Subgroups — #27475939

Order 13568.

1022 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 352 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20285179	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂×#16810883	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	#20283428	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#20275834	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20275822	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#20275565	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₄×#13133153	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂×C₅₃×#495	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂×#13133248	C₂²	1	4	yes	—
10	C₂×#13133243	C₂²	1	4	yes	—
11	C₂×#13133223	C₂²	1	2	yes	—
12	#16811173	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	#16811018	—	2	2	no	—
14	#16811013	—	2	2	no	—
15	#16811005	—	2	4	no	—
16	#16810883	—	2	16	no	—
17	#16810702	—	2	2	no	—
18	C₈×D₂₁₂	—	2	2	no	—
19	C₂×#13133153	C₂²	1	2	yes	—
20	#16810647	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₂×#13133136	C₂²	1	4	yes	—
22	C₂×#13133134	C₂²	1	4	yes	—
23	#16810589	C₂²	1	2	yes	—
24	C₄×#11719917	C₂²	1	2	yes	—
25	#16810388	C₂²	1	2	yes	—
26	C₂²×Q₁₆×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₂²×SD₁₆×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂²×D₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×#124×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
30	C₅₃×#495	—	2	2	no	—
31	C₅₃×#495	—	2	2	no	—
32	C₂×C₄×C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂×#11719945	C₂³	1	2	yes	—
34	#13133248	—	2	8	no	—
35	#13133248	—	4	4	no	—
36	#13133243	—	2	8	no	—
37	#13133243	—	4	4	no	—
38	C₂×#11719925	—	2	4	no	—
39	C₂×#11719923	—	2	4	no	—
40	C₂×#11719924	—	2	4	no	—
41	C₂×#11719922	—	2	4	no	—
42	#13133223	—	2	8	no	—
43	C₂×#11719917	C₂³	1	2	yes	—
44	C₂×#11719917	C₂³	1	4	yes	—
45	C₂×#11719912	—	2	2	no	—
46	C₂×C₈×D₅₃	—	2	2	no	—
47	#13133217	D₄	1	1	yes	characteristic
48	#13133214	D₄	1	1	yes	characteristic
49	#13133205	D₄	1	2	yes	—
50	#13133191	—	2	2	no	—
51	C₄×D₂₁₂	—	2	2	no	—
52	#13133153	D₄	1	8	yes	complemented
53	C₄⋊#88322	—	2	2	no	—
54	#13133136	—	2	8	no	—
55	#13133134	—	2	8	no	—
56	#13133129	—	2	4	no	—
57	#13133128	—	2	2	no	—
58	C₄×#88322	—	2	2	no	—
59	C₂²×Q₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
60	C₂²×D₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
61	C₂×Q₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
62	C₂×Q₁₆×C₅₃	—	4	2	no	—
63	C₂×SD₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
64	C₂×SD₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
65	C₂×SD₁₆×C₅₃	—	2	8	no	—
66	C₂×D₈×C₅₃	—	2	2	no	—
67	C₂×D₈×C₅₃	—	4	2	no	—
68	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	#124×C₅₃	—	2	2	no	—
71	#124×C₅₃	—	2	4	no	—
72	#124×C₅₃	—	2	2	no	—
73	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
74	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₄×C₈×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
76	C₄×C₈×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
77	C₂⁴×C₅₃	—	2	2	no	—
78	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
79	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
80	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
81	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
82	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
83	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
84	C₂×D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
85	C₂×D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
86	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
87	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
88	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
89	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	2	2	no	—
90	#11719945	—	2	4	no	—
91	#11719945	—	2	4	no	—
92	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
93	C₂×D₂₁₂	C₂×D₄	1	2	yes	—
94	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
95	C₂×Dic₁₀₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
96	Q₁₆×C₅₃	—	4	4	no	—
97	SD₁₆×C₅₃	—	4	4	no	—
98	SD₁₆×C₅₃	—	4	4	no	—
99	D₈×C₅₃	—	4	4	no	—
100	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
101	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
102	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
103	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
105	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
106	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
107	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
108	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
109	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
110	#11719925	—	4	8	no	—
111	#11719924	—	4	8	no	—
112	#11719923	—	4	8	no	—
113	#11719922	—	4	8	no	—
114	#11719921	—	2	4	no	—
115	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
116	#11719917	—	2	4	no	—
117	#11719917	—	2	4	no	—
118	#11719917	C₂×D₄	1	8	yes	—
119	C₂×#88322	—	2	4	no	—
120	C₂×#88322	—	2	2	no	—
121	#11719912	—	4	4	no	—
122	C₈×D₅₃	—	4	4	no	—
123	C₂³×C₅₃	—	4	2	no	—
124	C₂³×C₅₃	—	4	4	no	—
125	C₂³×C₅₃	—	8	4	no	—
126	C₂³×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
127	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
128	Q₈×C₅₃	—	4	2	no	—
129	Q₈×C₅₃	—	4	2	no	—
130	Q₈×C₅₃	—	4	4	no	—
131	D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
132	D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
133	D₄×C₅₃	—	4	4	no	—
134	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
135	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
136	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
137	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	2	yes	—
138	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	2	yes	—
139	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
140	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
141	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
142	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
143	C₂²⋊D₅₃	—	4	4	no	—
144	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
145	D₂₁₂	—	2	4	no	—
146	D₂₁₂	—	4	4	no	—
147	C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
148	C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
149	Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
150	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
151	C₈×C₅₃	#127	1	2	yes	—
152	C₈×C₅₃	#127	1	2	yes	—
153	#88322	—	2	8	no	—
154	#88322	—	4	2	no	—
155	#28495	—	53	1	no	maximal, Sylow
156	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
157	C₂²×C₅₃	—	8	2	no	—
158	C₂²×C₅₃	—	8	4	no	—
159	C₂²×C₅₃	—	16	4	no	—
160	C₂²×C₅₃	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
161	C₂²×C₅₃	#550	1	2	yes	—
162	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
163	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
164	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
165	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
166	C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
167	C₄×C₅₃	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
168	C₄×C₅₃	#535	1	1	yes	characteristic
169	C₄×C₅₃	D₄²	1	2	yes	—
170	Dic₅₃	—	4	2	no	—
171	#3153	—	53	2	no	—
172	C₂×#495	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
173	C₂×#471	—	53	4	no	—
174	#2931	—	53	1	no	—
175	#2020	—	53	2	no	—
176	#2018	—	53	2	no	—
177	#1967	—	53	2	no	—
178	C₄×#108	—	53	1	no	—
179	C₂×C₅₃	—	2	2	no	—
180	C₂×C₅₃	—	16	2	no	—
181	C₂×C₅₃	#2541	1	1	yes	characteristic
182	C₂×C₅₃	#3067	1	2	yes	—
183	D₅₃	—	8	2	no	—
184	C₂×#137	—	53	4	no	—
185	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	53	4	no	—
186	C₂²×Q₁₆	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
187	C₂²×SD₁₆	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
188	C₂²×D₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
189	C₂×#131	—	53	2	no	—
190	#532	—	53	1	no	—
191	C₂×#124	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
192	#497	—	106	2	no	—
193	#496	—	106	2	no	—
194	#495	—	2	2	no	—
195	#495	—	2	2	no	—
196	#495	—	106	4	no	—
197	#471	—	106	16	no	—
198	#436	—	106	2	no	—
199	C₈×D₄	—	106	2	no	—
200	C₂×#108	—	53	2	no	—
201	#423	—	53	1	no	—
202	C₂×#101	—	53	4	no	—
203	C₂×#100	—	53	4	no	—
204	#408	—	53	2	no	—
205	C₄×M₁₆	—	53	2	no	—
206	C₂×C₄×C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
207	#341	—	53	2	no	—
208	C₅₃	#28495	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
209	C₂×#41	—	53	2	no	—
210	C₂²×Q₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
211	C₂²×D₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
212	#137	—	106	8	no	—
213	#137	—	212	4	no	—
214	AGL(1,ℤ/8)	—	106	8	no	—
215	AGL(1,ℤ/8)	—	212	4	no	—
216	C₂×Q₁₆	—	2	2	no	—
217	C₂×Q₁₆	—	4	2	no	—
218	C₂×Q₁₆	—	106	4	no	—
219	C₂×SD₁₆	—	2	8	no	—
220	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
221	C₂×SD₁₆	—	2	2	no	—
222	C₂×SD₁₆	—	106	4	no	—
223	C₂×SD₁₆	—	106	4	no	—
224	C₂×D₈	—	2	2	no	—
225	C₂×D₈	—	4	2	no	—
226	C₂×D₈	—	106	4	no	—
227	#131	—	106	8	no	—
228	C₂×M₁₆	—	53	4	no	—
229	C₂×M₁₆	—	53	2	no	—
230	C₂×M₁₆	—	106	2	no	—
231	C₂²×C₈	—	106	2	no	—
232	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
233	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
234	C₄⋊Q₈	—	53	1	no	—
235	#127	—	53	1	no	—
236	#124	—	2	2	no	—
237	#124	—	2	2	no	—
238	#124	—	2	4	no	—
239	#124	—	53	2	no	—
240	#121	—	106	2	no	—
241	C₄×D₄	—	106	2	no	—
242	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
243	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
244	#108	—	53	8	no	—
245	C₄⋊C₈	—	106	2	no	—
246	#101	—	106	8	no	—
247	#100	—	106	8	no	—
248	C₂²⋊C₈	—	106	4	no	—
249	#97	—	106	2	no	—
250	C₄×C₈	—	106	2	no	—
251	C₄×C₈	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
252	C₄×C₈	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
253	C₂⁴	—	2	2	no	—
254	#41	—	106	4	no	—
255	#41	—	106	4	no	—
256	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
257	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
258	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
259	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
260	C₂×Q₈	—	53	2	no	—
261	C₂×D₄	—	2	4	no	—
262	C₂×D₄	—	2	2	no	—
263	C₂×D₄	—	2	2	no	—
264	C₂×D₄	—	2	4	no	—
265	C₂×D₄	—	53	2	no	—
266	C₂×D₄	—	106	2	no	—
267	C₂×D₄	—	106	2	no	—
268	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
269	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
270	C₂²×C₄	#11719947	1	2	yes	—
271	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
272	Q₁₆	—	4	4	no	—
273	Q₁₆	—	212	8	no	—
274	SD₁₆	—	4	4	no	—
275	SD₁₆	—	4	4	no	—
276	SD₁₆	—	212	8	no	—
277	SD₁₆	—	212	8	no	—
278	D₈	—	4	4	no	—
279	D₈	—	212	8	no	—
280	M₁₆	—	53	8	no	—
281	M₁₆	—	106	4	no	—
282	M₁₆	—	106	4	no	—
283	M₁₆	—	212	4	no	—
284	C₂×C₈	—	2	2	no	—
285	C₂×C₈	—	106	4	no	—
286	C₂×C₈	—	106	2	no	—
287	C₂×C₈	—	212	4	no	—
288	C₂×C₈	D₄×D₅₃	1	4	yes	—
289	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
290	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
291	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
292	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
293	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
294	C₂²⋊C₄	—	4	4	no	—
295	C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
296	C₄²	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
297	C₄²	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
298	C₄²	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
299	C₂³	—	4	2	no	—
300	C₂³	—	4	4	no	—
301	C₂³	—	8	4	no	—
302	C₂³	—	106	2	no	—
303	C₂³	C₂×#11719947	1	1	yes	characteristic
304	Q₈	—	4	2	no	—
305	Q₈	—	4	2	no	—
306	Q₈	—	4	4	no	—
307	Q₈	—	106	4	no	—
308	D₄	—	4	2	no	—
309	D₄	—	4	2	no	—
310	D₄	—	4	4	no	—
311	D₄	—	106	4	no	—
312	D₄	—	212	4	no	—
313	D₄	—	212	4	no	—
314	C₂×C₄	—	4	2	no	—
315	C₂×C₄	—	4	4	no	—
316	C₂×C₄	—	4	2	no	—
317	C₂×C₄	—	106	2	no	—
318	C₂×C₄	—	212	2	no	—
319	C₂×C₄	—	212	2	no	—
320	C₂×C₄	#13133188	1	2	yes	—
321	C₂×C₄	#13133188	1	2	yes	—
322	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	2	yes	—
323	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
324	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
325	C₂×C₄	#13133262	1	2	yes	—
326	C₈	—	2	2	no	—
327	C₈	—	106	8	no	—
328	C₈	—	212	2	no	—
329	C₈	#13133213	1	2	yes	—
330	C₈	#13133213	1	2	yes	—
331	C₂²	—	2	2	no	—
332	C₂²	—	8	4	no	—
333	C₂²	—	8	2	no	—
334	C₂²	—	16	4	no	—
335	C₂²	—	212	4	no	—
336	C₂²	—	212	2	no	—
337	C₂²	C₂×#13133188	1	1	yes	characteristic
338	C₂²	#16811293	1	2	yes	—
339	C₄	—	2	2	no	—
340	C₄	—	2	2	no	—
341	C₄	—	8	2	no	—
342	C₄	—	212	2	no	—
343	C₄	C₂×#13133213	1	1	yes	characteristic
344	C₄	#16811190	1	1	yes	characteristic
345	C₄	#16811258	1	2	yes	—
346	C₂	—	2	2	no	—
347	C₂	—	16	2	no	—
348	C₂	—	424	2	no	—
349	C₂	#20279662	1	1	yes	characteristic
350	C₂	#20284431	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂×#13133188
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₂×C₅₃×#495	C₂
socle	C₂²×C₅₃	C₂×#121
hypercenter	C₂×#495	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#28495
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ C₂×#495

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #20285179	C₂	semidirect
2. C₂×#16810883	C₂	semidirect
3. #20283428	C₂	semidirect
4. #20275834	C₂	semidirect
5. #20275822	C₂	semidirect
6. #20275565	C₂	semidirect
7. C₄×#13133153	C₂	semidirect
8. C₂×C₅₃×#495	C₂	semidirect
52. #13133153	D₄	semidirect
172. C₂×#495	D₅₃	semidirect
208. C₅₃	#28495	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20285179	2
C₂×#16810883	2
#20283428	2
#20275834	2
#20275822	2
#20275565	2
C₄×#13133153	2
C₂×C₅₃×#495	2
#28495	53