Subgroups — #27475959

Order 13568.

1002 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 374 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20285174	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20285172	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	C₂×#16811002	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	C₂×#16810897	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#20283426	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#20275835	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#20275558	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₄×#13133152	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₅₃×#1966	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#13133250	C₂²	1	4	yes	—
11	C₂×#13133248	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂²×#11719925	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×#11719925	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#13133225	C₂²	1	2	yes	—
15	#16811173	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#13133217	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#16811017	—	2	2	no	—
18	#16811015	—	2	2	no	—
19	#16811003	—	2	1	no	—
20	#16811002	—	2	1	no	—
21	#16811002	—	2	2	no	—
22	#16811002	—	2	2	no	—
23	#16810997	—	2	1	no	—
24	#16810996	—	2	1	no	—
25	#16810897	—	2	16	no	—
26	#16810700	—	2	2	no	—
27	#16810688	—	2	2	no	—
28	C₂×#13133152	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#13133135	C₂²	1	4	yes	—
30	#16810591	C₂²	1	2	yes	—
31	C₄×#11719917	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₂×C₄×#88322	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#16810387	C₂²	1	2	yes	—
34	C₂×C₄⋊Q₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₅₃×#423	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₂×#101×C₅₃	C₂²	1	4	yes	—
37	C₄×M₁₆×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₂×#11719945	C₂³	1	2	yes	—
39	C₂²×Dic₁₀₆	C₂³	1	2	yes	—
40	#13133250	—	2	8	no	—
41	#13133250	—	4	4	no	—
42	#13133248	—	2	8	no	—
43	#13133248	—	4	4	no	—
44	C₂×Dic₂₁₂	—	2	4	no	—
45	C₂×#11719925	—	2	8	no	—
46	C₂×#11719925	—	2	4	no	—
47	C₂×#11719925	—	2	2	no	—
48	C₂×#11719925	—	2	2	no	—
49	C₂×#11719925	—	2	4	no	—
50	C₂×#11719925	—	4	4	no	—
51	C₂×#11719913	—	2	4	no	—
52	C₂×#11719924	—	2	4	no	—
53	#13133225	—	2	8	no	—
54	C₂×#11719917	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂×#11719912	—	2	2	no	—
56	C₂²×#88322	C₂³	1	1	yes	characteristic
57	C₂²×#88322	C₂³	1	1	yes	characteristic
58	C₂×C₈×D₅₃	—	2	2	no	—
59	#13133217	—	2	1	no	—
60	#13133217	—	2	1	no	—
61	#13133217	—	2	2	no	—
62	#13133217	D₄	1	1	yes	characteristic
63	#13133214	D₄	1	1	yes	characteristic
64	#13133205	D₄	1	2	yes	—
65	#13133191	—	2	2	no	—
66	C₄×D₂₁₂	—	2	2	no	—
67	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
68	#13133152	D₄	1	8	yes	complemented
69	#13133135	—	2	8	no	—
70	#13133129	—	2	4	no	—
71	#13133128	—	2	1	no	—
72	C₄×#88322	—	2	1	no	—
73	C₄×#88322	D₄	1	2	yes	—
74	C₄×#88322	D₄	1	2	yes	—
75	C₂²×Q₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
76	C₂×M₁₆×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
77	C₂×M₁₆×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
78	C₄⋊Q₈×C₅₃	—	2	1	no	—
79	C₄⋊Q₈×C₅₃	—	2	1	no	—
80	C₄⋊Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
81	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
82	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
83	C₄⋊C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
84	#101×C₅₃	—	2	8	no	—
85	#97×C₅₃	—	2	1	no	—
86	C₄×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
87	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
88	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
89	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
90	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
91	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
92	C₂²×C₄×C₅₃	#41	1	2	yes	—
93	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
94	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	2	2	no	—
95	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
96	#11719945	—	2	4	no	—
97	#11719945	—	2	4	no	—
98	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
99	C₂×D₂₁₂	C₂×D₄	1	2	yes	—
100	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
101	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
102	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
103	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
104	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
105	C₂×Dic₁₀₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
106	M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
107	M₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
108	M₁₆×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
109	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
110	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
111	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
112	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
113	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
114	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
115	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
116	#11719925	—	4	8	no	—
117	#11719925	—	4	8	no	—
118	#11719925	—	4	4	no	—
119	#11719925	—	4	4	no	—
120	#11719924	—	4	8	no	—
121	#11719921	—	2	4	no	—
122	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
123	C₄⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
124	C₄⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
125	#11719917	—	2	2	no	—
126	#11719917	C₂×D₄	1	4	yes	—
127	C₂×#88322	—	2	2	no	—
128	C₂×#88322	—	2	2	no	—
129	C₂×#88322	C₂×D₄	1	2	yes	—
130	C₂×#88322	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
131	C₂×#88322	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
132	C₂×#88322	C₂×D₄	1	4	yes	—
133	Dic₂₁₂	—	4	8	no	—
134	#11719913	—	4	8	no	—
135	#11719912	—	4	4	no	—
136	C₈×D₅₃	—	4	4	no	—
137	C₂³×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
138	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
139	Q₈×C₅₃	—	4	2	no	—
140	Q₈×C₅₃	—	4	2	no	—
141	Q₈×C₅₃	—	4	4	no	—
142	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
143	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
144	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
145	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	2	yes	—
146	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	2	yes	—
147	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
148	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	2	yes	—
149	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
151	C₂²⋊D₅₃	—	4	4	no	—
152	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
153	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
154	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
155	D₂₁₂	—	2	4	no	—
156	D₂₁₂	—	4	4	no	—
157	C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
158	C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
159	Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
160	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
161	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
162	Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
163	C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
164	C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
165	#88322	—	2	2	no	—
166	#88322	—	2	4	no	—
167	#88322	#127	1	2	yes	—
168	#88322	#127	1	2	yes	—
169	#28498	—	53	1	no	maximal, Sylow
170	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
171	C₂²×C₅₃	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
172	C₂²×C₅₃	#550	1	2	yes	—
173	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
174	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
175	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
176	C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
177	C₄×C₅₃	#473	1	4	yes	complemented
178	C₄×C₅₃	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
179	C₄×C₅₃	#535	1	1	yes	characteristic
180	C₄×C₅₃	D₄²	1	2	yes	—
181	Dic₅₃	—	4	2	no	—
182	Dic₅₃	—	8	2	no	—
183	#3152	—	53	1	no	—
184	#3152	—	53	1	no	—
185	C₂×#494	—	53	1	no	—
186	C₂×#473	—	53	4	no	—
187	#2931	—	53	1	no	—
188	#2020	—	53	4	no	—
189	#1966	—	53	1	no	—
190	#1966	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
191	C₄×#108	—	53	1	no	—
192	C₂×C₅₃	—	2	2	no	—
193	C₂×C₅₃	#2541	1	1	yes	characteristic
194	C₂×C₅₃	C₂×#473	1	2	yes	—
195	D₅₃	—	8	2	no	—
196	C₂×#137	—	53	4	no	—
197	C₂×#137	—	53	4	no	—
198	C₂²×Q₁₆	—	53	2	no	—
199	C₂²×Q₁₆	—	53	2	no	—
200	C₂×#131	—	53	2	no	—
201	#532	—	53	1	no	—
202	C₂×C₄⋊Q₈	—	53	1	no	—
203	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
204	#497	—	106	2	no	—
205	#497	—	106	2	no	—
206	#494	—	106	1	no	—
207	#494	—	106	2	no	—
208	#494	—	106	2	no	—
209	#494	—	106	1	no	—
210	#492	—	106	1	no	—
211	#492	—	106	1	no	—
212	#473	—	106	16	no	—
213	#436	—	106	2	no	—
214	C₈×D₄	—	106	2	no	—
215	C₂×#108	—	53	2	no	—
216	#423	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
217	C₂×#101	—	53	4	no	—
218	C₂×#101	C₂×D₅₃	1	4	yes	—
219	#408	—	53	2	no	—
220	C₄×M₁₆	—	53	1	no	—
221	C₄×M₁₆	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
222	C₂×C₄×C₈	—	53	1	no	—
223	#341	—	53	2	no	—
224	C₅₃	#28498	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
225	C₂×#41	—	53	2	no	—
226	C₂²×Q₈	—	53	2	no	—
227	C₂²×Q₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
228	#137	—	106	8	no	—
229	#137	—	106	8	no	—
230	#137	—	212	4	no	—
231	#137	—	212	4	no	—
232	C₂×Q₁₆	—	106	4	no	—
233	C₂×Q₁₆	—	106	8	no	—
234	C₂×Q₁₆	—	106	2	no	—
235	C₂×Q₁₆	—	106	2	no	—
236	C₂×Q₁₆	—	106	4	no	—
237	C₂×Q₁₆	—	106	4	no	—
238	C₂×Q₁₆	—	212	4	no	—
239	C₂×SD₁₆	—	106	4	no	—
240	C₂×SD₁₆	—	106	4	no	—
241	#131	—	106	8	no	—
242	C₂×M₁₆	—	53	2	no	—
243	C₂×M₁₆	—	106	2	no	—
244	C₂×M₁₆	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
245	C₂×M₁₆	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
246	C₂²×C₈	—	53	1	no	—
247	C₂²×C₈	—	53	1	no	—
248	C₂²×C₈	—	106	2	no	—
249	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
250	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
251	C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
252	C₄⋊Q₈	—	53	1	no	—
253	C₄⋊Q₈	—	106	1	no	—
254	C₄⋊Q₈	—	106	2	no	—
255	C₄⋊Q₈	—	106	1	no	—
256	#127	—	53	1	no	—
257	#124	—	53	2	no	—
258	#121	—	106	2	no	—
259	C₄×D₄	—	106	2	no	—
260	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
261	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
262	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
263	#108	—	53	8	no	—
264	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
265	#101	—	2	8	no	—
266	#101	—	106	8	no	—
267	C₂²⋊C₈	—	106	4	no	—
268	#97	—	2	1	no	—
269	#97	—	106	1	no	—
270	C₄×C₈	—	2	1	no	—
271	C₄×C₈	—	53	2	no	—
272	C₄×C₈	—	53	2	no	—
273	C₄×C₈	—	106	1	no	—
274	#41	—	106	4	no	—
275	#41	—	106	4	no	—
276	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
277	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
278	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
279	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
280	C₂×Q₈	—	53	2	no	—
281	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
282	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
283	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
284	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
285	C₂×D₄	—	53	2	no	—
286	C₂×D₄	—	106	2	no	—
287	C₂×D₄	—	106	2	no	—
288	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
289	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
290	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
291	C₂²×C₄	#11719945	1	2	yes	—
292	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
293	Q₁₆	—	212	8	no	—
294	Q₁₆	—	212	4	no	—
295	Q₁₆	—	212	4	no	—
296	Q₁₆	—	212	8	no	—
297	Q₁₆	—	212	8	no	—
298	SD₁₆	—	212	8	no	—
299	SD₁₆	—	212	8	no	—
300	M₁₆	—	2	2	no	—
301	M₁₆	—	2	4	no	—
302	M₁₆	—	53	4	no	—
303	M₁₆	—	106	2	no	—
304	M₁₆	—	212	4	no	—
305	M₁₆	D₄×D₅₃	1	4	yes	—
306	C₂×C₈	—	2	2	no	—
307	C₂×C₈	—	2	2	no	—
308	C₂×C₈	—	53	1	no	—
309	C₂×C₈	—	53	1	no	—
310	C₂×C₈	—	53	4	no	—
311	C₂×C₈	—	53	2	no	—
312	C₂×C₈	—	106	2	no	—
313	C₂×C₈	—	106	2	no	—
314	C₂×C₈	—	212	4	no	—
315	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
316	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
317	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
318	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
319	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
320	C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
321	C₄²	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
322	C₄²	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
323	C₄²	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
324	C₂³	—	106	2	no	—
325	C₂³	C₂×#11719945	1	1	yes	characteristic
326	Q₈	—	4	2	no	—
327	Q₈	—	4	2	no	—
328	Q₈	—	4	4	no	—
329	Q₈	—	106	4	no	—
330	Q₈	—	212	2	no	—
331	Q₈	—	212	2	no	—
332	Q₈	—	212	4	no	—
333	D₄	—	106	4	no	—
334	D₄	—	212	4	no	—
335	D₄	—	212	4	no	—
336	C₂×C₄	—	2	4	no	—
337	C₂×C₄	—	4	4	no	—
338	C₂×C₄	—	4	2	no	—
339	C₂×C₄	—	106	2	no	—
340	C₂×C₄	—	212	4	no	—
341	C₂×C₄	—	212	2	no	—
342	C₂×C₄	—	212	2	no	—
343	C₂×C₄	—	212	2	no	—
344	C₂×C₄	#13133190	1	2	yes	—
345	C₂×C₄	#13133190	1	2	yes	—
346	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
347	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	2	yes	—
348	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
349	C₂×C₄	#13133263	1	2	yes	—
350	C₈	—	2	4	no	—
351	C₈	—	4	2	no	—
352	C₈	—	53	2	no	—
353	C₈	—	53	2	no	—
354	C₈	—	106	2	no	—
355	C₈	—	106	4	no	—
356	C₂²	—	2	2	no	—
357	C₂²	—	212	4	no	—
358	C₂²	—	212	2	no	—
359	C₂²	C₂×#13133190	1	1	yes	characteristic
360	C₂²	#16811294	1	2	yes	—
361	C₄	—	2	2	no	—
362	C₄	—	8	2	no	—
363	C₄	—	424	2	no	—
364	C₄	—	212	2	no	—
365	C₄	#16810897	1	4	yes	complemented
366	C₄	#127×D₅₃	1	1	yes	characteristic
367	C₄	#16811191	1	1	yes	characteristic
368	C₄	#16811257	1	2	yes	—
369	C₂	—	2	2	no	—
370	C₂	—	424	2	no	—
371	C₂	#20279660	1	1	yes	characteristic
372	C₂	C₂×#16810897	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²	C₂×#13133190
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#1966	C₂
socle	C₂²×C₅₃	C₂×#121
prime radical	#16811173	C₂²
hypercenter	#1966	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#28498
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂×C₄² ◁ #1966

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
3. C₂×#16811002	C₂	semidirect
4. C₂×#16810897	C₂	semidirect
6. #20275835	C₂	semidirect
7. #20275558	C₂	semidirect
8. C₄×#13133152	C₂	semidirect
9. C₅₃×#1966	C₂	semidirect
68. #13133152	D₄	semidirect
177. C₄×C₅₃	#473	semidirect
190. #1966	D₅₃	semidirect
224. C₅₃	#28498	semidirect
365. C₄	#16810897	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20285174	2
#20285172	2
C₂×#16811002	2
C₂×#16810897	2
#20283426	2
#20275835	2
#20275558	2
C₄×#13133152	2
C₅₃×#1966	2
#28498	53