Subgroups — #27475953

Order 13568.

1106 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 306 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20285168	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂×#16811000	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#16810893	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
4	#20275824	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#20275554	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	C₄×#13133153	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₅₃×#2931	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂×#13133242	C₂²	1	8	yes	—
9	C₂²×D₄₂₄	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂²×D₄₂₄	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#13133214	C₂²	1	2	yes	—
12	#16811013	—	2	4	no	—
13	#16811000	—	2	2	no	—
14	#16811000	—	2	2	no	—
15	#16810999	—	2	2	no	—
16	#16810997	—	2	2	no	—
17	#16810893	—	2	16	no	—
18	C₂×#13133153	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#13133133	C₂²	1	8	yes	—
20	C₄×#11719917	C₂²	1	2	yes	—
21	#16810388	C₂²	1	2	yes	—
22	C₂×#131×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
23	C₅₃×#532	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	C₅₃×#436	—	2	2	no	—
25	C₈×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
26	C₅₃×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	C₅₃×#408	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×C₄×C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂²×D₂₁₂	—	2	4	no	—
30	C₂²×D₂₁₂	C₂³	1	4	yes	—
31	#13133242	—	2	16	no	—
32	#13133242	—	4	8	no	—
33	C₂×#11719924	—	2	8	no	—
34	C₂×D₄₂₄	—	2	8	no	—
35	C₂×D₄₂₄	—	2	4	no	—
36	C₂×D₄₂₄	—	2	2	no	—
37	C₂×D₄₂₄	—	2	2	no	—
38	C₂×D₄₂₄	—	4	4	no	—
39	C₂×#11719922	—	2	8	no	—
40	C₂×#11719917	C₂³	1	4	yes	—
41	#13133214	—	2	2	no	—
42	#13133214	—	2	2	no	—
43	#13133214	—	2	4	no	—
44	#13133153	D₄	1	8	yes	complemented
45	#13133133	—	2	16	no	—
46	#13133128	—	2	2	no	—
47	C₄×#88322	—	2	2	no	—
48	C₂×#41×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
49	#131×C₅₃	—	2	8	no	—
50	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
51	C₂×M₁₆×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
52	C₂²×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
53	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₄⋊Q₈×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
56	#127×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
57	#124×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
58	#121×C₅₃	—	2	2	no	—
59	C₄×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
60	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₄⋊C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
62	C₂²⋊C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
63	C₄×C₈×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
64	C₄×C₈×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
65	C₂³×D₅₃	—	2	4	no	—
66	#41×C₅₃	—	2	4	no	—
67	#41×C₅₃	—	2	4	no	—
68	C₂×Q₈×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
69	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
70	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
71	C₂×D₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
72	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
73	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
74	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
75	C₂×D₂₁₂	—	2	8	no	—
76	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
77	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
78	C₂×D₂₁₂	—	2	8	no	—
79	C₂×D₂₁₂	—	4	4	no	—
80	C₂×D₂₁₂	—	4	4	no	—
81	C₂×D₂₁₂	—	8	8	no	—
82	M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
83	M₁₆×C₅₃	—	4	4	no	—
84	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
85	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
86	C₂×C₈×C₅₃	—	4	4	no	—
87	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
88	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
89	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
90	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
91	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
92	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
93	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
94	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
95	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
96	#11719924	—	4	16	no	—
97	#11719922	—	4	16	no	—
98	#11719917	—	2	4	no	—
99	#11719917	C₂×D₄	1	8	yes	—
100	C₂×#88322	—	2	4	no	—
101	D₄₂₄	—	4	8	no	—
102	D₄₂₄	—	4	4	no	—
103	D₄₂₄	—	4	4	no	—
104	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
105	C₂³×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
106	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
107	C₂²×D₅₃	—	4	8	no	—
108	C₂²×D₅₃	—	8	8	no	—
109	Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
110	D₄×C₅₃	—	2	4	no	—
111	D₄×C₅₃	—	4	4	no	—
112	D₄×C₅₃	—	4	4	no	—
113	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
114	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
115	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
116	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
117	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	2	yes	—
118	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	2	yes	—
119	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
120	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
122	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
123	D₂₁₂	—	4	4	no	—
124	D₂₁₂	—	4	4	no	—
125	D₂₁₂	—	4	8	no	—
126	D₂₁₂	—	8	8	no	—
127	D₂₁₂	—	8	8	no	—
128	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
129	C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
130	C₈×C₅₃	#127	1	2	yes	—
131	C₈×C₅₃	#127	1	2	yes	—
132	#88322	—	2	8	no	—
133	#28497	—	53	1	no	maximal, Sylow
134	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
135	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
136	C₂²×C₅₃	—	4	4	no	—
137	C₂²×C₅₃	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
138	C₂²×C₅₃	#550	1	2	yes	—
139	C₂×D₅₃	—	8	4	no	—
140	C₂×D₅₃	—	8	8	no	—
141	C₂×D₅₃	—	16	8	no	—
142	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
143	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
144	C₄×C₅₃	#472	1	4	yes	complemented
145	C₄×C₅₃	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
146	C₄×C₅₃	#535	1	1	yes	characteristic
147	C₄×C₅₃	D₄²	1	2	yes	—
148	#3151	—	53	2	no	—
149	C₂×#493	—	53	1	no	—
150	C₂×#472	—	53	4	no	—
151	#2931	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
152	#2018	—	53	4	no	—
153	#1965	—	53	2	no	—
154	C₄×#108	—	53	1	no	—
155	C₂×C₅₃	—	2	2	no	—
156	C₂×C₅₃	—	8	2	no	—
157	C₂×C₅₃	#2541	1	1	yes	characteristic
158	C₂×C₅₃	C₂×#472	1	2	yes	—
159	D₅₃	—	16	4	no	—
160	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	53	8	no	—
161	C₂²×D₈	—	53	2	no	—
162	C₂²×D₈	—	53	2	no	—
163	C₂×#131	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
164	#532	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
165	C₂×#127	—	53	2	no	—
166	#496	—	106	4	no	—
167	#493	—	106	2	no	—
168	#493	—	106	2	no	—
169	#493	—	106	2	no	—
170	#492	—	106	2	no	—
171	#472	—	106	16	no	—
172	#436	—	2	2	no	—
173	C₈×D₄	—	2	2	no	—
174	C₂×#108	—	53	2	no	—
175	#423	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
176	C₂×#100	—	53	8	no	—
177	#408	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
178	C₄×M₁₆	—	53	2	no	—
179	C₂×C₄×C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
180	#341	—	53	2	no	—
181	C₅₃	#28497	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
182	C₂×#41	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
183	C₂²×D₄	—	53	4	no	—
184	C₂²×D₄	—	106	4	no	—
185	AGL(1,ℤ/8)	—	106	16	no	—
186	AGL(1,ℤ/8)	—	212	8	no	—
187	C₂×SD₁₆	—	106	8	no	—
188	C₂×D₈	—	106	8	no	—
189	C₂×D₈	—	106	8	no	—
190	C₂×D₈	—	106	4	no	—
191	C₂×D₈	—	106	2	no	—
192	C₂×D₈	—	106	2	no	—
193	C₂×D₈	—	212	4	no	—
194	#131	—	2	8	no	—
195	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
196	C₂×M₁₆	—	53	4	no	—
197	C₂×M₁₆	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
198	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
199	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
200	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
201	C₄⋊Q₈	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
202	#127	—	106	2	no	—
203	#127	—	106	2	no	—
204	#127	—	106	4	no	—
205	#127	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
206	#124	D₂₁₂	1	2	yes	—
207	#121	—	2	2	no	—
208	C₄×D₄	—	2	2	no	—
209	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
210	#108	—	53	8	no	—
211	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
212	#100	—	106	16	no	—
213	C₂²⋊C₈	—	2	4	no	—
214	#97	—	106	2	no	—
215	C₄×C₈	—	106	2	no	—
216	C₄×C₈	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
217	C₄×C₈	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
218	C₂⁴	—	106	4	no	—
219	#41	—	2	4	no	—
220	#41	—	2	4	no	—
221	C₂×Q₈	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
222	C₂×D₄	—	2	2	no	—
223	C₂×D₄	—	2	2	no	—
224	C₂×D₄	—	106	8	no	—
225	C₂×D₄	—	106	4	no	—
226	C₂×D₄	—	106	4	no	—
227	C₂×D₄	—	106	8	no	—
228	C₂×D₄	—	424	8	no	—
229	C₂×D₄	—	212	4	no	—
230	C₂×D₄	—	212	4	no	—
231	C₂×D₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
232	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
233	C₂²×C₄	#11719945	1	2	yes	—
234	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
235	SD₁₆	—	212	16	no	—
236	D₈	—	212	8	no	—
237	D₈	—	212	16	no	—
238	D₈	—	212	4	no	—
239	D₈	—	212	4	no	—
240	M₁₆	—	2	4	no	—
241	M₁₆	—	4	4	no	—
242	M₁₆	—	53	8	no	—
243	M₁₆	—	106	4	no	—
244	C₂×C₈	—	2	2	no	—
245	C₂×C₈	—	2	2	no	—
246	C₂×C₈	—	4	4	no	—
247	C₂×C₈	—	106	4	no	—
248	C₂×C₈	D₄×D₅₃	1	4	yes	—
249	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
250	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
251	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
252	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
253	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
254	C₄²	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
255	C₄²	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
256	C₄²	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
257	C₂³	—	2	2	no	—
258	C₂³	—	424	8	no	—
259	C₂³	—	212	8	no	—
260	C₂³	—	212	4	no	—
261	C₂³	C₂×#11719945	1	1	yes	characteristic
262	Q₈	—	2	4	no	—
263	D₄	—	2	4	no	—
264	D₄	—	4	4	no	—
265	D₄	—	4	4	no	—
266	D₄	—	424	8	no	—
267	D₄	—	424	8	no	—
268	D₄	—	212	4	no	—
269	D₄	—	212	4	no	—
270	D₄	—	212	8	no	—
271	C₂×C₄	—	2	4	no	—
272	C₂×C₄	—	2	2	no	—
273	C₂×C₄	—	4	2	no	—
274	C₂×C₄	—	4	2	no	—
275	C₂×C₄	#13133191	1	2	yes	—
276	C₂×C₄	#13133191	1	2	yes	—
277	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	2	yes	—
278	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
279	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
280	C₂×C₄	#13133263	1	2	yes	—
281	C₈	—	2	2	no	—
282	C₈	—	4	2	no	—
283	C₈	—	106	8	no	—
284	C₈	#13133213	1	2	yes	—
285	C₈	#13133213	1	2	yes	—
286	C₂²	—	2	2	no	—
287	C₂²	—	4	4	no	—
288	C₂²	—	4	2	no	—
289	C₂²	—	848	8	no	—
290	C₂²	—	424	8	no	—
291	C₂²	—	424	4	no	—
292	C₂²	C₂×#13133191	1	1	yes	characteristic
293	C₂²	#16811294	1	2	yes	—
294	C₄	—	2	2	no	—
295	C₄	—	4	2	no	—
296	C₄	#16810893	1	4	yes	complemented
297	C₄	C₂×#13133213	1	1	yes	characteristic
298	C₄	#16811187	1	1	yes	characteristic
299	C₄	D₄×D₂₁₂	1	2	yes	—
300	C₂	—	2	2	no	—
301	C₂	—	8	2	no	—
302	C₂	—	848	4	no	—
303	C₂	#20279661	1	1	yes	characteristic
304	C₂	C₂×#16810893	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂×#13133191
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#2931	C₂
socle	C₂²×C₅₃	C₂×#121
hypercenter	#2931	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#28497
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ #2931

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #20285168	C₂	semidirect
2. C₂×#16811000	C₂	semidirect
3. C₂×#16810893	C₂	semidirect
4. #20275824	C₂	semidirect
5. #20275554	C₂	semidirect
6. C₄×#13133153	C₂	semidirect
7. C₅₃×#2931	C₂	semidirect
44. #13133153	D₄	semidirect
144. C₄×C₅₃	#472	semidirect
151. #2931	D₅₃	semidirect
181. C₅₃	#28497	semidirect
296. C₄	#16810893	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20285168	2
C₂×#16811000	2
C₂×#16810893	2
#20275824	2
#20275554	2
C₄×#13133153	2
C₅₃×#2931	2
#28497	53