Subgroups — #27475329

Order 13568.

1570 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 348 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16810999	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂×#16810818	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	#20283110	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#20275785	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#20275520	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₄×C₄⋊#88322	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₄×#127×C₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂²×#11719922	C₂²	1	8	yes	—
9	C₂×#13133214	—	2	2	no	—
10	C₂×#13133214	—	2	2	no	—
11	C₂×#13133214	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×#13133214	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#13133214	C₂²	1	2	yes	—
14	#16810999	—	2	8	no	—
15	#16810818	—	2	16	no	—
16	C₂×C₄⋊#88322	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#13133137	C₂²	1	8	yes	—
18	C₂×C₄×#88322	C₂²	1	2	yes	—
19	#16810378	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#127×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×C₄×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
22	C₂×C₄×D₄×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
23	C₅₃×#390	—	2	2	no	—
24	C₅₃×#390	C₂²	1	2	yes	—
25	C₅₃×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₄³×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂²×D₂₁₂	—	2	2	no	—
28	C₂²×D₂₁₂	—	2	4	no	—
29	C₂²×D₂₁₂	—	2	4	no	—
30	C₂²×D₂₁₂	—	2	2	no	—
31	C₂²×D₂₁₂	C₂³	1	4	yes	—
32	C₂×#11719922	—	2	16	no	—
33	C₂×#11719922	—	2	16	no	—
34	C₂×#11719922	—	4	8	no	—
35	C₂²×#88322	C₂³	1	4	yes	—
36	#13133214	—	2	8	no	—
37	#13133214	—	2	4	no	—
38	#13133214	—	2	4	no	—
39	#13133214	—	4	4	no	—
40	#13133214	—	4	8	no	—
41	#13133214	—	4	8	no	—
42	C₄⋊#88322	D₄	1	8	yes	complemented
43	#13133137	—	2	16	no	—
44	C₄×#88322	—	2	4	no	—
45	C₂²×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
46	C₂²×D₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂³×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
48	#127×C₅₃	—	2	2	no	—
49	#127×C₅₃	D₄	1	4	yes	complemented
50	C₄×D₄×C₅₃	—	2	8	no	—
51	C₄×D₄×C₅₃	—	4	8	no	—
52	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
53	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
54	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
55	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
56	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
57	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
58	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂⁴×C₅₃	—	2	2	no	—
62	C₂³×D₅₃	—	2	4	no	—
63	C₂×D₄×C₅₃	—	2	8	no	—
64	C₂×D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
65	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
66	C₂×D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
67	C₂×D₄×C₅₃	—	4	4	no	—
68	C₂×D₄×C₅₃	—	4	4	no	—
69	C₂×D₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
70	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
71	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
72	C₂²×C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
73	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
75	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
76	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
77	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
78	C₂×D₂₁₂	—	2	8	no	—
79	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
80	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
81	C₂×D₂₁₂	—	2	8	no	—
82	C₂×D₂₁₂	—	4	8	no	—
83	C₂×D₂₁₂	—	4	8	no	—
84	C₂×D₂₁₂	—	4	8	no	—
85	C₂×D₂₁₂	—	4	8	no	—
86	C₂×D₂₁₂	—	4	4	no	—
87	C₂×D₂₁₂	—	4	4	no	—
88	C₂×D₂₁₂	—	4	8	no	—
89	C₂×D₂₁₂	—	4	8	no	—
90	C₂×D₂₁₂	—	4	8	no	—
91	C₂×D₂₁₂	—	4	8	no	—
92	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
93	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
94	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
95	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
96	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
97	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
98	C₄²×C₅₃	D₈	1	8	yes	complemented
99	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
100	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
101	C₄²×C₅₃	#41	1	2	yes	—
102	#11719922	—	4	32	no	—
103	C₂×#88322	—	2	4	no	—
104	C₂×#88322	—	2	4	no	—
105	C₂×#88322	C₂×D₄	1	8	yes	—
106	C₂³×C₅₃	—	2	4	no	—
107	C₂³×C₅₃	—	4	2	no	—
108	C₂³×C₅₃	—	4	2	no	—
109	C₂³×C₅₃	—	4	4	no	—
110	C₂³×C₅₃	—	4	4	no	—
111	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
112	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
113	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
114	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
115	C₂²×D₅₃	—	4	8	no	—
116	C₂²×D₅₃	—	4	8	no	—
117	D₄×C₅₃	—	2	8	no	—
118	D₄×C₅₃	—	4	4	no	—
119	D₄×C₅₃	—	4	16	no	—
120	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
121	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
122	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
123	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
124	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
125	C₂×C₄×C₅₃	—	8	8	no	—
126	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	4	yes	—
127	C₂×C₄×C₅₃	#127	1	2	yes	—
128	C₂×C₄×C₅₃	#127	1	2	yes	—
129	C₂×C₄×C₅₃	C₂×D₈	1	4	yes	—
130	C₂×C₄×C₅₃	C₂×D₈	1	4	yes	—
131	C₂×C₄×C₅₃	C₂×D₈	1	4	yes	—
132	C₂×C₄×C₅₃	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
133	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
134	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
135	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
136	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
137	D₂₁₂	—	4	8	no	—
138	D₂₁₂	—	4	8	no	—
139	D₂₁₂	—	8	8	no	—
140	D₂₁₂	—	8	16	no	—
141	D₂₁₂	—	8	16	no	—
142	D₂₁₂	—	8	8	no	—
143	#88322	—	2	8	no	—
144	#28437	—	53	1	no	maximal, Sylow
145	C₂²×C₅₃	—	4	8	no	—
146	C₂²×C₅₃	—	4	4	no	—
147	C₂²×C₅₃	—	8	2	no	—
148	C₂²×C₅₃	—	8	2	no	—
149	C₂²×C₅₃	—	8	4	no	—
150	C₂²×C₅₃	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
151	C₂²×C₅₃	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
152	C₂²×C₅₃	#535	1	1	yes	characteristic
153	C₂²×C₅₃	C₂²×D₈	1	2	yes	—
154	C₂²×C₅₃	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
155	C₂×D₅₃	—	8	4	no	—
156	C₂×D₅₃	—	8	4	no	—
157	C₂×D₅₃	—	8	8	no	—
158	C₂×D₅₃	—	8	8	no	—
159	C₂×D₅₃	—	8	4	no	—
160	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
161	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
162	C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
163	C₄×C₅₃	#459	1	8	yes	complemented
164	C₄×C₅₃	#493	1	4	yes	complemented
165	C₄×C₅₃	D₄²	1	2	yes	—
166	C₄×C₅₃	#550	1	2	yes	—
167	C₂×#493	—	53	2	no	—
168	C₂×#459	—	53	4	no	—
169	#2867	—	53	1	no	—
170	C₄×#127	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
171	#2011	—	53	4	no	—
172	#1957	—	53	2	no	—
173	C₄×C₄⋊C₈	—	53	1	no	—
174	C₂×C₅₃	—	8	4	no	—
175	C₂×C₅₃	#2541	1	1	yes	characteristic
176	C₂×C₅₃	C₂×#459	1	2	yes	—
177	C₂×C₅₃	C₂×#493	1	1	yes	characteristic
178	C₂×C₅₃	#3151	1	1	yes	characteristic
179	C₂×C₅₃	#3205	1	2	yes	—
180	D₅₃	—	16	4	no	—
181	C₂²×D₈	—	53	8	no	—
182	C₂×#127	—	53	2	no	—
183	C₂×#127	—	53	2	no	—
184	C₂×#127	—	53	2	no	—
185	C₂×#127	—	106	2	no	—
186	C₂×#127	—	106	2	no	—
187	C₂×#127	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
188	C₂×C₄×D₄	—	2	2	no	—
189	C₂×C₄×D₄	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
190	#493	—	106	8	no	—
191	#459	—	106	16	no	—
192	C₂×C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
193	C₂×#102	—	53	8	no	—
194	C₂×C₄×C₈	—	53	2	no	—
195	#390	—	2	2	no	—
196	#390	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
197	#384	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
198	C₄³	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
199	#336	—	53	2	no	—
200	C₅₃	#28437	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
201	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
202	C₂²×D₄	—	53	4	no	—
203	C₂²×D₄	—	106	2	no	—
204	C₂²×D₄	—	106	4	no	—
205	C₂²×D₄	—	106	4	no	—
206	C₂²×D₄	—	106	2	no	—
207	C₂²×D₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
208	C₂³×C₄	—	2	2	no	—
209	C₂×D₈	—	106	16	no	—
210	C₂×D₈	—	106	16	no	—
211	C₂×D₈	—	212	8	no	—
212	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
213	#127	—	2	2	no	—
214	#127	—	106	4	no	—
215	#127	—	106	4	no	—
216	#127	—	106	8	no	—
217	#127	—	212	4	no	—
218	#127	—	212	8	no	—
219	#127	—	212	8	no	—
220	#127	D₂₁₂	1	4	yes	complemented
221	C₄×D₄	—	2	8	no	—
222	C₄×D₄	—	4	8	no	—
223	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
224	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
225	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
226	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
227	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
228	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
229	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
230	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
231	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
232	C₄⋊C₈	—	53	8	no	—
233	#102	—	106	16	no	—
234	C₄×C₈	—	106	4	no	—
235	C₂⁴	—	2	2	no	—
236	C₂⁴	—	106	4	no	—
237	C₂×D₄	—	2	8	no	—
238	C₂×D₄	—	2	4	no	—
239	C₂×D₄	—	2	2	no	—
240	C₂×D₄	—	2	4	no	—
241	C₂×D₄	—	4	4	no	—
242	C₂×D₄	—	4	4	no	—
243	C₂×D₄	—	106	8	no	—
244	C₂×D₄	—	106	4	no	—
245	C₂×D₄	—	106	4	no	—
246	C₂×D₄	—	106	8	no	—
247	C₂×D₄	—	212	8	no	—
248	C₂×D₄	—	212	8	no	—
249	C₂×D₄	—	212	8	no	—
250	C₂×D₄	—	212	8	no	—
251	C₂×D₄	—	212	4	no	—
252	C₂×D₄	—	212	4	no	—
253	C₂×D₄	—	212	8	no	—
254	C₂×D₄	—	212	8	no	—
255	C₂×D₄	—	212	8	no	—
256	C₂×D₄	—	212	8	no	—
257	C₂×D₄	C₂×D₂₁₂	1	4	yes	—
258	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
259	C₂²×C₄	—	4	4	no	—
260	C₂²×C₄	—	4	8	no	—
261	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
262	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
263	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
264	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
265	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
266	D₈	—	212	32	no	—
267	C₂×C₈	—	53	8	no	—
268	C₂×C₈	—	106	4	no	—
269	C₂×C₈	—	106	4	no	—
270	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
271	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
272	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
273	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
274	C₄²	—	2	4	no	—
275	C₄²	—	2	2	no	—
276	C₄²	#11719922	1	8	yes	complemented
277	C₄²	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
278	C₄²	#11719945	1	2	yes	—
279	C₄²	D₄×D₅₃	1	4	yes	—
280	C₂³	—	2	4	no	—
281	C₂³	—	4	4	no	—
282	C₂³	—	4	4	no	—
283	C₂³	—	4	2	no	—
284	C₂³	—	4	2	no	—
285	C₂³	—	212	4	no	—
286	C₂³	—	212	8	no	—
287	C₂³	—	212	8	no	—
288	C₂³	—	212	4	no	—
289	C₂³	—	212	4	no	—
290	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
291	D₄	—	2	8	no	—
292	D₄	—	4	4	no	—
293	D₄	—	4	16	no	—
294	D₄	—	424	16	no	—
295	D₄	—	424	8	no	—
296	D₄	—	424	16	no	—
297	D₄	—	424	8	no	—
298	D₄	—	212	8	no	—
299	D₄	—	212	8	no	—
300	C₂×C₄	—	2	2	no	—
301	C₂×C₄	—	2	2	no	—
302	C₂×C₄	—	2	2	no	—
303	C₂×C₄	—	4	4	no	—
304	C₂×C₄	—	4	2	no	—
305	C₂×C₄	—	8	8	no	—
306	C₂×C₄	#13133191	1	4	yes	—
307	C₂×C₄	#13133213	1	2	yes	—
308	C₂×C₄	#13133213	1	2	yes	—
309	C₂×C₄	C₂×#11719922	1	4	yes	—
310	C₂×C₄	C₂×#11719922	1	4	yes	—
311	C₂×C₄	C₂×#11719922	1	4	yes	—
312	C₂×C₄	#13133242	1	4	yes	—
313	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	2	yes	—
314	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
315	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	1	yes	characteristic
316	C₂×C₄	#13133263	1	2	yes	—
317	C₈	—	106	8	no	—
318	C₂²	—	4	4	no	—
319	C₂²	—	4	8	no	—
320	C₂²	—	8	4	no	—
321	C₂²	—	8	2	no	—
322	C₂²	—	8	2	no	—
323	C₂²	—	424	4	no	—
324	C₂²	—	424	8	no	—
325	C₂²	—	424	4	no	—
326	C₂²	—	424	8	no	—
327	C₂²	—	424	4	no	—
328	C₂²	C₂×#13133191	1	1	yes	characteristic
329	C₂²	C₂×#13133213	1	1	yes	characteristic
330	C₂²	#16811187	1	1	yes	characteristic
331	C₂²	C₂²×#11719922	1	2	yes	—
332	C₂²	C₂×#13133242	1	2	yes	—
333	C₄	—	2	4	no	—
334	C₄	—	2	2	no	—
335	C₄	—	8	2	no	—
336	C₄	#16810818	1	8	yes	complemented
337	C₄	#16810999	1	4	yes	complemented
338	C₄	D₄×D₂₁₂	1	2	yes	—
339	C₄	#16811294	1	2	yes	—
340	C₂	—	8	4	no	—
341	C₂	—	848	4	no	—
342	C₂	#20279661	1	1	yes	characteristic
343	C₂	C₂×#16810818	1	2	yes	—
344	C₂	C₂×#16810999	1	1	yes	characteristic
345	C₂	#20285168	1	1	yes	characteristic
346	C₂	#20285630	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₄×#127×C₅₃	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
hypercenter	C₄×#127	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#28437
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄³ ◁ C₄×#127

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#16810999	C₂	semidirect
2. C₂×#16810818	C₂	semidirect
3. #20283110	C₂	semidirect
4. #20275785	C₂	semidirect
5. #20275520	C₂	semidirect
6. C₄×C₄⋊#88322	C₂	semidirect
7. C₄×#127×C₅₃	C₂	semidirect
42. C₄⋊#88322	D₄	semidirect
49. #127×C₅₃	D₄	semidirect
98. C₄²×C₅₃	D₈	semidirect
163. C₄×C₅₃	#459	semidirect
164. C₄×C₅₃	#493	semidirect
170. C₄×#127	D₅₃	semidirect
200. C₅₃	#28437	semidirect
220. #127	D₂₁₂	semidirect
276. C₄²	#11719922	semidirect
336. C₄	#16810818	semidirect
337. C₄	#16810999	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16810999	2
C₂×#16810818	2
#20283110	2
#20275785	2
#20275520	2
C₄×C₄⋊#88322	2
C₄×#127×C₅₃	2
#28437	53