Subgroups — #27475952

Order 13568.

1106 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 402 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20285167	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#20285165	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#16810999	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#16810892	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#20283426	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#20275823	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#20275554	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₄×#13133152	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₅₃×#1965	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#13133245	C₂²	1	4	yes	—
11	C₂×#13133243	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂²×#11719922	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×#11719922	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#13133225	C₂²	1	2	yes	—
15	#16811173	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#13133214	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#16811012	—	2	2	no	—
18	#16811010	—	2	2	no	—
19	#16811000	—	2	1	no	—
20	#16810999	—	2	1	no	—
21	#16810999	—	2	2	no	—
22	#16810999	—	2	2	no	—
23	#16810996	—	2	1	no	—
24	#16810995	—	2	1	no	—
25	#16810892	—	2	16	no	—
26	#16810700	—	2	2	no	—
27	#16810688	—	2	2	no	—
28	C₂×#13133152	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#13133133	C₂²	1	4	yes	—
30	#16810591	C₂²	1	2	yes	—
31	C₄×#11719917	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×C₄×#88322	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#16810387	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×#127×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₅₃×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂×#100×C₅₃	C₂²	1	4	yes	—
37	C₄×M₁₆×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₂×#11719945	C₂³	1	2	yes	—
39	C₂²×D₂₁₂	—	2	2	no	—
40	C₂²×D₂₁₂	C₂³	1	2	yes	—
41	#13133245	—	2	8	no	—
42	#13133245	—	4	4	no	—
43	#13133243	—	2	8	no	—
44	#13133243	—	4	4	no	—
45	C₂×#11719913	—	2	4	no	—
46	C₂×#11719923	—	2	4	no	—
47	C₂×D₄₂₄	—	2	4	no	—
48	C₂×#11719922	—	2	8	no	—
49	C₂×#11719922	—	2	4	no	—
50	C₂×#11719922	—	2	2	no	—
51	C₂×#11719922	—	2	2	no	—
52	C₂×#11719922	—	2	4	no	—
53	C₂×#11719922	—	4	4	no	—
54	#13133225	—	2	8	no	—
55	C₂×#11719917	C₂³	1	2	yes	—
56	C₂×#11719912	—	2	2	no	—
57	C₂²×#88322	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂²×#88322	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂×C₈×D₅₃	—	2	2	no	—
60	#13133217	D₄	1	1	yes	characteristic
61	#13133214	—	2	1	no	—
62	#13133214	—	2	1	no	—
63	#13133214	—	2	2	no	—
64	#13133214	D₄	1	1	yes	characteristic
65	#13133205	D₄	1	2	yes	—
66	#13133191	—	2	2	no	—
67	C₄×D₂₁₂	—	2	2	no	—
68	#13133152	D₄	1	8	yes	complemented
69	#13133133	—	2	8	no	—
70	#13133129	—	2	4	no	—
71	#13133128	—	2	1	no	—
72	C₄×#88322	—	2	1	no	—
73	C₄×#88322	D₄	1	2	yes	—
74	C₄×#88322	D₄	1	2	yes	—
75	C₂²×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
76	C₂²×D₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂×M₁₆×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
78	C₂×M₁₆×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
79	#127×C₅₃	—	2	1	no	—
80	#127×C₅₃	—	2	1	no	—
81	#127×C₅₃	—	2	2	no	—
82	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₄⋊C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
84	#100×C₅₃	—	2	8	no	—
85	#97×C₅₃	—	2	1	no	—
86	C₄×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
87	C₂⁴×C₅₃	—	2	2	no	—
88	C₂³×D₅₃	—	2	2	no	—
89	C₂×D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
90	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
91	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
92	C₂×D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
93	C₂×D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
94	C₂×D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
95	C₂×D₄×C₅₃	—	8	4	no	—
96	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
97	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
98	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	2	2	no	—
99	#11719945	—	2	4	no	—
100	#11719945	—	2	4	no	—
101	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
102	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
103	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
104	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
105	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
106	C₂×D₂₁₂	—	4	2	no	—
107	C₂×D₂₁₂	—	4	2	no	—
108	C₂×D₂₁₂	—	8	4	no	—
109	C₂×D₂₁₂	C₂×D₄	1	2	yes	—
110	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
111	C₂×Dic₁₀₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
112	M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
113	M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
114	M₁₆×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
115	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
116	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
117	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
118	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
119	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
120	#11719923	—	4	8	no	—
121	#11719922	—	4	8	no	—
122	#11719922	—	4	8	no	—
123	#11719922	—	4	4	no	—
124	#11719922	—	4	4	no	—
125	#11719921	—	2	4	no	—
126	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
127	#11719917	—	2	2	no	—
128	#11719917	C₂×D₄	1	4	yes	—
129	C₂×#88322	—	2	2	no	—
130	C₂×#88322	—	2	2	no	—
131	C₂×#88322	C₂×D₄	1	2	yes	—
132	C₂×#88322	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
133	C₂×#88322	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
134	C₂×#88322	C₂×D₄	1	4	yes	—
135	D₄₂₄	—	4	8	no	—
136	#11719913	—	4	8	no	—
137	#11719912	—	4	4	no	—
138	C₈×D₅₃	—	4	4	no	—
139	C₂³×C₅₃	—	4	2	no	—
140	C₂³×C₅₃	—	4	4	no	—
141	C₂³×C₅₃	—	8	4	no	—
142	C₂³×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
143	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
144	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
145	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
146	C₂²×D₅₃	—	8	4	no	—
147	D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
148	D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
149	D₄×C₅₃	—	4	4	no	—
150	D₄×C₅₃	—	8	4	no	—
151	D₄×C₅₃	—	8	4	no	—
152	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
153	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	2	yes	—
154	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	2	yes	—
155	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
156	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
157	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
158	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
159	C₂²⋊D₅₃	—	4	4	no	—
160	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
161	D₂₁₂	—	2	4	no	—
162	D₂₁₂	—	4	2	no	—
163	D₂₁₂	—	4	2	no	—
164	D₂₁₂	—	4	4	no	—
165	D₂₁₂	—	4	4	no	—
166	D₂₁₂	—	8	4	no	—
167	D₂₁₂	—	8	4	no	—
168	C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
169	C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
170	Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
171	C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
172	C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
173	#88322	—	2	2	no	—
174	#88322	—	2	4	no	—
175	#88322	#127	1	2	yes	—
176	#88322	#127	1	2	yes	—
177	#28497	—	53	1	no	maximal, Sylow
178	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
179	C₂²×C₅₃	—	8	2	no	—
180	C₂²×C₅₃	—	8	4	no	—
181	C₂²×C₅₃	—	16	4	no	—
182	C₂²×C₅₃	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
183	C₂²×C₅₃	#550	1	2	yes	—
184	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
185	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
186	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
187	C₂×D₅₃	—	8	4	no	—
188	C₂×D₅₃	—	16	4	no	—
189	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
190	C₄×C₅₃	#472	1	4	yes	complemented
191	C₄×C₅₃	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
192	C₄×C₅₃	#535	1	1	yes	characteristic
193	C₄×C₅₃	D₄²	1	2	yes	—
194	Dic₅₃	—	4	2	no	—
195	#3151	—	53	1	no	—
196	#3151	—	53	1	no	—
197	C₂×#493	—	53	1	no	—
198	C₂×#472	—	53	4	no	—
199	#2931	—	53	1	no	—
200	#2018	—	53	4	no	—
201	#1965	—	53	1	no	—
202	#1965	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
203	C₄×#108	—	53	1	no	—
204	C₂×C₅₃	—	2	2	no	—
205	C₂×C₅₃	—	16	2	no	—
206	C₂×C₅₃	#2541	1	1	yes	characteristic
207	C₂×C₅₃	C₂×#472	1	2	yes	—
208	D₅₃	—	8	2	no	—
209	D₅₃	—	16	2	no	—
210	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	53	4	no	—
211	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	53	4	no	—
212	C₂²×D₈	—	53	2	no	—
213	C₂²×D₈	—	53	2	no	—
214	C₂×#131	—	53	2	no	—
215	#532	—	53	1	no	—
216	C₂×#127	—	53	1	no	—
217	C₂×#127	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
218	#496	—	106	2	no	—
219	#496	—	106	2	no	—
220	#493	—	106	1	no	—
221	#493	—	106	2	no	—
222	#493	—	106	2	no	—
223	#493	—	106	1	no	—
224	#492	—	106	1	no	—
225	#492	—	106	1	no	—
226	#472	—	106	16	no	—
227	#436	—	106	2	no	—
228	C₈×D₄	—	106	2	no	—
229	C₂×#108	—	53	2	no	—
230	#423	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
231	C₂×#100	—	53	4	no	—
232	C₂×#100	C₂×D₅₃	1	4	yes	—
233	#408	—	53	2	no	—
234	C₄×M₁₆	—	53	1	no	—
235	C₄×M₁₆	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
236	C₂×C₄×C₈	—	53	1	no	—
237	#341	—	53	2	no	—
238	C₅₃	#28497	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
239	C₂×#41	—	53	2	no	—
240	C₂²×D₄	—	2	2	no	—
241	C₂²×D₄	—	53	2	no	—
242	C₂²×D₄	—	106	2	no	—
243	C₂²×D₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
244	AGL(1,ℤ/8)	—	106	8	no	—
245	AGL(1,ℤ/8)	—	106	8	no	—
246	AGL(1,ℤ/8)	—	212	4	no	—
247	AGL(1,ℤ/8)	—	212	4	no	—
248	C₂×SD₁₆	—	106	4	no	—
249	C₂×SD₁₆	—	106	4	no	—
250	C₂×D₈	—	106	4	no	—
251	C₂×D₈	—	106	8	no	—
252	C₂×D₈	—	106	2	no	—
253	C₂×D₈	—	106	2	no	—
254	C₂×D₈	—	106	4	no	—
255	C₂×D₈	—	106	4	no	—
256	C₂×D₈	—	212	4	no	—
257	#131	—	106	8	no	—
258	C₂×M₁₆	—	53	2	no	—
259	C₂×M₁₆	—	106	2	no	—
260	C₂×M₁₆	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
261	C₂×M₁₆	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
262	C₂²×C₈	—	53	1	no	—
263	C₂²×C₈	—	53	1	no	—
264	C₂²×C₈	—	106	2	no	—
265	C₄⋊Q₈	—	53	1	no	—
266	#127	—	2	1	no	—
267	#127	—	2	2	no	—
268	#127	—	2	1	no	—
269	#127	—	53	1	no	—
270	#127	—	106	1	no	—
271	#127	—	106	2	no	—
272	#127	—	106	1	no	—
273	#124	—	53	2	no	—
274	#121	—	106	2	no	—
275	C₄×D₄	—	106	2	no	—
276	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
277	#108	—	53	8	no	—
278	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
279	#100	—	2	8	no	—
280	#100	—	106	8	no	—
281	C₂²⋊C₈	—	106	4	no	—
282	#97	—	2	1	no	—
283	#97	—	106	1	no	—
284	C₄×C₈	—	2	1	no	—
285	C₄×C₈	—	53	2	no	—
286	C₄×C₈	—	53	2	no	—
287	C₄×C₈	—	106	1	no	—
288	C₂⁴	—	2	2	no	—
289	C₂⁴	—	106	2	no	—
290	#41	—	106	4	no	—
291	#41	—	106	4	no	—
292	C₂×Q₈	—	53	2	no	—
293	C₂×D₄	—	2	4	no	—
294	C₂×D₄	—	2	2	no	—
295	C₂×D₄	—	2	2	no	—
296	C₂×D₄	—	2	4	no	—
297	C₂×D₄	—	4	2	no	—
298	C₂×D₄	—	4	2	no	—
299	C₂×D₄	—	8	4	no	—
300	C₂×D₄	—	53	2	no	—
301	C₂×D₄	—	106	2	no	—
302	C₂×D₄	—	106	2	no	—
303	C₂×D₄	—	106	4	no	—
304	C₂×D₄	—	106	2	no	—
305	C₂×D₄	—	106	2	no	—
306	C₂×D₄	—	106	4	no	—
307	C₂×D₄	—	424	4	no	—
308	C₂×D₄	—	212	2	no	—
309	C₂×D₄	—	212	2	no	—
310	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
311	C₂²×C₄	#11719945	1	2	yes	—
312	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
313	SD₁₆	—	212	8	no	—
314	SD₁₆	—	212	8	no	—
315	D₈	—	212	8	no	—
316	D₈	—	212	4	no	—
317	D₈	—	212	4	no	—
318	D₈	—	212	8	no	—
319	D₈	—	212	8	no	—
320	M₁₆	—	2	2	no	—
321	M₁₆	—	2	4	no	—
322	M₁₆	—	53	4	no	—
323	M₁₆	—	106	2	no	—
324	M₁₆	—	212	4	no	—
325	M₁₆	D₄×D₅₃	1	4	yes	—
326	C₂×C₈	—	2	2	no	—
327	C₂×C₈	—	2	2	no	—
328	C₂×C₈	—	53	1	no	—
329	C₂×C₈	—	53	1	no	—
330	C₂×C₈	—	53	4	no	—
331	C₂×C₈	—	53	2	no	—
332	C₂×C₈	—	106	2	no	—
333	C₂×C₈	—	106	2	no	—
334	C₂×C₈	—	212	4	no	—
335	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
336	C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
337	C₄²	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
338	C₄²	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
339	C₄²	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
340	C₂³	—	4	2	no	—
341	C₂³	—	4	4	no	—
342	C₂³	—	8	4	no	—
343	C₂³	—	106	2	no	—
344	C₂³	—	424	4	no	—
345	C₂³	—	212	4	no	—
346	C₂³	—	212	2	no	—
347	C₂³	C₂×#11719945	1	1	yes	characteristic
348	Q₈	—	106	4	no	—
349	D₄	—	4	2	no	—
350	D₄	—	4	2	no	—
351	D₄	—	4	4	no	—
352	D₄	—	8	4	no	—
353	D₄	—	8	4	no	—
354	D₄	—	106	4	no	—
355	D₄	—	424	4	no	—
356	D₄	—	424	4	no	—
357	D₄	—	212	4	no	—
358	D₄	—	212	4	no	—
359	D₄	—	212	2	no	—
360	D₄	—	212	2	no	—
361	D₄	—	212	4	no	—
362	C₂×C₄	—	2	4	no	—
363	C₂×C₄	—	106	2	no	—
364	C₂×C₄	—	212	2	no	—
365	C₂×C₄	—	212	2	no	—
366	C₂×C₄	#13133190	1	2	yes	—
367	C₂×C₄	#13133190	1	2	yes	—
368	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
369	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	2	yes	—
370	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
371	C₂×C₄	#13133263	1	2	yes	—
372	C₈	—	2	4	no	—
373	C₈	—	4	2	no	—
374	C₈	—	53	2	no	—
375	C₈	—	53	2	no	—
376	C₈	—	106	2	no	—
377	C₈	—	106	4	no	—
378	C₂²	—	2	2	no	—
379	C₂²	—	8	4	no	—
380	C₂²	—	8	2	no	—
381	C₂²	—	16	4	no	—
382	C₂²	—	848	4	no	—
383	C₂²	—	424	4	no	—
384	C₂²	—	424	2	no	—
385	C₂²	—	212	4	no	—
386	C₂²	—	212	2	no	—
387	C₂²	C₂×#13133190	1	1	yes	characteristic
388	C₂²	#16811294	1	2	yes	—
389	C₄	—	2	2	no	—
390	C₄	—	212	2	no	—
391	C₄	#16810892	1	4	yes	complemented
392	C₄	#127×D₅₃	1	1	yes	characteristic
393	C₄	#16811191	1	1	yes	characteristic
394	C₄	#16811257	1	2	yes	—
395	C₂	—	2	2	no	—
396	C₂	—	16	2	no	—
397	C₂	—	848	2	no	—
398	C₂	—	424	2	no	—
399	C₂	#20279660	1	1	yes	characteristic
400	C₂	C₂×#16810892	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂×#13133190
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#1965	C₂
socle	C₂²×C₅₃	C₂×#121
hypercenter	#1965	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#28497
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ #1965

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #20285167	C₂	semidirect
2. #20285165	C₂	semidirect
3. C₂×#16810999	C₂	semidirect
4. C₂×#16810892	C₂	semidirect
5. #20283426	C₂	semidirect
6. #20275823	C₂	semidirect
7. #20275554	C₂	semidirect
8. C₄×#13133152	C₂	semidirect
9. C₅₃×#1965	C₂	semidirect
68. #13133152	D₄	semidirect
190. C₄×C₅₃	#472	semidirect
202. #1965	D₅₃	semidirect
238. C₅₃	#28497	semidirect
391. C₄	#16810892	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20285167	2
#20285165	2
C₂×#16810999	2
C₂×#16810892	2
#20283426	2
#20275823	2
#20275554	2
C₄×#13133152	2
C₅₃×#1965	2
#28497	53