Subgroups — #27475337

Order 13568.

1258 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 310 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16810997	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂×#16810825	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	C₄×#13133214	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#20275798	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#20275518	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₄×C₄⋊#88322	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₅₃×#2868	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂²×#11719924	C₂²	1	8	yes	—
9	C₂×#13133214	C₂²	1	1	yes	characteristic
10	C₂×C₄×D₂₁₂	—	2	2	no	—
11	C₂×C₄×D₂₁₂	C₂²	1	2	yes	—
12	#16810997	—	2	8	no	—
13	#16810825	—	2	16	no	—
14	C₂×C₄⋊#88322	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#13133141	C₂²	1	8	yes	—
16	C₂×C₄×#88322	C₂²	1	2	yes	—
17	#16810525	—	2	2	no	—
18	#16810525	C₂²	1	2	yes	—
19	#16810493	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#16810378	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×C₄⋊Q₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×C₄⋊Q₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×C₄⋊Q₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
24	C₅₃×#384	—	2	2	no	—
25	C₅₃×#384	—	2	2	no	—
26	C₄³×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂²×D₂₁₂	—	2	2	no	—
28	C₂²×D₂₁₂	C₂³	1	2	yes	—
29	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
30	C₂×#11719924	—	2	16	no	—
31	C₂×#11719924	—	2	16	no	—
32	C₂×#11719924	—	4	8	no	—
33	C₂²×#88322	C₂³	1	4	yes	—
34	#13133214	—	2	2	no	—
35	#13133214	D₄	1	4	yes	—
36	C₄×D₂₁₂	—	2	8	no	—
37	C₄×D₂₁₂	—	4	8	no	—
38	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
39	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂×#11719921	—	2	2	no	—
41	C₂×#11719921	—	2	4	no	—
42	C₄⋊#88322	D₄	1	8	yes	complemented
43	#13133141	—	2	16	no	—
44	C₄×#88322	—	2	4	no	—
45	C₂²×Q₈×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
46	C₄⋊Q₈×C₅₃	—	2	8	no	—
47	C₄⋊Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
48	C₄⋊Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
49	C₄⋊Q₈×C₅₃	—	4	4	no	—
50	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
51	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
52	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
53	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
54	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
55	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
56	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂³×D₅₃	—	2	2	no	—
60	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	8	no	—
61	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
62	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
63	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	8	no	—
64	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
65	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
66	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
67	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
68	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
70	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
71	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
72	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
73	C₂×D₂₁₂	—	2	8	no	—
74	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
75	C₂×D₂₁₂	—	4	4	no	—
76	C₂×D₂₁₂	—	4	4	no	—
77	C₂×D₂₁₂	C₂×D₄	1	4	yes	—
78	C₂×C₄×D₅₃	—	4	4	no	—
79	C₂×C₄×D₅₃	—	4	8	no	—
80	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
81	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
82	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
83	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
84	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
85	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
86	C₄²×C₅₃	SD₁₆	1	8	yes	complemented
87	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
88	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
89	C₄²×C₅₃	#41	1	2	yes	—
90	#11719924	—	4	32	no	—
91	#11719921	—	4	4	no	—
92	#11719921	—	4	8	no	—
93	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
94	C₄⋊Dic₅₃	—	4	4	no	—
95	C₂×#88322	—	2	4	no	—
96	C₂×#88322	—	2	4	no	—
97	C₂×#88322	C₂×D₄	1	8	yes	—
98	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
99	C₂²×D₅₃	—	2	4	no	—
100	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
101	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
102	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
103	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
104	Q₈×C₅₃	—	4	8	no	—
105	Q₈×C₅₃	—	4	8	no	—
106	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
107	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
108	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
109	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
110	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
111	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
112	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	4	yes	—
113	C₂×C₄×C₅₃	#127	1	2	yes	—
114	C₂×C₄×C₅₃	#127	1	2	yes	—
115	C₂×C₄×C₅₃	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
116	C₂×C₄×C₅₃	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
117	C₂×C₄×C₅₃	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
118	C₂×C₄×C₅₃	#137	1	4	yes	—
119	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
120	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
121	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
122	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
123	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
124	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
125	D₂₁₂	—	2	8	no	—
126	D₂₁₂	—	4	4	no	—
127	D₂₁₂	—	4	16	no	—
128	C₄×D₅₃	—	8	8	no	—
129	#88322	—	2	8	no	—
130	#28438	—	53	1	no	maximal, Sylow
131	C₂²×C₅₃	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
132	C₂²×C₅₃	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
133	C₂²×C₅₃	#535	1	1	yes	characteristic
134	C₂²×C₅₃	C₂²×SD₁₆	1	2	yes	—
135	C₂²×C₅₃	C₂×#137	1	2	yes	—
136	C₂×D₅₃	—	4	8	no	—
137	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
138	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
139	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
140	C₂×D₅₃	—	8	4	no	—
141	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
142	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
143	C₄×C₅₃	—	8	4	no	—
144	C₄×C₅₃	#461	1	8	yes	complemented
145	C₄×C₅₃	#492	1	4	yes	complemented
146	C₄×C₅₃	D₄²	1	2	yes	—
147	C₄×C₅₃	#550	1	2	yes	—
148	Dic₅₃	—	8	2	no	—
149	C₂×#492	—	53	2	no	—
150	C₂×#461	—	53	4	no	—
151	#2868	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
152	C₄×#127	—	53	1	no	—
153	#2013	—	53	4	no	—
154	#1956	—	53	2	no	—
155	C₄×C₄⋊C₈	—	53	1	no	—
156	C₂×C₅₃	#2541	1	1	yes	characteristic
157	C₂×C₅₃	C₂×#461	1	2	yes	—
158	C₂×C₅₃	C₂×#492	1	1	yes	characteristic
159	C₂×C₅₃	#3152	1	1	yes	characteristic
160	C₂×C₅₃	#3206	1	2	yes	—
161	D₅₃	—	8	4	no	—
162	C₂²×SD₁₆	—	53	8	no	—
163	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
164	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
165	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
166	C₂×#127	—	53	1	no	—
167	C₂×C₄×D₄	—	53	2	no	—
168	C₂×C₄×D₄	—	106	2	no	—
169	#492	—	106	8	no	—
170	#461	—	106	16	no	—
171	C₂×C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
172	C₂×#103	—	53	8	no	—
173	C₂×C₄×C₈	—	53	2	no	—
174	#390	—	53	2	no	—
175	#390	—	106	2	no	—
176	#384	—	2	2	no	—
177	#384	—	2	2	no	—
178	#384	—	53	1	no	—
179	C₄³	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
180	#336	—	53	2	no	—
181	C₅₃	#28438	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
182	C₂²×Q₈	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
183	C₂²×D₄	—	53	2	no	—
184	C₂²×D₄	—	106	2	no	—
185	C₂³×C₄	—	106	2	no	—
186	C₂×SD₁₆	—	106	16	no	—
187	C₂×SD₁₆	—	106	16	no	—
188	C₂×SD₁₆	—	212	8	no	—
189	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
190	C₄⋊Q₈	—	2	8	no	—
191	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
192	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
193	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
194	#127	—	53	4	no	—
195	#127	—	106	2	no	—
196	C₄×D₄	—	106	8	no	—
197	C₄×D₄	—	212	8	no	—
198	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
199	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
200	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
201	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
202	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
203	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
204	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
205	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
206	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
207	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
208	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
209	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
210	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
211	C₄⋊C₈	—	53	8	no	—
212	#103	—	106	16	no	—
213	C₄×C₈	—	106	4	no	—
214	C₂⁴	—	106	2	no	—
215	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
216	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
217	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
218	C₂×Q₈	—	2	8	no	—
219	C₂×D₄	—	53	4	no	—
220	C₂×D₄	—	106	8	no	—
221	C₂×D₄	—	106	4	no	—
222	C₂×D₄	—	106	2	no	—
223	C₂×D₄	—	106	4	no	—
224	C₂×D₄	—	212	4	no	—
225	C₂×D₄	—	212	4	no	—
226	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
227	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
228	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
229	C₂²×C₄	—	212	8	no	—
230	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
231	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
232	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
233	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
234	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
235	SD₁₆	—	212	32	no	—
236	C₂×C₈	—	53	8	no	—
237	C₂×C₈	—	106	4	no	—
238	C₂×C₈	—	106	4	no	—
239	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
240	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
241	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
242	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
243	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
244	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
245	C₂²⋊C₄	—	212	4	no	—
246	C₂²⋊C₄	—	212	8	no	—
247	C₄²	—	2	4	no	—
248	C₄²	—	2	2	no	—
249	C₄²	#11719924	1	8	yes	complemented
250	C₄²	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
251	C₄²	D₄×D₅₃	1	4	yes	—
252	C₄²	#11719947	1	2	yes	—
253	C₂³	—	106	4	no	—
254	C₂³	—	212	4	no	—
255	C₂³	—	212	4	no	—
256	C₂³	—	212	2	no	—
257	C₂³	—	212	2	no	—
258	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
259	Q₈	—	4	8	no	—
260	Q₈	—	4	8	no	—
261	D₄	—	106	8	no	—
262	D₄	—	212	4	no	—
263	D₄	—	212	16	no	—
264	C₂×C₄	—	2	2	no	—
265	C₂×C₄	—	2	2	no	—
266	C₂×C₄	—	2	2	no	—
267	C₂×C₄	—	4	4	no	—
268	C₂×C₄	—	4	4	no	—
269	C₂×C₄	—	4	4	no	—
270	C₂×C₄	—	424	8	no	—
271	C₂×C₄	—	212	4	no	—
272	C₂×C₄	—	212	2	no	—
273	C₂×C₄	#13133188	1	4	yes	—
274	C₂×C₄	#13133213	1	2	yes	—
275	C₂×C₄	#13133213	1	2	yes	—
276	C₂×C₄	C₂×#11719924	1	4	yes	—
277	C₂×C₄	C₂×#11719924	1	4	yes	—
278	C₂×C₄	C₂×#11719924	1	4	yes	—
279	C₂×C₄	#13133248	1	4	yes	—
280	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	2	yes	—
281	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
282	C₂×C₄	C₂×#11719947	1	1	yes	characteristic
283	C₂×C₄	#13133262	1	2	yes	—
284	C₈	—	106	8	no	—
285	C₂²	—	424	2	no	—
286	C₂²	—	424	4	no	—
287	C₂²	—	424	2	no	—
288	C₂²	—	212	4	no	—
289	C₂²	—	212	8	no	—
290	C₂²	C₂×#13133188	1	1	yes	characteristic
291	C₂²	C₂×#13133213	1	1	yes	characteristic
292	C₂²	#16811190	1	1	yes	characteristic
293	C₂²	C₂²×#11719924	1	2	yes	—
294	C₂²	C₂×#13133248	1	2	yes	—
295	C₄	—	2	4	no	—
296	C₄	—	2	2	no	—
297	C₄	—	8	4	no	—
298	C₄	—	424	2	no	—
299	C₄	#16810825	1	8	yes	complemented
300	C₄	#16810997	1	4	yes	complemented
301	C₄	#16811258	1	2	yes	—
302	C₄	#16811293	1	2	yes	—
303	C₂	—	424	4	no	—
304	C₂	#20279662	1	1	yes	characteristic
305	C₂	C₂×#16810825	1	2	yes	—
306	C₂	C₂×#16810997	1	1	yes	characteristic
307	C₂	#20285172	1	1	yes	characteristic
308	C₂	#20285640	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#2868	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
prime radical	C₂×#13133214	C₂²
hypercenter	#2868	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#28438
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄³ ◁ #2868

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#16810825	C₂	semidirect
4. #20275798	C₂	semidirect
5. #20275518	C₂	semidirect
6. C₄×C₄⋊#88322	C₂	semidirect
7. C₅₃×#2868	C₂	semidirect
42. C₄⋊#88322	D₄	semidirect
86. C₄²×C₅₃	SD₁₆	semidirect
144. C₄×C₅₃	#461	semidirect
145. C₄×C₅₃	#492	semidirect
151. #2868	D₅₃	semidirect
181. C₅₃	#28438	semidirect
249. C₄²	#11719924	semidirect
299. C₄	#16810825	semidirect
300. C₄	#16810997	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16810997	2
C₂×#16810825	2
C₄×#13133214	2
#20275798	2
#20275518	2
C₄×C₄⋊#88322	2
C₅₃×#2868	2
#28438	53