Subgroups — #27475946

Order 13568.

1022 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 372 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20285183	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂×#16811007	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#16810898	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	C₂×#16810893	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20275830	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#20275562	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₄×#13133153	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₅₃×#2931	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂×#13133247	C₂²	1	4	yes	—
10	C₂×#13133242	C₂²	1	4	yes	—
11	C₂²×Dic₂₁₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂²×#11719913	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×D₄₂₄	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#13133205	C₂²	1	2	yes	—
15	#16811015	—	2	2	no	—
16	#16811010	—	2	2	no	—
17	#16811007	—	2	2	no	—
18	#16811007	—	2	2	no	—
19	#16811005	—	2	4	no	—
20	#16810898	—	2	8	no	—
21	#16810893	—	2	8	no	—
22	C₂×#13133153	C₂²	1	2	yes	—
23	C₂×#13133135	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×#13133133	C₂²	1	4	yes	—
25	C₄×#11719917	C₂²	1	2	yes	—
26	#16810388	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#131×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
28	C₅₃×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₅₃×#436	—	2	2	no	—
30	C₈×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
31	C₅₃×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₅₃×#408	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×C₄×C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂²×Dic₁₀₆	C₂³	1	2	yes	—
35	C₂²×D₂₁₂	C₂³	1	2	yes	—
36	#13133247	—	2	8	no	—
37	#13133247	—	4	4	no	—
38	#13133242	—	2	8	no	—
39	#13133242	—	4	4	no	—
40	C₂×Dic₂₁₂	—	2	4	no	—
41	C₂×Dic₂₁₂	—	2	1	no	—
42	C₂×Dic₂₁₂	—	2	1	no	—
43	C₂×#11719925	—	2	4	no	—
44	C₂×#11719913	—	2	4	no	—
45	C₂×#11719913	—	4	4	no	—
46	C₂×#11719923	—	2	4	no	—
47	C₂×#11719924	—	2	4	no	—
48	C₂×D₄₂₄	—	2	4	no	—
49	C₂×D₄₂₄	—	2	1	no	—
50	C₂×D₄₂₄	—	2	1	no	—
51	C₂×#11719922	—	2	4	no	—
52	C₂×#11719917	C₂³	1	4	yes	—
53	#13133205	—	2	2	no	—
54	#13133205	—	2	2	no	—
55	#13133205	—	2	4	no	—
56	C₂×#11719921	—	2	4	no	—
57	#13133153	D₄	1	8	yes	complemented
58	#13133135	—	2	8	no	—
59	#13133133	—	2	8	no	—
60	#13133128	—	2	2	no	—
61	C₄×#88322	—	2	2	no	—
62	C₂×#41×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
63	#131×C₅₃	—	2	4	no	—
64	#131×C₅₃	—	2	4	no	—
65	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
66	C₂×M₁₆×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
67	C₂²×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
68	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₄⋊Q₈×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
71	#127×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
72	#124×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
73	#121×C₅₃	—	2	2	no	—
74	C₄×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
75	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	C₄⋊C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
77	C₂²⋊C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
78	C₄×C₈×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
79	C₄×C₈×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
80	C₂³×D₅₃	—	2	2	no	—
81	#41×C₅₃	—	2	2	no	—
82	#41×C₅₃	—	2	2	no	—
83	#41×C₅₃	—	2	2	no	—
84	#41×C₅₃	—	2	2	no	—
85	C₂×Q₈×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
86	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
87	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
88	C₂×D₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
89	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
90	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
91	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
92	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
93	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
94	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
95	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
96	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
97	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
98	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
99	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
100	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
101	M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
102	M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
103	M₁₆×C₅₃	—	4	4	no	—
104	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
105	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
106	C₂×C₈×C₅₃	—	4	4	no	—
107	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
108	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
109	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
110	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
111	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
112	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
113	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
114	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
115	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
116	#11719925	—	4	8	no	—
117	#11719924	—	4	8	no	—
118	#11719923	—	4	8	no	—
119	#11719922	—	4	8	no	—
120	#11719921	—	4	4	no	—
121	#11719921	—	4	4	no	—
122	#11719917	—	2	4	no	—
123	#11719917	C₂×D₄	1	8	yes	—
124	C₂×#88322	—	2	4	no	—
125	Dic₂₁₂	—	4	2	no	—
126	Dic₂₁₂	—	4	2	no	—
127	D₄₂₄	—	4	2	no	—
128	D₄₂₄	—	4	2	no	—
129	#11719913	—	4	8	no	—
130	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
131	C₂³×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
132	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
133	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
134	C₂²×D₅₃	—	8	4	no	—
135	Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
136	Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
137	D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
138	D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
139	D₄×C₅₃	—	4	4	no	—
140	D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
141	D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
142	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
143	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
144	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
145	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
146	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	2	yes	—
147	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	2	yes	—
148	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
149	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
152	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
153	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
154	D₂₁₂	—	4	2	no	—
155	D₂₁₂	—	4	2	no	—
156	D₂₁₂	—	4	4	no	—
157	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
158	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
159	Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
160	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
161	C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
162	C₈×C₅₃	#127	1	2	yes	—
163	C₈×C₅₃	#127	1	2	yes	—
164	#88322	—	2	8	no	—
165	#28496	—	53	1	no	maximal, Sylow
166	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
167	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
168	C₂²×C₅₃	—	4	4	no	—
169	C₂²×C₅₃	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
170	C₂²×C₅₃	#550	1	2	yes	—
171	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
172	C₂×D₅₃	—	8	4	no	—
173	C₂×D₅₃	—	16	4	no	—
174	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
175	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
176	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
177	C₄×C₅₃	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
178	C₄×C₅₃	#535	1	1	yes	characteristic
179	C₄×C₅₃	D₄²	1	2	yes	—
180	Dic₅₃	—	8	2	no	—
181	#3153	—	53	2	no	—
182	C₂×#495	—	53	1	no	—
183	C₂×#473	—	53	2	no	—
184	C₂×#472	—	53	2	no	—
185	#2931	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
186	#2019	—	53	4	no	—
187	#1967	—	53	2	no	—
188	C₄×#108	—	53	1	no	—
189	C₂×C₅₃	—	2	2	no	—
190	C₂×C₅₃	—	8	2	no	—
191	C₂×C₅₃	#2541	1	1	yes	characteristic
192	C₂×C₅₃	#3067	1	2	yes	—
193	D₅₃	—	16	2	no	—
194	C₂×#137	—	53	4	no	—
195	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	53	4	no	—
196	C₂²×Q₁₆	—	53	1	no	—
197	C₂²×SD₁₆	—	53	2	no	—
198	C₂²×D₈	—	53	1	no	—
199	C₂×#131	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
200	#532	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
201	C₂×#124	—	53	2	no	—
202	#497	—	106	2	no	—
203	#496	—	106	2	no	—
204	#495	—	106	4	no	—
205	#495	—	106	2	no	—
206	#495	—	106	2	no	—
207	#473	—	106	8	no	—
208	#472	—	106	8	no	—
209	#436	—	2	2	no	—
210	C₈×D₄	—	2	2	no	—
211	C₂×#108	—	53	2	no	—
212	#423	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
213	C₂×#101	—	53	4	no	—
214	C₂×#100	—	53	4	no	—
215	#408	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
216	C₄×M₁₆	—	53	2	no	—
217	C₂×C₄×C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
218	#341	—	53	2	no	—
219	C₅₃	#28496	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
220	C₂×#41	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
221	C₂²×Q₈	—	53	2	no	—
222	C₂²×D₄	—	53	2	no	—
223	#137	—	106	8	no	—
224	#137	—	212	4	no	—
225	AGL(1,ℤ/8)	—	106	8	no	—
226	AGL(1,ℤ/8)	—	212	4	no	—
227	C₂×Q₁₆	—	106	4	no	—
228	C₂×Q₁₆	—	106	4	no	—
229	C₂×Q₁₆	—	106	1	no	—
230	C₂×Q₁₆	—	106	1	no	—
231	C₂×SD₁₆	—	106	4	no	—
232	C₂×SD₁₆	—	106	4	no	—
233	C₂×SD₁₆	—	106	4	no	—
234	C₂×SD₁₆	—	212	4	no	—
235	C₂×D₈	—	106	4	no	—
236	C₂×D₈	—	106	4	no	—
237	C₂×D₈	—	106	1	no	—
238	C₂×D₈	—	106	1	no	—
239	#131	—	2	4	no	—
240	#131	—	2	4	no	—
241	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
242	C₂×M₁₆	—	53	4	no	—
243	C₂×M₁₆	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
244	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
245	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
246	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
247	C₄⋊Q₈	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
248	#127	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
249	#124	—	106	2	no	—
250	#124	—	106	2	no	—
251	#124	—	106	4	no	—
252	#124	D₂₁₂	1	2	yes	—
253	#121	—	2	2	no	—
254	C₄×D₄	—	2	2	no	—
255	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
256	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
257	#108	—	53	8	no	—
258	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
259	#101	—	106	8	no	—
260	#100	—	106	8	no	—
261	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
262	#97	—	106	2	no	—
263	C₄×C₈	—	106	2	no	—
264	C₄×C₈	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
265	C₄×C₈	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
266	C₂⁴	—	106	2	no	—
267	#41	—	2	2	no	—
268	#41	—	2	2	no	—
269	#41	—	2	2	no	—
270	#41	—	2	2	no	—
271	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
272	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
273	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
274	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
275	C₂×Q₈	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
276	C₂×D₄	—	2	2	no	—
277	C₂×D₄	—	2	2	no	—
278	C₂×D₄	—	106	4	no	—
279	C₂×D₄	—	106	2	no	—
280	C₂×D₄	—	106	2	no	—
281	C₂×D₄	—	106	4	no	—
282	C₂×D₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
283	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
284	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
285	C₂²×C₄	#11719945	1	2	yes	—
286	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
287	Q₁₆	—	212	8	no	—
288	Q₁₆	—	212	2	no	—
289	Q₁₆	—	212	2	no	—
290	SD₁₆	—	212	8	no	—
291	SD₁₆	—	212	8	no	—
292	SD₁₆	—	212	8	no	—
293	D₈	—	212	8	no	—
294	D₈	—	212	2	no	—
295	D₈	—	212	2	no	—
296	M₁₆	—	2	2	no	—
297	M₁₆	—	2	2	no	—
298	M₁₆	—	4	4	no	—
299	M₁₆	—	53	8	no	—
300	M₁₆	—	106	4	no	—
301	C₂×C₈	—	2	2	no	—
302	C₂×C₈	—	2	2	no	—
303	C₂×C₈	—	4	4	no	—
304	C₂×C₈	—	106	4	no	—
305	C₂×C₈	D₄×D₅₃	1	4	yes	—
306	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
307	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
308	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
309	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
310	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
311	C₂²⋊C₄	—	212	4	no	—
312	C₂²⋊C₄	—	212	4	no	—
313	C₄²	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
314	C₄²	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
315	C₄²	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
316	C₂³	—	2	2	no	—
317	C₂³	—	424	4	no	—
318	C₂³	—	212	4	no	—
319	C₂³	—	212	2	no	—
320	C₂³	C₂×#11719945	1	1	yes	characteristic
321	Q₈	—	2	2	no	—
322	Q₈	—	2	2	no	—
323	Q₈	—	212	2	no	—
324	Q₈	—	212	2	no	—
325	Q₈	—	212	4	no	—
326	D₄	—	2	2	no	—
327	D₄	—	2	2	no	—
328	D₄	—	4	4	no	—
329	D₄	—	4	2	no	—
330	D₄	—	4	2	no	—
331	D₄	—	212	2	no	—
332	D₄	—	212	2	no	—
333	D₄	—	212	4	no	—
334	C₂×C₄	—	2	2	no	—
335	C₂×C₄	—	4	2	no	—
336	C₂×C₄	—	4	2	no	—
337	C₂×C₄	—	4	2	no	—
338	C₂×C₄	—	212	4	no	—
339	C₂×C₄	—	212	2	no	—
340	C₂×C₄	#13133191	1	2	yes	—
341	C₂×C₄	#13133191	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	2	yes	—
343	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
344	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	#13133263	1	2	yes	—
346	C₈	—	2	2	no	—
347	C₈	—	4	2	no	—
348	C₈	—	106	8	no	—
349	C₈	#13133213	1	2	yes	—
350	C₈	#13133213	1	2	yes	—
351	C₂²	—	2	2	no	—
352	C₂²	—	4	4	no	—
353	C₂²	—	4	2	no	—
354	C₂²	—	848	4	no	—
355	C₂²	—	424	4	no	—
356	C₂²	—	424	2	no	—
357	C₂²	C₂×#13133191	1	1	yes	characteristic
358	C₂²	#16811294	1	2	yes	—
359	C₄	—	2	2	no	—
360	C₄	—	2	2	no	—
361	C₄	—	4	2	no	—
362	C₄	—	424	2	no	—
363	C₄	C₂×#13133213	1	1	yes	characteristic
364	C₄	#16811187	1	1	yes	characteristic
365	C₄	D₄×D₂₁₂	1	2	yes	—
366	C₂	—	2	2	no	—
367	C₂	—	8	2	no	—
368	C₂	—	848	2	no	—
369	C₂	#20279661	1	1	yes	characteristic
370	C₂	#20284435	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂×#13133191
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#2931	C₂
socle	C₂²×C₅₃	C₂×#121
hypercenter	#2931	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#28496
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ #2931

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #20285183	C₂	semidirect
2. C₂×#16811007	C₂	semidirect
3. C₂×#16810898	C₂	semidirect
4. C₂×#16810893	C₂	semidirect
5. #20275830	C₂	semidirect
6. #20275562	C₂	semidirect
7. C₄×#13133153	C₂	semidirect
8. C₅₃×#2931	C₂	semidirect
57. #13133153	D₄	semidirect
185. #2931	D₅₃	semidirect
219. C₅₃	#28496	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20285183	2
C₂×#16811007	2
C₂×#16810898	2
C₂×#16810893	2
#20275830	2
#20275562	2
C₄×#13133153	2
C₅₃×#2931	2
#28496	53