirect
210. C₅₃	#28388	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16810920	2
C₂×#16810825	2
#20277440	2
#20276263	2
#20275802	2
#20275599	2
#20275572	2
#20274572	2
C₅₃×#2642	2
#28388	53