Subgroups — #27475892

Order 13568.

1178 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 382 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16810866	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
2	C₂×#16810702	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#20279655	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#20275722	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20275710	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#20275648	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₄×#13133151	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂×C₅₃×#495	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂²×#11719912	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂×#13133193	C₂²	1	4	yes	—
11	C₂×#13133188	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂×C₄×D₂₁₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	#16810866	—	2	16	no	—
14	#16810702	—	2	4	no	—
15	C₂×#13133151	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×C₄⋊#88322	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#13133141	C₂²	1	4	yes	—
18	C₂×#13133138	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×#13133129	C₂²	1	2	yes	—
20	#16810559	—	2	2	no	—
21	#16810532	—	2	2	no	—
22	#16810523	—	2	4	no	—
23	C₄×C₄⋊Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
24	#16810386	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂²×Q₁₆×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂²×SD₁₆×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂²×D₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×#124×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
29	C₅₃×#495	—	2	4	no	—
30	C₂×C₄×C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂²×D₂₁₂	D₄	1	1	yes	characteristic
32	C₂²×C₂²⋊D₅₃	—	2	4	no	—
33	C₂²×C₄×D₅₃	C₂³	1	2	yes	—
34	C₂×#11719912	—	2	8	no	—
35	C₂×#11719912	—	2	4	no	—
36	C₂²×#88322	C₂³	1	2	yes	—
37	#13133193	—	2	8	no	—
38	#13133193	—	4	4	no	—
39	#13133188	—	2	8	no	—
40	#13133188	—	4	4	no	—
41	C₄×D₂₁₂	—	2	2	no	—
42	C₄×D₂₁₂	—	2	2	no	—
43	C₂×C₄⋊Dic₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
44	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	4	yes	—
45	C₂×#11719919	—	2	4	no	—
46	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
47	C₂×#11719921	—	2	4	no	—
48	C₂×#11719921	D₄	1	2	yes	—
49	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
50	#13133151	D₄	1	8	yes	complemented
51	C₄⋊#88322	—	2	2	no	—
52	#13133141	—	2	8	no	—
53	#13133138	—	2	8	no	—
54	#13133129	—	2	4	no	—
55	#13133124	—	2	2	no	—
56	C₂²×Q₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂²×D₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂×Q₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
59	C₂×Q₁₆×C₅₃	—	4	2	no	—
60	C₂×SD₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
61	C₂×SD₁₆×C₅₃	—	2	8	no	—
62	C₂×D₈×C₅₃	—	2	2	no	—
63	C₂×D₈×C₅₃	—	4	2	no	—
64	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	#124×C₅₃	—	2	4	no	—
67	#124×C₅₃	—	2	4	no	—
68	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
69	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
70	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₄×C₈×C₅₃	D₄	1	4	yes	complemented
72	C₂⁴×C₅₃	—	2	2	no	—
73	C₂³×D₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
74	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
75	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
76	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
77	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
78	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
79	C₂×D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
80	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
81	C₂×D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
82	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
83	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
84	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
85	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
86	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	8	no	—
87	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	8	no	—
88	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	8	4	no	—
89	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
90	C₂²×Dic₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
91	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
92	C₂×D₂₁₂	—	4	2	no	—
93	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
94	C₂×C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
95	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
96	C₂×C₄×D₅₃	—	2	4	no	—
97	Q₁₆×C₅₃	—	4	4	no	—
98	SD₁₆×C₅₃	—	4	8	no	—
99	D₈×C₅₃	—	4	4	no	—
100	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
101	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
102	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
103	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
104	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
105	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
106	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
107	C₄²×C₅₃	#41	1	2	yes	—
108	C₂²⋊Dic₅₃	—	4	8	no	—
109	#11719921	—	2	4	no	—
110	#11719921	—	4	8	no	—
111	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
112	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
113	C₄⋊Dic₅₃	C₂×D₄	1	8	yes	—
114	#11719919	—	4	8	no	—
115	C₄×Dic₅₃	—	8	2	no	—
116	C₂×#88322	—	2	2	no	—
117	C₂×#88322	—	2	4	no	—
118	#11719912	—	4	8	no	—
119	C₂³×C₅₃	—	4	2	no	—
120	C₂³×C₅₃	—	4	4	no	—
121	C₂³×C₅₃	—	4	4	no	—
122	C₂³×C₅₃	—	4	2	no	—
123	C₂³×C₅₃	—	4	2	no	—
124	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
125	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
126	C₂²×D₅₃	—	2	4	no	—
127	C₂²×D₅₃	—	2	4	no	—
128	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
129	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
130	Q₈×C₅₃	—	4	2	no	—
131	Q₈×C₅₃	—	4	2	no	—
132	Q₈×C₅₃	—	4	4	no	—
133	D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
134	D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
135	D₄×C₅₃	—	4	4	no	—
136	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
137	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
138	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
139	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
140	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
141	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	2	yes	—
142	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	2	yes	—
143	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
144	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
145	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
146	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
147	C₂²⋊D₅₃	—	8	16	no	—
148	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
149	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
150	C₂×Dic₅₃	—	2	8	no	—
151	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
152	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
153	D₂₁₂	—	4	4	no	—
154	C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
155	C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
156	C₄×D₅₃	—	4	4	no	—
157	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
158	C₈×C₅₃	#127	1	4	yes	—
159	#88322	—	4	2	no	—
160	#28491	—	53	1	no	maximal, Sylow
161	C₂²×C₅₃	—	8	4	no	—
162	C₂²×C₅₃	—	8	4	no	—
163	C₂²×C₅₃	—	8	2	no	—
164	C₂²×C₅₃	—	8	2	no	—
165	C₂²×C₅₃	—	8	2	no	—
166	C₂²×C₅₃	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
167	C₂²×C₅₃	D₄²	1	2	yes	—
168	C₂²×C₅₃	#575	1	2	yes	—
169	C₂²×C₅₃	#576	1	1	yes	characteristic
170	C₂²×C₅₃	#578	1	1	yes	characteristic
171	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
172	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
173	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
174	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
175	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
176	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
177	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
178	C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
179	C₄×C₅₃	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
180	C₄×C₅₃	#535	1	1	yes	characteristic
181	C₄×C₅₃	#550	1	2	yes	—
182	Dic₅₃	—	4	8	no	—
183	Dic₅₃	—	4	2	no	—
184	C₂×#495	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
185	C₂×#468	—	53	4	no	—
186	C₂×#436	—	53	1	no	—
187	#2540	—	53	2	no	—
188	#2001	—	53	2	no	—
189	#1999	—	53	2	no	—
190	#1983	—	53	2	no	—
191	C₄×#107	—	53	1	no	—
192	C₂×C₅₃	—	16	2	no	—
193	C₂×C₅₃	#2541	1	1	yes	characteristic
194	C₂×C₅₃	#3054	1	1	yes	characteristic
195	C₂×C₅₃	#3061	1	1	yes	characteristic
196	C₂×C₅₃	#3273	1	2	yes	—
197	C₂×C₅₃	#3277	1	2	yes	—
198	D₅₃	—	8	2	no	—
199	C₂²×Q₁₆	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
200	C₂²×SD₁₆	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
201	C₂²×D₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
202	C₂²×M₁₆	—	53	2	no	—
203	C₂×#124	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
204	C₂×C₂²⋊Q₈	—	53	4	no	—
205	C₂×#121	—	53	4	no	—
206	C₂×C₄×D₄	—	53	1	no	—
207	#495	—	2	4	no	—
208	#468	—	106	16	no	—
209	#436	—	106	4	no	—
210	C₂×#107	—	53	2	no	—
211	C₂×C₄⋊C₈	—	53	1	no	—
212	C₂×#103	—	53	4	no	—
213	C₂×#102	—	53	4	no	—
214	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	2	no	—
215	C₂×C₄×C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
216	#399	—	106	2	no	—
217	#392	—	106	2	no	—
218	#390	—	106	4	no	—
219	C₄×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
220	#340	—	53	2	no	—
221	C₅₃	#28491	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
222	C₂²×Q₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
223	C₂²×D₄	—	53	1	no	—
224	C₂²×D₄	—	106	4	no	—
225	C₂²×D₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
226	C₂³×C₄	—	53	2	no	—
227	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
228	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
229	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
230	C₂×SD₁₆	—	2	4	no	—
231	C₂×D₈	—	2	2	no	—
232	C₂×D₈	—	4	2	no	—
233	C₂×M₁₆	—	106	8	no	—
234	C₂×M₁₆	—	106	4	no	—
235	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
236	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
237	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
238	#124	—	2	4	no	—
239	#124	—	2	4	no	—
240	C₂²⋊Q₈	—	106	8	no	—
241	C₂²⋊Q₈	—	212	4	no	—
242	#121	—	106	8	no	—
243	#121	—	212	4	no	—
244	C₄×D₄	—	106	2	no	—
245	C₄×D₄	—	106	2	no	—
246	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
247	C₂×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
248	C₂×C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
249	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
250	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
251	C₂×C₂²⋊C₄	—	53	2	no	—
252	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
253	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
254	C₂×C₄²	—	106	2	no	—
255	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
256	#107	—	53	8	no	—
257	C₄⋊C₈	—	106	2	no	—
258	#103	—	106	8	no	—
259	#102	—	106	8	no	—
260	C₂²⋊C₈	—	106	4	no	—
261	C₄×C₈	C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	complemented
262	#95	—	106	2	no	—
263	C₂⁴	—	2	2	no	—
264	C₂⁴	—	53	2	no	—
265	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
266	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
267	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
268	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
269	C₂×D₄	—	2	4	no	—
270	C₂×D₄	—	2	2	no	—
271	C₂×D₄	—	2	2	no	—
272	C₂×D₄	—	2	4	no	—
273	C₂×D₄	—	106	2	no	—
274	C₂×D₄	—	424	4	no	—
275	C₂×D₄	—	212	2	no	—
276	C₂×D₄	—	212	8	no	—
277	C₂×D₄	—	212	8	no	—
278	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
279	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
280	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
281	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
282	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
283	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
284	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
285	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
286	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
287	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
288	Q₁₆	—	4	4	no	—
289	SD₁₆	—	4	8	no	—
290	D₈	—	4	4	no	—
291	M₁₆	—	212	8	no	—
292	C₂×C₈	—	2	2	no	—
293	C₂×C₈	—	106	4	no	—
294	C₂×C₈	—	106	2	no	—
295	C₂×C₈	D₄×D₅₃	1	4	yes	—
296	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
297	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
298	C₄⋊C₄	—	53	8	no	—
299	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
300	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
301	C₄⋊C₄	—	212	8	no	—
302	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
303	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
304	C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
305	C₂²⋊C₄	—	212	8	no	—
306	C₂²⋊C₄	—	212	8	no	—
307	C₄²	—	424	2	no	—
308	C₄²	#11719947	1	2	yes	—
309	C₄²	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
310	C₂³	—	4	2	no	—
311	C₂³	—	4	4	no	—
312	C₂³	—	4	2	no	—
313	C₂³	—	4	2	no	—
314	C₂³	—	4	4	no	—
315	C₂³	—	106	2	no	—
316	C₂³	—	106	4	no	—
317	C₂³	—	106	2	no	—
318	C₂³	—	106	2	no	—
319	C₂³	—	106	4	no	—
320	C₂³	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
321	Q₈	—	4	4	no	—
322	Q₈	—	4	2	no	—
323	Q₈	—	4	2	no	—
324	D₄	—	4	4	no	—
325	D₄	—	4	2	no	—
326	D₄	—	4	2	no	—
327	D₄	—	424	16	no	—
328	D₄	—	212	4	no	—
329	C₂×C₄	—	2	2	no	—
330	C₂×C₄	—	2	1	no	—
331	C₂×C₄	—	2	1	no	—
332	C₂×C₄	—	4	2	no	—
333	C₂×C₄	—	4	4	no	—
334	C₂×C₄	—	106	2	no	—
335	C₂×C₄	—	106	8	no	—
336	C₂×C₄	—	106	4	no	—
337	C₂×C₄	—	212	4	no	—
338	C₂×C₄	—	212	4	no	—
339	C₂×C₄	—	212	4	no	—
340	C₂×C₄	—	212	2	no	—
341	C₂×C₄	—	212	2	no	—
342	C₂×C₄	#13133188	1	2	yes	—
343	C₂×C₄	#13133188	1	2	yes	—
344	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	2	yes	—
345	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
346	C₂×C₄	C₂×#11719947	1	1	yes	characteristic
347	C₂×C₄	#13133262	1	2	yes	—
348	C₈	—	2	2	no	—
349	C₈	—	212	2	no	—
350	C₈	#13133213	1	4	yes	—
351	C₂²	—	8	2	no	—
352	C₂²	—	8	4	no	—
353	C₂²	—	8	2	no	—
354	C₂²	—	8	4	no	—
355	C₂²	—	8	2	no	—
356	C₂²	—	212	2	no	—
357	C₂²	—	212	4	no	—
358	C₂²	—	212	2	no	—
359	C₂²	—	212	4	no	—
360	C₂²	—	212	2	no	—
361	C₂²	C₂×#13133188	1	1	yes	characteristic
362	C₂²	#16811258	1	2	yes	—
363	C₂²	#16811420	1	2	yes	—
364	C₂²	#16811425	1	1	yes	characteristic
365	C₂²	#16811437	1	1	yes	characteristic
366	C₄	—	2	2	no	—
367	C₄	—	2	2	no	—
368	C₄	—	8	2	no	—
369	C₄	—	212	2	no	—
370	C₄	—	212	8	no	—
371	C₄	C₂×#13133213	1	1	yes	characteristic
372	C₄	#16811190	1	1	yes	characteristic
373	C₄	#16811293	1	2	yes	—
374	C₂	—	16	2	no	—
375	C₂	—	424	2	no	—
376	C₂	#20279662	1	1	yes	characteristic
377	C₂	#20284320	1	1	yes	characteristic
378	C₂	#20284381	1	1	yes	characteristic
379	C₂	#20286324	1	2	yes	—
380	C₂	#20286370	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂×D₄×D₅₃
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₂×C₅₃×#495	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
hypercenter	C₂×#495	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#28491
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ C₂×#495

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#16810866	C₂	semidirect
2. C₂×#16810702	C₂	semidirect
3. #20279655	C₂	semidirect
4. #20275722	C₂	semidirect
5. #20275710	C₂	semidirect
6. #20275648	C₂	semidirect
7. C₄×#13133151	C₂	semidirect
8. C₂×C₅₃×#495	C₂	semidirect
50. #13133151	D₄	semidirect
71. C₄×C₈×C₅₃	D₄	semidirect
184. C₂×#495	D₅₃	semidirect
221. C₅₃	#28491	semidirect
261. C₄×C₈	C₂²⋊D₅₃	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16810866	2
C₂×#16810702	2
#20279655	2
#20275722	2
#20275710	2
#20275648	2
C₄×#13133151	2
C₂×C₅₃×#495	2
#28491	53