Subgroups — #27476020

Order 13568.

1126 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 380 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20285202	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
2	C₂×#16811000	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#16810893	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#20284363	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20275729	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	#20275623	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#20274594	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂×C₅₃×#443	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂×#13133242	C₂²	1	4	yes	—
10	C₂²×D₄₂₄	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂²×D₄₂₄	C₂²	1	2	yes	—
12	#16811187	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂×#13133214	C₂²	1	2	yes	—
14	#16811009	—	2	4	no	—
15	#16811008	—	2	2	no	—
16	#16811000	—	2	4	no	—
17	#16810998	—	2	2	no	—
18	#16810893	—	2	8	no	—
19	#16810876	—	2	4	no	—
20	#16810859	—	2	4	no	—
21	C₂×#13133153	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#16810661	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#16810629	C₂²	1	4	yes	—
24	C₂×#13133133	C₂²	1	4	yes	—
25	#16810578	C₂²	1	2	yes	—
26	#16810383	C₂²	1	2	yes	—
27	C₂×#135×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	C₂×#131×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
29	C₅₃×#443	—	2	4	no	—
30	C₂×#108×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×#104×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
32	C₂×C₄×C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂²×D₂₁₂	—	4	2	no	—
34	C₂²×D₂₁₂	C₂³	1	4	yes	—
35	#13133242	—	2	8	no	—
36	#13133242	—	4	4	no	—
37	C₂×#11719924	—	2	4	no	—
38	C₂×D₄₂₄	—	2	2	no	—
39	C₂×D₄₂₄	—	2	2	no	—
40	C₂×D₄₂₄	—	2	2	no	—
41	C₂×D₄₂₄	—	2	2	no	—
42	C₂×D₄₂₄	—	2	4	no	—
43	C₂×D₄₂₄	—	2	4	no	—
44	C₂×D₄₂₄	—	2	4	no	—
45	C₂×D₄₂₄	—	2	4	no	—
46	C₂×#11719922	—	2	4	no	—
47	C₂×#11719917	C₂³	1	2	yes	—
48	#13133214	—	2	4	no	—
49	#13133214	—	4	2	no	—
50	#13133213	—	2	4	no	—
51	#13133206	—	2	4	no	—
52	#13133191	—	2	8	no	—
53	#13133185	—	4	4	no	—
54	#13133176	C₂³	1	2	yes	—
55	#13133153	D₄	1	4	yes	complemented
56	#13133151	D₄	1	2	yes	complemented
57	#13133149	D₄	1	2	yes	complemented
58	#13133139	—	2	8	no	—
59	#13133133	—	2	8	no	—
60	#13133127	—	2	2	no	—
61	C₈×Dic₅₃	—	2	2	no	—
62	C₂×#41×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
63	#135×C₅₃	—	2	2	no	—
64	#135×C₅₃	—	2	2	no	—
65	C₂×Q₁₆×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic, complemented
66	C₂×SD₁₆×C₅₃	D₄	1	2	yes	complemented
67	C₂×D₈×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic, complemented
68	#131×C₅₃	—	2	4	no	—
69	#131×C₅₃	—	2	4	no	—
70	C₂×M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
71	C₂×M₁₆×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂²×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
73	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	#108×C₅₃	—	2	2	no	—
77	#104×C₅₃	—	2	4	no	—
78	C₄×C₈×C₅₃	D₄	1	4	yes	complemented
79	C₂³×D₅₃	—	2	4	no	—
80	#41×C₅₃	—	2	2	no	—
81	#41×C₅₃	—	2	2	no	—
82	#41×C₅₃	—	2	2	no	—
83	#41×C₅₃	—	2	2	no	—
84	C₂×Q₈×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
85	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
86	C₂×D₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
87	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
88	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
89	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
90	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	4	8	no	—
91	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
92	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
93	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
94	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
95	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
96	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
97	C₂×D₂₁₂	—	4	8	no	—
98	C₂×D₂₁₂	—	8	8	no	—
99	Q₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
100	SD₁₆×C₅₃	—	2	4	no	—
101	D₈×C₅₃	—	2	2	no	—
102	M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
103	M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
104	M₁₆×C₅₃	—	4	4	no	—
105	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
106	C₂×C₈×C₅₃	—	4	4	no	—
107	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
108	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
109	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
110	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
111	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
112	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
113	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
114	C₂×C₈×C₅₃	#41	1	2	yes	—
115	C₄²×C₅₃	—	2	1	no	—
116	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
117	C₂²⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
118	#11719924	—	4	8	no	—
119	#11719922	—	4	8	no	—
120	#11719921	—	4	8	no	—
121	C₄⋊Dic₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
122	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
123	#11719917	—	2	2	no	—
124	#11719917	C₂×D₄	1	4	yes	—
125	C₂×#88322	—	2	2	no	—
126	D₄₂₄	—	4	4	no	—
127	D₄₂₄	—	4	4	no	—
128	D₄₂₄	—	4	4	no	—
129	D₄₂₄	—	4	4	no	—
130	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
131	C₂³×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
132	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
133	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
134	C₂²×D₅₃	—	4	4	no	—
135	C₂²×D₅₃	—	8	8	no	—
136	Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
137	Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
138	D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
139	D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
140	D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
141	D₄×C₅₃	—	4	2	no	—
142	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
143	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
144	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
145	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
146	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
147	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
148	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
149	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
151	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
152	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
153	C₂²⋊D₅₃	—	16	8	no	—
154	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
155	D₂₁₂	—	4	4	no	—
156	D₂₁₂	—	4	4	no	—
157	D₂₁₂	—	4	4	no	—
158	D₂₁₂	—	4	4	no	—
159	D₂₁₂	—	8	16	no	—
160	C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
161	C₈×C₅₃	#121	1	2	yes	—
162	C₈×C₅₃	#121	1	2	yes	—
163	C₈×C₅₃	#127	1	2	yes	—
164	C₈×C₅₃	#127	1	2	yes	—
165	#88322	—	2	4	no	—
166	#28504	—	53	1	no	maximal, Sylow
167	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
168	C₂²×C₅₃	—	4	4	no	—
169	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
170	C₂²×C₅₃	#535	1	1	yes	characteristic
171	C₂²×C₅₃	D₄²	1	1	yes	characteristic
172	C₂²×C₅₃	#550	1	1	yes	characteristic
173	C₂×D₅₃	—	8	8	no	—
174	C₂×D₅₃	—	8	8	no	—
175	C₂×D₅₃	—	8	4	no	—
176	C₂×D₅₃	—	16	4	no	—
177	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
178	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
179	C₄×C₅₃	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
180	C₄×C₅₃	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
181	C₄×C₅₃	D₄²	1	1	yes	characteristic
182	C₄×C₅₃	#550	1	1	yes	characteristic
183	Dic₅₃	—	4	4	no	—
184	#3155	—	53	2	no	—
185	C₂×#493	—	53	1	no	—
186	C₂×#472	—	53	2	no	—
187	#3058	—	53	2	no	—
188	C₂×#443	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
189	#2002	—	53	4	no	—
190	#1978	—	53	2	no	—
191	#1772	—	53	1	no	—
192	C₂×C₅₃	—	2	1	no	—
193	C₂×C₅₃	—	2	1	no	—
194	C₂×C₅₃	—	8	2	no	—
195	C₂×C₅₃	#2541	1	1	yes	characteristic
196	C₂×C₅₃	#3292	1	2	yes	—
197	D₅₃	—	16	4	no	—
198	C₂×AGL(1,ℤ/8)	—	53	4	no	—
199	C₂×#135	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
200	C₂²×D₈	—	53	2	no	—
201	C₂²×D₈	—	53	2	no	—
202	C₂×#131	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
203	#535	—	53	4	no	—
204	C₂×#127	—	53	2	no	—
205	#496	—	106	4	no	—
206	#495	—	106	2	no	—
207	#493	—	106	2	no	—
208	#493	—	106	4	no	—
209	#472	—	106	8	no	—
210	#469	—	106	4	no	—
211	#466	—	106	4	no	—
212	#443	—	2	4	no	—
213	C₂×#108	—	53	1	no	—
214	C₂×#108	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
215	#427	—	53	1	no	—
216	C₂×#104	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
217	#418	—	53	4	no	—
218	C₂×#100	—	53	4	no	—
219	#405	—	53	2	no	—
220	C₂×C₄×C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
221	#339	—	53	2	no	—
222	C₅₃	#28504	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
223	C₂×#41	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
224	C₂²×D₄	—	53	4	no	—
225	C₂²×D₄	—	212	2	no	—
226	AGL(1,ℤ/8)	—	106	8	no	—
227	AGL(1,ℤ/8)	—	212	4	no	—
228	#135	—	2	2	no	—
229	#135	—	2	2	no	—
230	C₂×Q₁₆	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic, complemented
231	C₂×SD₁₆	—	106	4	no	—
232	C₂×SD₁₆	D₂₁₂	1	2	yes	complemented
233	C₂×D₈	—	106	4	no	—
234	C₂×D₈	—	106	2	no	—
235	C₂×D₈	—	106	2	no	—
236	C₂×D₈	—	106	4	no	—
237	C₂×D₈	—	106	2	no	—
238	C₂×D₈	—	106	2	no	—
239	C₂×D₈	—	106	4	no	—
240	C₂×D₈	—	106	4	no	—
241	C₂×D₈	—	106	4	no	—
242	C₂×D₈	D₂₁₂	1	1	yes	characteristic, complemented
243	#131	—	2	4	no	—
244	#131	—	2	4	no	—
245	C₂×M₁₆	—	2	2	no	—
246	C₂×M₁₆	—	53	2	no	—
247	C₂×M₁₆	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
248	C₂²×C₈	—	2	2	no	—
249	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
250	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
251	#127	—	106	4	no	—
252	#127	—	106	4	no	—
253	#127	—	212	2	no	—
254	#124	—	106	4	no	—
255	#121	—	106	8	no	—
256	#120	—	212	4	no	—
257	#117	—	53	2	no	—
258	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
259	#108	—	2	2	no	—
260	#108	—	53	4	no	—
261	#107	—	53	2	no	—
262	#106	—	53	2	no	—
263	#104	—	2	4	no	—
264	#102	—	106	8	no	—
265	#100	—	106	8	no	—
266	#97	—	106	2	no	—
267	C₄×C₈	—	106	2	no	—
268	C₄×C₈	C₂²⋊D₅₃	1	4	yes	complemented
269	C₂⁴	—	106	4	no	—
270	#41	—	2	2	no	—
271	#41	—	2	2	no	—
272	#41	—	2	2	no	—
273	#41	—	2	2	no	—
274	C₂×Q₈	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
275	C₂×D₄	—	2	2	no	—
276	C₂×D₄	—	106	4	no	—
277	C₂×D₄	—	106	4	no	—
278	C₂×D₄	—	106	4	no	—
279	C₂×D₄	—	106	4	no	—
280	C₂×D₄	—	106	4	no	—
281	C₂×D₄	—	106	4	no	—
282	C₂×D₄	—	424	8	no	—
283	C₂×D₄	—	212	8	no	—
284	C₂×D₄	—	212	8	no	—
285	C₂×D₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
286	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
287	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
288	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
289	Q₁₆	—	2	2	no	—
290	SD₁₆	—	2	4	no	—
291	SD₁₆	—	212	8	no	—
292	D₈	—	2	2	no	—
293	D₈	—	212	8	no	—
294	D₈	—	212	4	no	—
295	D₈	—	212	4	no	—
296	D₈	—	212	4	no	—
297	D₈	—	212	4	no	—
298	M₁₆	—	2	2	no	—
299	M₁₆	—	2	2	no	—
300	M₁₆	—	4	4	no	—
301	M₁₆	—	53	4	no	—
302	M₁₆	—	106	2	no	—
303	C₂×C₈	—	2	2	no	—
304	C₂×C₈	—	4	4	no	—
305	C₂×C₈	—	106	2	no	—
306	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
307	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
308	C₂×C₈	#11719945	1	2	yes	—
309	C₂×C₈	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
310	C₂×C₈	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
311	C₂×C₈	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
312	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
313	C₂×C₈	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
314	C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
315	C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
316	C₂²⋊C₄	—	212	8	no	—
317	C₄²	—	2	1	no	—
318	C₄²	—	106	2	no	—
319	C₄²	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
320	C₂³	—	2	2	no	—
321	C₂³	—	424	8	no	—
322	C₂³	—	212	4	no	—
323	C₂³	—	212	4	no	—
324	C₂³	—	212	4	no	—
325	C₂³	#13133263	1	1	yes	characteristic
326	Q₈	—	2	2	no	—
327	Q₈	—	2	2	no	—
328	D₄	—	2	2	no	—
329	D₄	—	2	2	no	—
330	D₄	—	4	2	no	—
331	D₄	—	4	2	no	—
332	D₄	—	848	8	no	—
333	D₄	—	424	16	no	—
334	D₄	—	212	4	no	—
335	D₄	—	212	4	no	—
336	D₄	—	212	4	no	—
337	D₄	—	212	4	no	—
338	C₂×C₄	—	2	4	no	—
339	C₂×C₄	—	2	2	no	—
340	C₂×C₄	—	2	2	no	—
341	C₂×C₄	—	4	2	no	—
342	C₂×C₄	—	4	2	no	—
343	C₂×C₄	—	106	4	no	—
344	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
346	C₂×C₄	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
347	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
348	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	1	yes	characteristic
349	C₂×C₄	#13133263	1	1	yes	characteristic
350	C₈	—	4	2	no	—
351	C₈	—	106	4	no	—
352	C₈	#13133191	1	2	yes	—
353	C₈	#13133191	1	2	yes	—
354	C₈	#13133213	1	2	yes	—
355	C₈	#13133213	1	2	yes	—
356	C₂²	—	2	2	no	—
357	C₂²	—	4	4	no	—
358	C₂²	—	4	2	no	—
359	C₂²	—	848	4	no	—
360	C₂²	—	424	8	no	—
361	C₂²	—	424	8	no	—
362	C₂²	—	424	4	no	—
363	C₂²	#16811187	1	1	yes	characteristic
364	C₂²	D₄×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
365	C₂²	#16811294	1	1	yes	characteristic
366	C₄	—	2	4	no	—
367	C₄	—	4	2	no	—
368	C₄	—	212	4	no	—
369	C₄	C₂×#13133191	1	1	yes	characteristic
370	C₄	C₂×#13133213	1	1	yes	characteristic
371	C₄	D₄×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
372	C₄	#16811294	1	1	yes	characteristic
373	C₂	—	2	1	no	—
374	C₂	—	2	1	no	—
375	C₂	—	8	2	no	—
376	C₂	—	848	4	no	—
377	C₂	#20279661	1	1	yes	characteristic
378	C₂	#20286515	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²	D₄×D₂₁₂
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₂×C₅₃×#443	C₂
socle	C₂²×C₅₃	D₄²
hypercenter	C₂×#443	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#28504
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×C₄ ◁ C₂×#443

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #20285202	C₂	semidirect
2. C₂×#16811000	C₂	semidirect
3. C₂×#16810893	C₂	semidirect
4. #20284363	C₂	semidirect
5. #20275729	C₂	semidirect
6. #20275623	C₂	semidirect
7. #20274594	C₂	semidirect
8. C₂×C₅₃×#443	C₂	semidirect
55. #13133153	D₄	semidirect
56. #13133151	D₄	semidirect
57. #13133149	D₄	semidirect
65. C₂×Q₁₆×C₅₃	D₄	semidirect
66. C₂×SD₁₆×C₅₃	D₄	semidirect
67. C₂×D₈×C₅₃	D₄	semidirect
78. C₄×C₈×C₅₃	D₄	semidirect
188. C₂×#443	D₅₃	semidirect
222. C₅₃	#28504	semidirect
230. C₂×Q₁₆	D₂₁₂	semidirect
232. C₂×SD₁₆	D₂₁₂	semidirect
242. C₂×D₈	D₂₁₂	semidirect
268. C₄×C₈	C₂²⋊D₅₃	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20285202	2
C₂×#16811000	2
C₂×#16810893	2
#20284363	2
#20275729	2
#20275623	2
#20274594	2
C₂×C₅₃×#443	2
#28504	53