Subgroups — #27475933

Order 13568.

1022 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 352 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20285181	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂×#16811007	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#16810887	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#20283428	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#20275837	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#20275825	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#20275564	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₄×#108×C₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂×#13133250	C₂²	1	4	yes	—
10	C₂×#13133245	C₂²	1	4	yes	—
11	C₂²×Dic₂₁₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×#11719913	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×D₄₂₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#13133223	C₂²	1	2	yes	—
15	#16811173	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#13133205	C₂²	1	2	yes	—
17	#16811017	—	2	2	no	—
18	#16811012	—	2	2	no	—
19	#16811007	—	2	4	no	—
20	#16811007	—	2	2	no	—
21	#16811007	—	2	2	no	—
22	#16810887	—	2	16	no	—
23	#16810702	—	2	2	no	—
24	C₈×D₂₁₂	—	2	2	no	—
25	#16810647	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₂×#13133135	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂×#13133133	C₂²	1	4	yes	—
28	#16810589	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#108×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
30	C₄×M₁₆×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×C₄×C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₅₃×#341	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#11719945	C₂³	1	2	yes	—
34	C₂²×Dic₁₀₆	C₂³	1	2	yes	—
35	C₂²×D₂₁₂	C₂³	1	2	yes	—
36	#13133250	—	2	8	no	—
37	#13133250	—	4	4	no	—
38	#13133245	—	2	8	no	—
39	#13133245	—	4	4	no	—
40	C₂×Dic₂₁₂	—	2	2	no	—
41	C₂×Dic₂₁₂	—	2	4	no	—
42	C₂×Dic₂₁₂	—	4	2	no	—
43	C₂×#11719913	—	2	8	no	—
44	C₂×#11719913	—	2	2	no	—
45	C₂×#11719913	—	2	2	no	—
46	C₂×#11719913	—	2	4	no	—
47	C₂×#11719913	—	2	4	no	—
48	C₂×D₄₂₄	—	2	2	no	—
49	C₂×D₄₂₄	—	2	4	no	—
50	C₂×D₄₂₄	—	4	2	no	—
51	#13133223	—	2	8	no	—
52	C₂×#11719917	C₂³	1	2	yes	—
53	C₂×#11719912	—	2	2	no	—
54	C₂×C₈×D₅₃	—	2	2	no	—
55	#13133217	D₄	1	1	yes	characteristic
56	#13133214	D₄	1	1	yes	characteristic
57	#13133205	—	2	2	no	—
58	#13133205	—	2	4	no	—
59	#13133205	—	2	2	no	—
60	#13133205	D₄	1	2	yes	—
61	#13133191	—	2	2	no	—
62	C₄×D₂₁₂	—	2	2	no	—
63	C₂×#11719921	—	2	4	no	—
64	C₄⋊#88322	—	2	2	no	—
65	#13133135	—	2	8	no	—
66	#13133133	—	2	8	no	—
67	#13133129	—	2	4	no	—
68	C₂×M₁₆×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
69	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	#108×C₅₃	D₄	1	8	yes	complemented
73	#97×C₅₃	—	2	2	no	—
74	C₄×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
75	C₄×C₈×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
76	C₄×C₈×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
77	C₂³×D₅₃	—	2	2	no	—
78	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
79	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
80	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	2	2	no	—
81	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
82	#11719945	—	2	4	no	—
83	#11719945	—	2	4	no	—
84	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
85	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
86	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
87	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
88	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
89	C₂×D₂₁₂	C₂×D₄	1	2	yes	—
90	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
91	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
92	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
93	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
94	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
95	C₂×Dic₁₀₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
96	M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
97	M₁₆×C₅₃	C₂×D₄	1	8	yes	—
98	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
99	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
100	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
101	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
102	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
103	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
104	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
105	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
106	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
107	#11719921	—	2	4	no	—
108	#11719921	—	4	4	no	—
109	#11719921	—	4	4	no	—
110	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
111	#11719917	—	2	4	no	—
112	C₂×#88322	—	2	2	no	—
113	Dic₂₁₂	—	4	8	no	—
114	Dic₂₁₂	—	4	4	no	—
115	D₄₂₄	—	4	8	no	—
116	D₄₂₄	—	4	4	no	—
117	#11719913	—	4	8	no	—
118	#11719913	—	4	8	no	—
119	#11719913	—	4	4	no	—
120	#11719913	—	4	4	no	—
121	#11719912	—	4	4	no	—
122	C₈×D₅₃	—	4	4	no	—
123	C₂³×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
124	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
125	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
126	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
127	C₂²×D₅₃	—	8	4	no	—
128	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
129	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	2	yes	—
130	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	2	yes	—
131	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
134	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
135	C₂²⋊D₅₃	—	4	4	no	—
136	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
137	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
138	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
139	D₂₁₂	—	2	4	no	—
140	D₂₁₂	—	4	4	no	—
141	D₂₁₂	—	4	2	no	—
142	D₂₁₂	—	4	2	no	—
143	D₂₁₂	—	4	4	no	—
144	C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
145	C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
146	Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
147	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
148	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
149	Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
150	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
151	C₈×C₅₃	—	2	8	no	—
152	C₈×C₅₃	#127	1	2	yes	—
153	C₈×C₅₃	#127	1	2	yes	—
154	#88322	—	4	2	no	—
155	#28495	—	53	1	no	maximal, Sylow
156	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
157	C₂²×C₅₃	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
158	C₂²×C₅₃	#550	1	2	yes	—
159	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
160	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
161	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
162	C₂×D₅₃	—	8	4	no	—
163	C₂×D₅₃	—	16	4	no	—
164	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
165	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
166	C₄×C₅₃	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
167	C₄×C₅₃	#535	1	1	yes	characteristic
168	C₄×C₅₃	D₄²	1	2	yes	—
169	Dic₅₃	—	4	2	no	—
170	Dic₅₃	—	8	2	no	—
171	#3153	—	53	2	no	—
172	C₂×#495	—	53	1	no	—
173	C₂×#471	—	53	4	no	—
174	#2931	—	53	1	no	—
175	#2020	—	53	2	no	—
176	#2018	—	53	2	no	—
177	#1967	—	53	2	no	—
178	C₄×#108	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
179	C₂×C₅₃	—	2	2	no	—
180	C₂×C₅₃	#2541	1	1	yes	characteristic
181	C₂×C₅₃	#3067	1	2	yes	—
182	D₅₃	—	8	2	no	—
183	D₅₃	—	16	2	no	—
184	C₂×#137	—	53	4	no	—
185	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	53	4	no	—
186	C₂²×Q₁₆	—	53	1	no	—
187	C₂²×SD₁₆	—	53	2	no	—
188	C₂²×D₈	—	53	1	no	—
189	C₂×#131	—	53	2	no	—
190	#532	—	53	1	no	—
191	C₂×#124	—	53	2	no	—
192	#497	—	106	2	no	—
193	#496	—	106	2	no	—
194	#495	—	106	4	no	—
195	#495	—	106	2	no	—
196	#495	—	106	2	no	—
197	#471	—	106	16	no	—
198	#436	—	106	2	no	—
199	C₈×D₄	—	106	2	no	—
200	C₂×#108	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
201	#423	—	53	1	no	—
202	C₂×#101	—	53	4	no	—
203	C₂×#100	—	53	4	no	—
204	#408	—	53	2	no	—
205	C₄×M₁₆	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
206	C₂×C₄×C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
207	#341	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
208	C₅₃	#28495	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
209	C₂×#41	—	53	2	no	—
210	C₂²×Q₈	—	53	2	no	—
211	C₂²×D₄	—	53	2	no	—
212	#137	—	106	8	no	—
213	#137	—	212	4	no	—
214	AGL(1,ℤ/8)	—	106	8	no	—
215	AGL(1,ℤ/8)	—	212	4	no	—
216	C₂×Q₁₆	—	106	4	no	—
217	C₂×Q₁₆	—	106	2	no	—
218	C₂×Q₁₆	—	212	2	no	—
219	C₂×SD₁₆	—	106	4	no	—
220	C₂×SD₁₆	—	106	4	no	—
221	C₂×SD₁₆	—	106	8	no	—
222	C₂×SD₁₆	—	106	2	no	—
223	C₂×SD₁₆	—	106	2	no	—
224	C₂×D₈	—	106	4	no	—
225	C₂×D₈	—	106	2	no	—
226	C₂×D₈	—	212	2	no	—
227	#131	—	106	8	no	—
228	C₂×M₁₆	—	53	2	no	—
229	C₂×M₁₆	—	106	2	no	—
230	C₂×M₁₆	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
231	C₂²×C₈	—	106	2	no	—
232	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
234	C₄⋊Q₈	—	53	1	no	—
235	#127	—	53	1	no	—
236	#124	—	53	2	no	—
237	#124	—	106	4	no	—
238	#124	—	106	2	no	—
239	#124	—	106	2	no	—
240	#121	—	106	2	no	—
241	C₄×D₄	—	106	2	no	—
242	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
243	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
244	#108	D₂₁₂	1	8	yes	complemented
245	C₄⋊C₈	—	106	2	no	—
246	#101	—	106	8	no	—
247	#100	—	106	8	no	—
248	C₂²⋊C₈	—	106	4	no	—
249	#97	—	2	2	no	—
250	C₄×C₈	—	2	2	no	—
251	C₄×C₈	D₂₁₂	1	2	yes	—
252	C₄×C₈	D₂₁₂	1	2	yes	—
253	C₂⁴	—	106	2	no	—
254	#41	—	106	4	no	—
255	#41	—	106	4	no	—
256	C₂×Q₈	—	53	2	no	—
257	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
258	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
259	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
260	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
261	C₂×D₄	—	53	2	no	—
262	C₂×D₄	—	106	2	no	—
263	C₂×D₄	—	106	2	no	—
264	C₂×D₄	—	106	2	no	—
265	C₂×D₄	—	106	4	no	—
266	C₂×D₄	—	106	2	no	—
267	C₂×D₄	—	106	4	no	—
268	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
269	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
270	C₂²×C₄	#11719949	1	2	yes	—
271	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
272	Q₁₆	—	212	8	no	—
273	Q₁₆	—	212	4	no	—
274	SD₁₆	—	212	8	no	—
275	SD₁₆	—	212	8	no	—
276	SD₁₆	—	212	4	no	—
277	SD₁₆	—	212	4	no	—
278	D₈	—	212	8	no	—
279	D₈	—	212	4	no	—
280	M₁₆	—	2	4	no	—
281	M₁₆	—	106	4	no	—
282	M₁₆	—	212	4	no	—
283	M₁₆	C₂×D₂₁₂	1	8	yes	—
284	C₂×C₈	—	2	4	no	—
285	C₂×C₈	—	2	2	no	—
286	C₂×C₈	—	106	2	no	—
287	C₂×C₈	—	212	4	no	—
288	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
289	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
290	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
291	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	4	yes	—
292	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
293	C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
294	C₂²⋊C₄	—	212	4	no	—
295	C₂²⋊C₄	—	212	4	no	—
296	C₄²	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
297	C₄²	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
298	C₄²	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
299	C₂³	—	106	2	no	—
300	C₂³	—	424	4	no	—
301	C₂³	—	212	4	no	—
302	C₂³	—	212	2	no	—
303	C₂³	C₂×#11719949	1	1	yes	characteristic
304	Q₈	—	106	4	no	—
305	Q₈	—	212	2	no	—
306	Q₈	—	212	2	no	—
307	Q₈	—	212	4	no	—
308	D₄	—	106	4	no	—
309	D₄	—	212	4	no	—
310	D₄	—	212	4	no	—
311	D₄	—	212	2	no	—
312	D₄	—	212	2	no	—
313	D₄	—	212	4	no	—
314	C₂×C₄	—	4	2	no	—
315	C₂×C₄	—	106	2	no	—
316	C₂×C₄	—	212	4	no	—
317	C₂×C₄	—	212	2	no	—
318	C₂×C₄	—	212	2	no	—
319	C₂×C₄	—	212	2	no	—
320	C₂×C₄	#13133192	1	2	yes	—
321	C₂×C₄	#13133192	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
324	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	#13133263	1	2	yes	—
326	C₈	—	2	2	no	—
327	C₈	—	2	8	no	—
328	C₈	—	212	2	no	—
329	C₈	#13133214	1	2	yes	—
330	C₈	#13133214	1	2	yes	—
331	C₂²	—	2	2	no	—
332	C₂²	—	848	4	no	—
333	C₂²	—	424	4	no	—
334	C₂²	—	424	2	no	—
335	C₂²	—	212	4	no	—
336	C₂²	—	212	2	no	—
337	C₂²	C₂×#13133192	1	1	yes	characteristic
338	C₂²	#16811295	1	2	yes	—
339	C₄	—	2	2	no	—
340	C₄	—	2	2	no	—
341	C₄	—	424	2	no	—
342	C₄	—	212	2	no	—
343	C₄	C₂×#13133214	1	1	yes	characteristic
344	C₄	#16811192	1	1	yes	characteristic
345	C₄	D₄×D₂₁₂	1	2	yes	—
346	C₂	—	2	2	no	—
347	C₂	—	848	2	no	—
348	C₂	—	424	2	no	—
349	C₂	#20279657	1	1	yes	characteristic
350	C₂	#20284436	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂×#13133192
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₄×#108×C₅₃	C₂
socle	C₂²×C₅₃	C₂×#121
hypercenter	C₄×#108	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#28495
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ C₄×#108

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #20285181	C₂	semidirect
2. C₂×#16811007	C₂	semidirect
3. C₂×#16810887	C₂	semidirect
4. #20283428	C₂	semidirect
5. #20275837	C₂	semidirect
6. #20275825	C₂	semidirect
7. #20275564	C₂	semidirect
8. C₄×#108×C₅₃	C₂	semidirect
72. #108×C₅₃	D₄	semidirect
178. C₄×#108	D₅₃	semidirect
208. C₅₃	#28495	semidirect
244. #108	D₂₁₂	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20285181	2
C₂×#16811007	2
C₂×#16810887	2
#20283428	2
#20275837	2
#20275825	2
#20275564	2
C₄×#108×C₅₃	2
#28495	53