Subgroups — #27475361

Order 13568.

1402 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 320 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16810997	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂×#16810823	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	#20283110	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#20275802	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#20275520	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₄×C₄⋊#88322	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₄×C₄⋊Q₈×C₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂²×#11719924	C₂²	1	8	yes	—
9	C₂×#13133214	—	2	2	no	—
10	C₂×#13133214	—	2	2	no	—
11	C₂×#13133214	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×#13133214	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#13133214	C₂²	1	2	yes	—
14	#16810997	—	2	8	no	—
15	#16810823	—	2	16	no	—
16	C₂×C₄⋊#88322	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#13133137	C₂²	1	8	yes	—
18	C₂×C₄×#88322	C₂²	1	2	yes	—
19	#16810378	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₄⋊Q₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×C₄×Q₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
22	C₅₃×#391	C₂²	1	2	yes	—
23	C₅₃×#389	—	2	2	no	—
24	C₅₃×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₄×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
26	C₄³×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂²×D₂₁₂	—	2	2	no	—
28	C₂²×D₂₁₂	—	2	4	no	—
29	C₂²×D₂₁₂	—	2	4	no	—
30	C₂²×D₂₁₂	—	2	2	no	—
31	C₂²×D₂₁₂	C₂³	1	4	yes	—
32	C₂×#11719924	—	2	16	no	—
33	C₂×#11719924	—	2	16	no	—
34	C₂×#11719924	—	4	8	no	—
35	C₂²×#88322	C₂³	1	4	yes	—
36	#13133214	—	2	8	no	—
37	#13133214	—	2	4	no	—
38	#13133214	—	2	4	no	—
39	#13133214	—	4	4	no	—
40	#13133214	—	4	8	no	—
41	#13133214	—	4	8	no	—
42	C₄⋊#88322	D₄	1	8	yes	complemented
43	#13133137	—	2	16	no	—
44	C₄×#88322	—	2	4	no	—
45	C₂²×Q₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
46	C₄⋊Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
47	C₄⋊Q₈×C₅₃	D₄	1	4	yes	complemented
48	C₄×Q₈×C₅₃	—	2	8	no	—
49	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
50	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
51	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
52	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
54	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
55	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
56	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	#95×C₅₃	—	2	4	no	—
60	C₂³×D₅₃	—	2	4	no	—
61	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
62	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
63	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
64	C₂×Q₈×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
65	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
66	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
67	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
68	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
69	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
70	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
71	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
72	C₂×D₂₁₂	—	2	8	no	—
73	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
74	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
75	C₂×D₂₁₂	—	2	8	no	—
76	C₂×D₂₁₂	—	4	8	no	—
77	C₂×D₂₁₂	—	4	8	no	—
78	C₂×D₂₁₂	—	4	8	no	—
79	C₂×D₂₁₂	—	4	8	no	—
80	C₂×D₂₁₂	—	4	4	no	—
81	C₂×D₂₁₂	—	4	4	no	—
82	C₂×D₂₁₂	—	4	8	no	—
83	C₂×D₂₁₂	—	4	8	no	—
84	C₂×D₂₁₂	—	4	8	no	—
85	C₂×D₂₁₂	—	4	8	no	—
86	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
87	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
88	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
89	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
90	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
91	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
92	C₄²×C₅₃	—	4	4	no	—
93	C₄²×C₅₃	SD₁₆	1	8	yes	complemented
94	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
95	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
96	C₄²×C₅₃	#41	1	2	yes	—
97	#11719924	—	4	32	no	—
98	C₂×#88322	—	2	4	no	—
99	C₂×#88322	—	2	4	no	—
100	C₂×#88322	C₂×D₄	1	8	yes	—
101	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
102	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
103	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
104	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
105	C₂²×D₅₃	—	4	8	no	—
106	C₂²×D₅₃	—	4	8	no	—
107	Q₈×C₅₃	—	2	8	no	—
108	Q₈×C₅₃	—	4	4	no	—
109	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
110	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
111	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
112	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
113	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
114	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
115	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
116	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
117	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	4	yes	—
118	C₂×C₄×C₅₃	#127	1	2	yes	—
119	C₂×C₄×C₅₃	#127	1	2	yes	—
120	C₂×C₄×C₅₃	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
121	C₂×C₄×C₅₃	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
122	C₂×C₄×C₅₃	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
123	C₂×C₄×C₅₃	AGL(1,ℤ/8)	1	4	yes	—
124	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
125	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
126	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
127	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
128	D₂₁₂	—	4	8	no	—
129	D₂₁₂	—	4	8	no	—
130	D₂₁₂	—	8	8	no	—
131	D₂₁₂	—	8	16	no	—
132	D₂₁₂	—	8	16	no	—
133	D₂₁₂	—	8	8	no	—
134	#88322	—	2	8	no	—
135	#28441	—	53	1	no	maximal, Sylow
136	C₂²×C₅₃	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
137	C₂²×C₅₃	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
138	C₂²×C₅₃	#535	1	1	yes	characteristic
139	C₂²×C₅₃	C₂²×SD₁₆	1	2	yes	—
140	C₂²×C₅₃	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
141	C₂×D₅₃	—	8	4	no	—
142	C₂×D₅₃	—	8	4	no	—
143	C₂×D₅₃	—	8	8	no	—
144	C₂×D₅₃	—	8	8	no	—
145	C₂×D₅₃	—	8	4	no	—
146	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
147	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
148	C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
149	C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
150	C₄×C₅₃	#460	1	8	yes	complemented
151	C₄×C₅₃	#492	1	4	yes	complemented
152	C₄×C₅₃	D₄²	1	2	yes	—
153	C₄×C₅₃	#550	1	2	yes	—
154	C₂×#492	—	53	2	no	—
155	C₂×#460	—	53	4	no	—
156	#2867	—	53	1	no	—
157	C₄×C₄⋊Q₈	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
158	#2014	—	53	4	no	—
159	#1957	—	53	2	no	—
160	C₄×C₄⋊C₈	—	53	1	no	—
161	C₂×C₅₃	#2541	1	1	yes	characteristic
162	C₂×C₅₃	C₂×#460	1	2	yes	—
163	C₂×C₅₃	C₂×#492	1	1	yes	characteristic
164	C₂×C₅₃	#3151	1	1	yes	characteristic
165	C₂×C₅₃	#3208	1	2	yes	—
166	D₅₃	—	16	4	no	—
167	C₂²×SD₁₆	—	53	8	no	—
168	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
169	C₂×#127	—	53	2	no	—
170	C₂×#127	—	53	2	no	—
171	C₂×#127	—	53	2	no	—
172	C₂×#127	—	106	2	no	—
173	C₂×#127	—	106	2	no	—
174	C₂×C₄×Q₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
175	#492	—	106	8	no	—
176	#460	—	106	16	no	—
177	C₂×C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
178	C₂×#102	—	53	8	no	—
179	C₂×C₄×C₈	—	53	2	no	—
180	#391	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
181	#389	—	2	2	no	—
182	#384	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
183	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
184	C₄³	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
185	#336	—	53	2	no	—
186	C₅₃	#28441	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
187	C₂²×Q₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
188	C₂²×D₄	—	53	4	no	—
189	C₂²×D₄	—	106	2	no	—
190	C₂²×D₄	—	106	4	no	—
191	C₂²×D₄	—	106	4	no	—
192	C₂²×D₄	—	106	2	no	—
193	C₂×SD₁₆	—	106	16	no	—
194	C₂×SD₁₆	—	106	16	no	—
195	C₂×SD₁₆	—	212	8	no	—
196	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
197	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
198	C₄⋊Q₈	D₂₁₂	1	4	yes	complemented
199	#127	—	106	4	no	—
200	#127	—	106	4	no	—
201	#127	—	106	8	no	—
202	#127	—	212	4	no	—
203	#127	—	212	8	no	—
204	#127	—	212	8	no	—
205	C₄×Q₈	—	2	8	no	—
206	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
207	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
208	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
209	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
210	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
211	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
212	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
213	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
214	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
215	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
216	C₄⋊C₈	—	53	8	no	—
217	#102	—	106	16	no	—
218	C₄×C₈	—	106	4	no	—
219	#95	—	2	4	no	—
220	C₂⁴	—	106	4	no	—
221	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
222	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
223	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
224	C₂×Q₈	C₂×D₂₁₂	1	4	yes	—
225	C₂×D₄	—	106	8	no	—
226	C₂×D₄	—	106	4	no	—
227	C₂×D₄	—	106	4	no	—
228	C₂×D₄	—	106	8	no	—
229	C₂×D₄	—	212	8	no	—
230	C₂×D₄	—	212	8	no	—
231	C₂×D₄	—	212	8	no	—
232	C₂×D₄	—	212	8	no	—
233	C₂×D₄	—	212	4	no	—
234	C₂×D₄	—	212	4	no	—
235	C₂×D₄	—	212	8	no	—
236	C₂×D₄	—	212	8	no	—
237	C₂×D₄	—	212	8	no	—
238	C₂×D₄	—	212	8	no	—
239	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
240	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
241	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
242	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
243	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
244	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
245	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
246	SD₁₆	—	212	32	no	—
247	C₂×C₈	—	53	8	no	—
248	C₂×C₈	—	106	4	no	—
249	C₂×C₈	—	106	4	no	—
250	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
251	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
252	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
253	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
254	C₄²	—	2	4	no	—
255	C₄²	—	2	2	no	—
256	C₄²	—	4	4	no	—
257	C₄²	#11719924	1	8	yes	complemented
258	C₄²	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
259	C₄²	#11719945	1	2	yes	—
260	C₄²	D₄×D₅₃	1	4	yes	—
261	C₂³	—	212	4	no	—
262	C₂³	—	212	8	no	—
263	C₂³	—	212	8	no	—
264	C₂³	—	212	4	no	—
265	C₂³	—	212	4	no	—
266	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
267	Q₈	—	2	8	no	—
268	Q₈	—	4	4	no	—
269	D₄	—	424	16	no	—
270	D₄	—	424	8	no	—
271	D₄	—	424	16	no	—
272	D₄	—	424	8	no	—
273	D₄	—	212	8	no	—
274	D₄	—	212	8	no	—
275	C₂×C₄	—	2	2	no	—
276	C₂×C₄	—	2	2	no	—
277	C₂×C₄	—	2	2	no	—
278	C₂×C₄	—	2	4	no	—
279	C₂×C₄	—	4	2	no	—
280	C₂×C₄	—	4	2	no	—
281	C₂×C₄	—	4	4	no	—
282	C₂×C₄	—	4	2	no	—
283	C₂×C₄	#13133191	1	4	yes	—
284	C₂×C₄	#13133213	1	2	yes	—
285	C₂×C₄	#13133213	1	2	yes	—
286	C₂×C₄	C₂×#11719924	1	4	yes	—
287	C₂×C₄	C₂×#11719924	1	4	yes	—
288	C₂×C₄	C₂×#11719924	1	4	yes	—
289	C₂×C₄	#13133242	1	4	yes	—
290	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	2	yes	—
291	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
292	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	1	yes	characteristic
293	C₂×C₄	#13133263	1	2	yes	—
294	C₈	—	106	8	no	—
295	C₂²	—	424	4	no	—
296	C₂²	—	424	4	no	—
297	C₂²	—	424	8	no	—
298	C₂²	—	424	4	no	—
299	C₂²	—	424	8	no	—
300	C₂²	C₂×#13133191	1	1	yes	characteristic
301	C₂²	C₂×#13133213	1	1	yes	characteristic
302	C₂²	#16811187	1	1	yes	characteristic
303	C₂²	C₂²×#11719924	1	2	yes	—
304	C₂²	C₂×#13133242	1	2	yes	—
305	C₄	—	2	4	no	—
306	C₄	—	2	2	no	—
307	C₄	—	4	4	no	—
308	C₄	—	8	2	no	—
309	C₄	#16810823	1	8	yes	complemented
310	C₄	#16810997	1	4	yes	complemented
311	C₄	D₄×D₂₁₂	1	2	yes	—
312	C₄	#16811294	1	2	yes	—
313	C₂	—	848	4	no	—
314	C₂	#20279661	1	1	yes	characteristic
315	C₂	C₂×#16810823	1	2	yes	—
316	C₂	C₂×#16810997	1	1	yes	characteristic
317	C₂	#20285168	1	1	yes	characteristic
318	C₂	#20285653	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₄×C₄⋊Q₈×C₅₃	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
prime radical	#20283110	C₂
hypercenter	C₄×C₄⋊Q₈	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#28441
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄³ ◁ C₄×C₄⋊Q₈

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#16810997	C₂	semidirect
2. C₂×#16810823	C₂	semidirect
4. #20275802	C₂	semidirect
5. #20275520	C₂	semidirect
6. C₄×C₄⋊#88322	C₂	semidirect
7. C₄×C₄⋊Q₈×C₅₃	C₂	semidirect
42. C₄⋊#88322	D₄	semidirect
47. C₄⋊Q₈×C₅₃	D₄	semidirect
93. C₄²×C₅₃	SD₁₆	semidirect
150. C₄×C₅₃	#460	semidirect
151. C₄×C₅₃	#492	semidirect
157. C₄×C₄⋊Q₈	D₅₃	semidirect
186. C₅₃	#28441	semidirect
198. C₄⋊Q₈	D₂₁₂	semidirect
257. C₄²	#11719924	semidirect
309. C₄	#16810823	semidirect
310. C₄	#16810997	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16810997	2
C₂×#16810823	2
#20283110	2
#20275802	2
#20275520	2
C₄×C₄⋊#88322	2
C₄×C₄⋊Q₈×C₅₃	2
#28441	53