Subgroups — #27475949

Order 13568.

1106 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 306 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20285167	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂×#16811000	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#16810894	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#20283428	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#20275825	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#20275555	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	C₄×#108×C₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂×#13133245	C₂²	1	8	yes	—
9	C₂²×D₄₂₄	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂²×D₄₂₄	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#13133223	C₂²	1	2	yes	—
12	#16811173	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#13133214	C₂²	1	2	yes	—
14	#16811012	—	2	4	no	—
15	#16811000	—	2	2	no	—
16	#16811000	—	2	2	no	—
17	#16811000	—	2	2	no	—
18	#16810996	—	2	2	no	—
19	#16810894	—	2	16	no	—
20	#16810702	—	2	2	no	—
21	C₈×D₂₁₂	—	2	2	no	—
22	#16810647	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₂×#13133133	C₂²	1	8	yes	—
24	#16810589	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#108×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
26	C₄×M₁₆×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×C₄×C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₅₃×#341	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#11719945	C₂³	1	2	yes	—
30	C₂²×D₂₁₂	—	2	4	no	—
31	C₂²×D₂₁₂	C₂³	1	4	yes	—
32	#13133245	—	2	16	no	—
33	#13133245	—	4	8	no	—
34	C₂×#11719913	—	2	8	no	—
35	C₂×D₄₂₄	—	2	8	no	—
36	C₂×D₄₂₄	—	2	4	no	—
37	C₂×D₄₂₄	—	2	2	no	—
38	C₂×D₄₂₄	—	2	2	no	—
39	C₂×D₄₂₄	—	2	8	no	—
40	C₂×D₄₂₄	—	4	4	no	—
41	#13133223	—	2	8	no	—
42	C₂×#11719917	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂×#11719912	—	2	2	no	—
44	C₂×C₈×D₅₃	—	2	2	no	—
45	#13133217	D₄	1	1	yes	characteristic
46	#13133214	—	2	2	no	—
47	#13133214	—	2	2	no	—
48	#13133214	—	2	4	no	—
49	#13133214	D₄	1	1	yes	characteristic
50	#13133205	D₄	1	2	yes	—
51	#13133191	—	2	2	no	—
52	C₄×D₂₁₂	—	2	2	no	—
53	C₄⋊#88322	—	2	2	no	—
54	#13133133	—	2	16	no	—
55	#13133129	—	2	4	no	—
56	C₂×M₁₆×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
57	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	#108×C₅₃	D₄	1	8	yes	complemented
61	#97×C₅₃	—	2	2	no	—
62	C₄×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
63	C₄×C₈×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
64	C₄×C₈×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
65	C₂³×D₅₃	—	2	4	no	—
66	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
67	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
68	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	2	2	no	—
69	#11719945	—	2	4	no	—
70	#11719945	—	2	4	no	—
71	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
72	C₂×D₂₁₂	—	2	8	no	—
73	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
74	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
75	C₂×D₂₁₂	—	2	8	no	—
76	C₂×D₂₁₂	—	4	4	no	—
77	C₂×D₂₁₂	—	4	4	no	—
78	C₂×D₂₁₂	—	8	8	no	—
79	C₂×D₂₁₂	C₂×D₄	1	2	yes	—
80	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
81	C₂×Dic₁₀₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
82	M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
83	M₁₆×C₅₃	C₂×D₄	1	8	yes	—
84	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
85	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
86	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
87	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
88	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
89	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
90	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
91	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
92	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
93	#11719921	—	2	4	no	—
94	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
95	#11719917	—	2	4	no	—
96	C₂×#88322	—	2	2	no	—
97	D₄₂₄	—	4	16	no	—
98	D₄₂₄	—	4	8	no	—
99	D₄₂₄	—	4	4	no	—
100	D₄₂₄	—	4	4	no	—
101	#11719913	—	4	16	no	—
102	#11719912	—	4	4	no	—
103	C₈×D₅₃	—	4	4	no	—
104	C₂³×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
105	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
106	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
107	C₂²×D₅₃	—	4	8	no	—
108	C₂²×D₅₃	—	8	8	no	—
109	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
110	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	2	yes	—
111	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	2	yes	—
112	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
113	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
114	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
115	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
116	C₂²⋊D₅₃	—	4	4	no	—
117	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
118	D₂₁₂	—	2	4	no	—
119	D₂₁₂	—	4	4	no	—
120	D₂₁₂	—	4	4	no	—
121	D₂₁₂	—	4	8	no	—
122	D₂₁₂	—	4	4	no	—
123	D₂₁₂	—	8	8	no	—
124	D₂₁₂	—	8	8	no	—
125	C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
126	C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
127	Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
128	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
129	C₈×C₅₃	—	2	8	no	—
130	C₈×C₅₃	#127	1	2	yes	—
131	C₈×C₅₃	#127	1	2	yes	—
132	#88322	—	4	2	no	—
133	#28497	—	53	1	no	maximal, Sylow
134	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
135	C₂²×C₅₃	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
136	C₂²×C₅₃	#550	1	2	yes	—
137	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
138	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
139	C₂×D₅₃	—	8	4	no	—
140	C₂×D₅₃	—	8	8	no	—
141	C₂×D₅₃	—	16	8	no	—
142	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
143	C₄×C₅₃	#472	1	4	yes	complemented
144	C₄×C₅₃	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
145	C₄×C₅₃	#535	1	1	yes	characteristic
146	C₄×C₅₃	D₄²	1	2	yes	—
147	Dic₅₃	—	4	2	no	—
148	#3151	—	53	2	no	—
149	C₂×#493	—	53	1	no	—
150	C₂×#472	—	53	4	no	—
151	#2931	—	53	1	no	—
152	#2018	—	53	4	no	—
153	#1965	—	53	2	no	—
154	C₄×#108	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
155	C₂×C₅₃	—	2	2	no	—
156	C₂×C₅₃	#2541	1	1	yes	characteristic
157	C₂×C₅₃	C₂×#472	1	2	yes	—
158	D₅₃	—	8	2	no	—
159	D₅₃	—	16	4	no	—
160	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	53	8	no	—
161	C₂²×D₈	—	53	2	no	—
162	C₂²×D₈	—	53	2	no	—
163	C₂×#131	—	53	2	no	—
164	#532	—	53	1	no	—
165	C₂×#127	—	53	2	no	—
166	#496	—	106	4	no	—
167	#493	—	106	2	no	—
168	#493	—	106	2	no	—
169	#493	—	106	2	no	—
170	#492	—	106	2	no	—
171	#472	—	106	16	no	—
172	#436	—	106	2	no	—
173	C₈×D₄	—	106	2	no	—
174	C₂×#108	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
175	#423	—	53	1	no	—
176	C₂×#100	—	53	8	no	—
177	#408	—	53	2	no	—
178	C₄×M₁₆	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
179	C₂×C₄×C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
180	#341	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
181	C₅₃	#28497	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
182	C₂×#41	—	53	2	no	—
183	C₂²×D₄	—	53	4	no	—
184	C₂²×D₄	—	106	4	no	—
185	AGL(1,ℤ/8)	—	106	16	no	—
186	AGL(1,ℤ/8)	—	212	8	no	—
187	C₂×SD₁₆	—	106	8	no	—
188	C₂×D₈	—	106	8	no	—
189	C₂×D₈	—	106	8	no	—
190	C₂×D₈	—	106	4	no	—
191	C₂×D₈	—	106	2	no	—
192	C₂×D₈	—	106	2	no	—
193	C₂×D₈	—	212	4	no	—
194	#131	—	106	8	no	—
195	C₂×M₁₆	—	53	2	no	—
196	C₂×M₁₆	—	106	2	no	—
197	C₂×M₁₆	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
198	C₂²×C₈	—	106	2	no	—
199	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
200	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
201	C₄⋊Q₈	—	53	1	no	—
202	#127	—	53	1	no	—
203	#127	—	106	4	no	—
204	#127	—	106	2	no	—
205	#127	—	106	2	no	—
206	#124	—	53	2	no	—
207	#121	—	106	2	no	—
208	C₄×D₄	—	106	2	no	—
209	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
210	#108	D₂₁₂	1	8	yes	complemented
211	C₄⋊C₈	—	106	2	no	—
212	#100	—	106	16	no	—
213	C₂²⋊C₈	—	106	4	no	—
214	#97	—	2	2	no	—
215	C₄×C₈	—	2	2	no	—
216	C₄×C₈	D₂₁₂	1	2	yes	—
217	C₄×C₈	D₂₁₂	1	2	yes	—
218	C₂⁴	—	106	4	no	—
219	#41	—	106	4	no	—
220	#41	—	106	4	no	—
221	C₂×Q₈	—	53	2	no	—
222	C₂×D₄	—	53	2	no	—
223	C₂×D₄	—	106	2	no	—
224	C₂×D₄	—	106	2	no	—
225	C₂×D₄	—	106	4	no	—
226	C₂×D₄	—	106	8	no	—
227	C₂×D₄	—	106	4	no	—
228	C₂×D₄	—	106	8	no	—
229	C₂×D₄	—	424	8	no	—
230	C₂×D₄	—	212	4	no	—
231	C₂×D₄	—	212	4	no	—
232	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
233	C₂²×C₄	#11719949	1	2	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
235	SD₁₆	—	212	16	no	—
236	D₈	—	212	16	no	—
237	D₈	—	212	8	no	—
238	D₈	—	212	4	no	—
239	D₈	—	212	4	no	—
240	M₁₆	—	2	4	no	—
241	M₁₆	—	106	4	no	—
242	M₁₆	—	212	4	no	—
243	M₁₆	C₂×D₂₁₂	1	8	yes	—
244	C₂×C₈	—	2	4	no	—
245	C₂×C₈	—	2	2	no	—
246	C₂×C₈	—	106	2	no	—
247	C₂×C₈	—	212	4	no	—
248	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
249	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
250	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
251	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	4	yes	—
252	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
253	C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
254	C₄²	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
255	C₄²	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
256	C₄²	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
257	C₂³	—	106	2	no	—
258	C₂³	—	424	8	no	—
259	C₂³	—	212	8	no	—
260	C₂³	—	212	4	no	—
261	C₂³	C₂×#11719949	1	1	yes	characteristic
262	Q₈	—	106	4	no	—
263	D₄	—	106	4	no	—
264	D₄	—	424	8	no	—
265	D₄	—	424	8	no	—
266	D₄	—	212	4	no	—
267	D₄	—	212	4	no	—
268	D₄	—	212	4	no	—
269	D₄	—	212	4	no	—
270	D₄	—	212	8	no	—
271	C₂×C₄	—	2	4	no	—
272	C₂×C₄	—	106	2	no	—
273	C₂×C₄	—	212	2	no	—
274	C₂×C₄	—	212	2	no	—
275	C₂×C₄	#13133192	1	2	yes	—
276	C₂×C₄	#13133192	1	2	yes	—
277	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
278	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
279	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	2	yes	—
280	C₂×C₄	#13133263	1	2	yes	—
281	C₈	—	2	2	no	—
282	C₈	—	2	8	no	—
283	C₈	—	212	2	no	—
284	C₈	#13133214	1	2	yes	—
285	C₈	#13133214	1	2	yes	—
286	C₂²	—	2	2	no	—
287	C₂²	—	848	8	no	—
288	C₂²	—	424	8	no	—
289	C₂²	—	424	4	no	—
290	C₂²	—	212	4	no	—
291	C₂²	—	212	2	no	—
292	C₂²	C₂×#13133192	1	1	yes	characteristic
293	C₂²	#16811295	1	2	yes	—
294	C₄	—	2	2	no	—
295	C₄	—	212	2	no	—
296	C₄	#16810894	1	4	yes	complemented
297	C₄	C₂×#13133214	1	1	yes	characteristic
298	C₄	#16811192	1	1	yes	characteristic
299	C₄	D₄×D₂₁₂	1	2	yes	—
300	C₂	—	2	2	no	—
301	C₂	—	848	4	no	—
302	C₂	—	424	2	no	—
303	C₂	#20279657	1	1	yes	characteristic
304	C₂	C₂×#16810894	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂×#13133192
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₄×#108×C₅₃	C₂
socle	C₂²×C₅₃	C₂×#121
hypercenter	C₄×#108	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#28497
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ C₄×#108

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #20285167	C₂	semidirect
2. C₂×#16811000	C₂	semidirect
3. C₂×#16810894	C₂	semidirect
4. #20283428	C₂	semidirect
5. #20275825	C₂	semidirect
6. #20275555	C₂	semidirect
7. C₄×#108×C₅₃	C₂	semidirect
60. #108×C₅₃	D₄	semidirect
143. C₄×C₅₃	#472	semidirect
154. C₄×#108	D₅₃	semidirect
181. C₅₃	#28497	semidirect
210. #108	D₂₁₂	semidirect
296. C₄	#16810894	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20285167	2
C₂×#16811000	2
C₂×#16810894	2
#20283428	2
#20275825	2
#20275555	2
C₄×#108×C₅₃	2
#28497	53