Subgroups — #27475924

Order 13568.

1054 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 388 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20285174	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#20285167	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#16810996	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#16810887	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#20283428	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#20275832	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#20275559	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#20275555	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₄×#108×C₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#13133250	C₂²	1	4	yes	—
11	C₂×#13133245	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂²×#11719913	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×#11719913	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#13133223	C₂²	1	2	yes	—
15	#16811173	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#13133217	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#13133214	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#16811017	—	2	2	no	—
19	#16811012	—	2	2	no	—
20	#16811003	—	2	1	no	—
21	#16811000	—	2	1	no	—
22	#16810996	—	2	1	no	—
23	#16810996	—	2	1	no	—
24	#16810996	—	2	2	no	—
25	#16810996	—	2	2	no	—
26	#16810887	—	2	16	no	—
27	#16810702	—	2	2	no	—
28	C₈×D₂₁₂	—	2	2	no	—
29	#16810647	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₂×#13133135	C₂²	1	4	yes	—
31	C₂×#13133133	C₂²	1	4	yes	—
32	#16810589	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#108×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
34	C₄×M₁₆×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₄×M₁₆×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂×C₄×C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₅₃×#341	C₂²	1	2	yes	—
38	C₂×#11719945	C₂³	1	2	yes	—
39	C₂²×Dic₁₀₆	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂²×D₂₁₂	—	2	2	no	—
41	C₂²×D₂₁₂	C₂³	1	2	yes	—
42	#13133250	—	2	8	no	—
43	#13133250	—	4	4	no	—
44	#13133245	—	2	8	no	—
45	#13133245	—	4	4	no	—
46	C₂×Dic₂₁₂	—	2	4	no	—
47	C₂×#11719913	—	2	8	no	—
48	C₂×#11719913	—	2	4	no	—
49	C₂×#11719913	—	2	2	no	—
50	C₂×#11719913	—	2	2	no	—
51	C₂×#11719913	—	2	4	no	—
52	C₂×#11719913	—	2	4	no	—
53	C₂×#11719913	—	4	4	no	—
54	C₂×D₄₂₄	—	2	4	no	—
55	#13133223	—	2	8	no	—
56	C₂×#11719917	C₂³	1	2	yes	—
57	C₂×#11719912	—	2	2	no	—
58	C₂×C₈×D₅₃	—	2	2	no	—
59	#13133217	—	2	1	no	—
60	#13133217	—	2	2	no	—
61	#13133217	—	2	1	no	—
62	#13133217	D₄	1	1	yes	characteristic
63	#13133214	—	2	1	no	—
64	#13133214	—	2	2	no	—
65	#13133214	—	2	1	no	—
66	#13133214	D₄	1	1	yes	characteristic
67	#13133205	D₄	1	2	yes	—
68	#13133191	—	2	2	no	—
69	C₄×D₂₁₂	—	2	2	no	—
70	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
71	C₄⋊#88322	—	2	2	no	—
72	#13133135	—	2	8	no	—
73	#13133133	—	2	8	no	—
74	#13133129	—	2	4	no	—
75	C₂×M₁₆×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂×M₁₆×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
78	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
79	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
80	#108×C₅₃	D₄	1	8	yes	complemented
81	#97×C₅₃	—	2	1	no	—
82	#97×C₅₃	—	2	1	no	—
83	C₄×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
84	C₄×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
85	C₄×C₈×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
86	C₄×C₈×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
87	C₂³×D₅₃	—	2	2	no	—
88	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
89	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
90	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	2	2	no	—
91	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
92	#11719945	—	2	4	no	—
93	#11719945	—	2	4	no	—
94	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
95	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
96	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
97	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
98	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
99	C₂×D₂₁₂	—	4	2	no	—
100	C₂×D₂₁₂	—	4	2	no	—
101	C₂×D₂₁₂	—	8	4	no	—
102	C₂×D₂₁₂	C₂×D₄	1	2	yes	—
103	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
104	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
105	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
106	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
107	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
108	C₂×Dic₁₀₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
109	M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
110	M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
111	M₁₆×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
112	M₁₆×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
113	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
114	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
115	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
116	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
117	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
118	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
119	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
120	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
121	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
122	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
123	#11719921	—	2	4	no	—
124	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
125	C₄⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
126	C₄⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
127	#11719917	—	2	4	no	—
128	C₂×#88322	—	2	2	no	—
129	Dic₂₁₂	—	4	8	no	—
130	D₄₂₄	—	4	8	no	—
131	#11719913	—	4	8	no	—
132	#11719913	—	4	8	no	—
133	#11719913	—	4	8	no	—
134	#11719913	—	4	4	no	—
135	#11719913	—	4	4	no	—
136	#11719912	—	4	4	no	—
137	C₈×D₅₃	—	4	4	no	—
138	C₂³×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
139	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
140	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
141	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
142	C₂²×D₅₃	—	8	4	no	—
143	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
144	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	2	yes	—
145	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	2	yes	—
146	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
147	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
148	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
149	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
150	C₂²⋊D₅₃	—	4	4	no	—
151	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
152	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
153	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
154	D₂₁₂	—	2	4	no	—
155	D₂₁₂	—	4	2	no	—
156	D₂₁₂	—	4	2	no	—
157	D₂₁₂	—	4	4	no	—
158	D₂₁₂	—	4	4	no	—
159	D₂₁₂	—	8	4	no	—
160	D₂₁₂	—	8	4	no	—
161	C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
162	C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
163	Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
164	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
165	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
166	Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
167	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
168	C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
169	C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
170	C₈×C₅₃	#127	1	2	yes	—
171	C₈×C₅₃	#127	1	2	yes	—
172	#88322	—	4	2	no	—
173	#28494	—	53	1	no	maximal, Sylow
174	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
175	C₂²×C₅₃	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
176	C₂²×C₅₃	#550	1	2	yes	—
177	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
178	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
179	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
180	C₂×D₅₃	—	8	4	no	—
181	C₂×D₅₃	—	16	4	no	—
182	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
183	C₄×C₅₃	#471	1	4	yes	complemented
184	C₄×C₅₃	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
185	C₄×C₅₃	#535	1	1	yes	characteristic
186	C₄×C₅₃	D₄²	1	2	yes	—
187	Dic₅₃	—	4	2	no	—
188	Dic₅₃	—	8	2	no	—
189	#3152	—	53	1	no	—
190	#3151	—	53	1	no	—
191	C₂×#492	—	53	1	no	—
192	C₂×#471	—	53	4	no	—
193	#2931	—	53	1	no	—
194	#2019	—	53	4	no	—
195	#1966	—	53	1	no	—
196	#1965	—	53	1	no	—
197	C₄×#108	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
198	C₂×C₅₃	—	2	2	no	—
199	C₂×C₅₃	#2541	1	1	yes	characteristic
200	C₂×C₅₃	C₂×#471	1	2	yes	—
201	D₅₃	—	8	2	no	—
202	D₅₃	—	16	2	no	—
203	C₂×#137	—	53	4	no	—
204	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	53	4	no	—
205	C₂²×SD₁₆	—	53	2	no	—
206	C₂²×SD₁₆	—	53	2	no	—
207	C₂×#131	—	53	2	no	—
208	#532	—	53	1	no	—
209	C₂×C₄⋊Q₈	—	53	1	no	—
210	C₂×#127	—	53	1	no	—
211	#497	—	106	2	no	—
212	#496	—	106	2	no	—
213	#494	—	106	1	no	—
214	#493	—	106	1	no	—
215	#492	—	106	1	no	—
216	#492	—	106	1	no	—
217	#492	—	106	2	no	—
218	#492	—	106	2	no	—
219	#471	—	106	16	no	—
220	#436	—	106	2	no	—
221	C₈×D₄	—	106	2	no	—
222	C₂×#108	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
223	#423	—	53	1	no	—
224	C₂×#101	—	53	4	no	—
225	C₂×#100	—	53	4	no	—
226	#408	—	53	2	no	—
227	C₄×M₁₆	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
228	C₄×M₁₆	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
229	C₂×C₄×C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
230	#341	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
231	C₅₃	#28494	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
232	C₂×#41	—	53	2	no	—
233	C₂²×Q₈	—	53	2	no	—
234	C₂²×D₄	—	53	2	no	—
235	C₂²×D₄	—	106	2	no	—
236	#137	—	106	8	no	—
237	#137	—	212	4	no	—
238	AGL(1,ℤ/8)	—	106	8	no	—
239	AGL(1,ℤ/8)	—	212	4	no	—
240	C₂×Q₁₆	—	106	4	no	—
241	C₂×SD₁₆	—	106	4	no	—
242	C₂×SD₁₆	—	106	4	no	—
243	C₂×SD₁₆	—	106	8	no	—
244	C₂×SD₁₆	—	106	4	no	—
245	C₂×SD₁₆	—	106	2	no	—
246	C₂×SD₁₆	—	106	2	no	—
247	C₂×SD₁₆	—	212	4	no	—
248	C₂×D₈	—	106	4	no	—
249	#131	—	106	8	no	—
250	C₂×M₁₆	—	53	2	no	—
251	C₂×M₁₆	—	106	2	no	—
252	C₂×M₁₆	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
253	C₂×M₁₆	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
254	C₂²×C₈	—	106	2	no	—
255	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
256	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
257	C₄⋊Q₈	—	53	1	no	—
258	C₄⋊Q₈	—	106	2	no	—
259	C₄⋊Q₈	—	106	1	no	—
260	C₄⋊Q₈	—	106	1	no	—
261	#127	—	53	1	no	—
262	#127	—	106	2	no	—
263	#127	—	106	1	no	—
264	#127	—	106	1	no	—
265	#124	—	53	2	no	—
266	#121	—	106	2	no	—
267	C₄×D₄	—	106	2	no	—
268	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
269	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
270	#108	D₂₁₂	1	8	yes	complemented
271	C₄⋊C₈	—	106	2	no	—
272	#101	—	106	8	no	—
273	#100	—	106	8	no	—
274	C₂²⋊C₈	—	106	4	no	—
275	#97	—	2	1	no	—
276	#97	—	2	1	no	—
277	C₄×C₈	—	2	1	no	—
278	C₄×C₈	—	2	1	no	—
279	C₄×C₈	D₂₁₂	1	2	yes	—
280	C₄×C₈	D₂₁₂	1	2	yes	—
281	C₂⁴	—	106	2	no	—
282	#41	—	106	4	no	—
283	#41	—	106	4	no	—
284	C₂×Q₈	—	53	2	no	—
285	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
286	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
287	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
288	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
289	C₂×D₄	—	53	2	no	—
290	C₂×D₄	—	106	2	no	—
291	C₂×D₄	—	106	2	no	—
292	C₂×D₄	—	106	2	no	—
293	C₂×D₄	—	106	4	no	—
294	C₂×D₄	—	106	2	no	—
295	C₂×D₄	—	106	4	no	—
296	C₂×D₄	—	424	4	no	—
297	C₂×D₄	—	212	2	no	—
298	C₂×D₄	—	212	2	no	—
299	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
300	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
301	C₂²×C₄	#11719949	1	2	yes	—
302	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
303	Q₁₆	—	212	8	no	—
304	SD₁₆	—	212	8	no	—
305	SD₁₆	—	212	8	no	—
306	SD₁₆	—	212	8	no	—
307	SD₁₆	—	212	4	no	—
308	SD₁₆	—	212	4	no	—
309	D₈	—	212	8	no	—
310	M₁₆	—	2	2	no	—
311	M₁₆	—	2	2	no	—
312	M₁₆	—	106	4	no	—
313	M₁₆	—	212	4	no	—
314	M₁₆	C₂×D₂₁₂	1	4	yes	—
315	M₁₆	C₂×D₂₁₂	1	4	yes	—
316	C₂×C₈	—	2	2	no	—
317	C₂×C₈	—	2	2	no	—
318	C₂×C₈	—	2	2	no	—
319	C₂×C₈	—	106	2	no	—
320	C₂×C₈	—	212	4	no	—
321	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
322	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
324	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	4	yes	—
325	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
326	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
327	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
328	C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
329	C₄²	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
330	C₄²	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
331	C₄²	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
332	C₂³	—	106	2	no	—
333	C₂³	—	424	4	no	—
334	C₂³	—	212	4	no	—
335	C₂³	—	212	2	no	—
336	C₂³	C₂×#11719949	1	1	yes	characteristic
337	Q₈	—	106	4	no	—
338	Q₈	—	212	2	no	—
339	Q₈	—	212	2	no	—
340	Q₈	—	212	4	no	—
341	D₄	—	106	4	no	—
342	D₄	—	424	4	no	—
343	D₄	—	424	4	no	—
344	D₄	—	212	4	no	—
345	D₄	—	212	4	no	—
346	D₄	—	212	2	no	—
347	D₄	—	212	2	no	—
348	D₄	—	212	4	no	—
349	C₂×C₄	—	2	4	no	—
350	C₂×C₄	—	106	2	no	—
351	C₂×C₄	—	212	4	no	—
352	C₂×C₄	—	212	2	no	—
353	C₂×C₄	—	212	2	no	—
354	C₂×C₄	—	212	2	no	—
355	C₂×C₄	#13133192	1	2	yes	—
356	C₂×C₄	#13133192	1	2	yes	—
357	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
358	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
359	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	2	yes	—
360	C₂×C₄	#13133263	1	2	yes	—
361	C₈	—	2	2	no	—
362	C₈	—	2	4	no	—
363	C₈	—	2	4	no	—
364	C₈	—	212	2	no	—
365	C₈	#13133214	1	2	yes	—
366	C₈	#13133214	1	2	yes	—
367	C₂²	—	2	2	no	—
368	C₂²	—	848	4	no	—
369	C₂²	—	424	2	no	—
370	C₂²	—	424	4	no	—
371	C₂²	—	212	2	no	—
372	C₂²	—	212	4	no	—
373	C₂²	C₂×#13133192	1	1	yes	characteristic
374	C₂²	#16811295	1	2	yes	—
375	C₄	—	2	2	no	—
376	C₄	—	424	2	no	—
377	C₄	—	212	2	no	—
378	C₄	#16810887	1	4	yes	complemented
379	C₄	C₂×#13133214	1	1	yes	characteristic
380	C₄	#16811192	1	1	yes	characteristic
381	C₄	D₄×D₂₁₂	1	2	yes	—
382	C₂	—	2	2	no	—
383	C₂	—	848	2	no	—
384	C₂	—	424	2	no	—
385	C₂	#20279657	1	1	yes	characteristic
386	C₂	C₂×#16810887	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂×#13133192
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₄×#108×C₅₃	C₂
socle	C₂²×C₅₃	C₂×#121
prime radical	#20285167	C₂
hypercenter	C₄×#108	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#28494
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ C₄×#108

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #20285174	C₂	semidirect
3. C₂×#16810996	C₂	semidirect
4. C₂×#16810887	C₂	semidirect
5. #20283428	C₂	semidirect
6. #20275832	C₂	semidirect
7. #20275559	C₂	semidirect
8. #20275555	C₂	semidirect
9. C₄×#108×C₅₃	C₂	semidirect
80. #108×C₅₃	D₄	semidirect
183. C₄×C₅₃	#471	semidirect
197. C₄×#108	D₅₃	semidirect
231. C₅₃	#28494	semidirect
270. #108	D₂₁₂	semidirect
378. C₄	#16810887	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20285174	2
#20285167	2
C₂×#16810996	2
C₂×#16810887	2
#20283428	2
#20275832	2
#20275559	2
#20275555	2
C₄×#108×C₅₃	2
#28494	53