Subgroups — #27476024

Order 13568.

998 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 364 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20285209	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂×#16811003	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	C₂×#16810899	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#20284371	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	C₂×#16810741	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#20275754	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
7	#20275630	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	C₅₃×#1772	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₂×#13133250	C₂²	1	4	yes	—
10	C₂×#13133239	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂²×Dic₂₁₂	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂²×Dic₂₁₂	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#13133223	C₂²	1	2	yes	—
14	#16811199	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂×#13133217	C₂²	1	2	yes	—
16	#16811017	—	2	4	no	—
17	#16811007	—	2	2	no	—
18	#16811003	—	2	2	no	—
19	#16811003	—	2	4	no	—
20	#16810899	—	2	8	no	—
21	#16810882	—	2	4	no	—
22	#16810865	—	2	4	no	—
23	#16810741	—	2	4	no	—
24	C₂×#13133153	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×#13133145	C₂²	1	2	yes	—
26	#16810631	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂×#13133135	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂×#108×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₅₃×#427	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₅₃×#405	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×C₄×C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₅₃×#339	C₂²	1	2	yes	—
33	C₂×#11719945	C₂³	1	2	yes	—
34	C₂²×Dic₁₀₆	C₂³	1	4	yes	—
35	#13133250	—	2	8	no	—
36	#13133250	—	4	4	no	—
37	#13133239	—	2	2	no	—
38	#13133239	—	2	2	no	—
39	C₂×Dic₂₁₂	—	2	2	no	—
40	C₂×Dic₂₁₂	—	2	2	no	—
41	C₂×Dic₂₁₂	—	2	2	no	—
42	C₂×Dic₂₁₂	—	2	4	no	—
43	C₂×Dic₂₁₂	—	2	4	no	—
44	C₂×Dic₂₁₂	—	2	4	no	—
45	C₂×Dic₂₁₂	—	2	2	no	—
46	C₂×Dic₂₁₂	—	2	4	no	—
47	C₂×Dic₂₁₂	—	2	4	no	—
48	C₂×Dic₂₁₂	D₄	1	1	yes	characteristic
49	C₂×#11719913	—	2	4	no	—
50	C₂×#11719913	D₄	1	2	yes	—
51	C₂×D₄₂₄	D₄	1	1	yes	characteristic
52	#13133223	—	2	4	no	—
53	#13133223	—	2	4	no	—
54	C₂×#11719917	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂×#11719912	—	2	2	no	—
56	C₂×C₈×D₅₃	—	2	2	no	—
57	#13133217	—	2	4	no	—
58	#13133217	—	2	4	no	—
59	#13133217	—	4	2	no	—
60	#13133205	—	2	4	no	—
61	#13133201	—	4	4	no	—
62	#13133197	—	2	8	no	—
63	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
64	#13133153	—	2	2	no	—
65	#13133145	—	2	4	no	—
66	#13133140	—	2	8	no	—
67	#13133135	—	2	8	no	—
68	C₂×M₁₆×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	#117×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	#108×C₅₃	D₄	1	4	yes	—
74	#107×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
75	#106×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
76	#97×C₅₃	—	2	2	no	—
77	C₄×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
78	C₄×C₈×C₅₃	D₄	1	4	yes	—
79	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
80	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
81	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	2	2	no	—
82	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
83	#11719945	—	2	2	no	—
84	#11719945	—	2	2	no	—
85	#11719945	—	2	2	no	—
86	#11719945	—	2	2	no	—
87	C₂×D₂₁₂	C₂×D₄	1	2	yes	—
88	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
89	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
90	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
91	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
92	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
93	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
94	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
95	C₂×Dic₁₀₆	C₂×D₄	1	2	yes	—
96	M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
97	M₁₆×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
98	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
99	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
100	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
101	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
102	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
103	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
104	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
105	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
106	C₂×C₈×C₅₃	#41	1	2	yes	—
107	C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	4	yes	—
108	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
109	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
110	C₄²×C₅₃	—	2	1	no	—
111	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
112	#11719921	—	4	8	no	—
113	C₄⋊Dic₅₃	—	4	8	no	—
114	C₄⋊Dic₅₃	—	4	8	no	—
115	#11719917	—	2	2	no	—
116	#11719917	—	2	2	no	—
117	C₂×#88322	—	2	2	no	—
118	Dic₂₁₂	—	2	2	no	—
119	Dic₂₁₂	—	4	8	no	—
120	Dic₂₁₂	—	4	4	no	—
121	Dic₂₁₂	—	4	4	no	—
122	Dic₂₁₂	—	4	4	no	—
123	Dic₂₁₂	—	4	4	no	—
124	D₄₂₄	—	2	2	no	—
125	#11719913	—	2	4	no	—
126	#11719913	—	4	8	no	—
127	#11719912	—	4	4	no	—
128	C₈×D₅₃	—	4	4	no	—
129	C₂³×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
130	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
131	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
132	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
133	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
134	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
135	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
136	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
137	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
138	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
139	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
140	C₂²⋊D₅₃	—	4	2	no	—
141	C₂²⋊D₅₃	—	4	2	no	—
142	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
143	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
144	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
145	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
146	D₂₁₂	—	2	2	no	—
147	D₂₁₂	—	2	2	no	—
148	C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
149	C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
150	Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
151	Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
152	Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
153	Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
154	Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
155	Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
156	C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
157	C₈×C₅₃	#121	1	2	yes	—
158	C₈×C₅₃	#121	1	2	yes	—
159	C₈×C₅₃	#127	1	2	yes	—
160	C₈×C₅₃	#127	1	2	yes	—
161	#88322	—	4	2	no	—
162	#28505	—	53	1	no	maximal, Sylow
163	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
164	C₂²×C₅₃	#535	1	1	yes	characteristic
165	C₂²×C₅₃	D₄²	1	1	yes	characteristic
166	C₂²×C₅₃	#550	1	1	yes	characteristic
167	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
168	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
169	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
170	C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
171	C₄×C₅₃	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
172	C₄×C₅₃	C₂×#127	1	1	yes	characteristic
173	C₄×C₅₃	D₄²	1	1	yes	characteristic
174	C₄×C₅₃	#550	1	1	yes	characteristic
175	Dic₅₃	—	4	2	no	—
176	Dic₅₃	—	8	4	no	—
177	#3156	—	53	2	no	—
178	C₂×#494	—	53	1	no	—
179	C₂×#473	—	53	2	no	—
180	#3059	—	53	2	no	—
181	C₂×#443	—	53	1	no	—
182	#2005	—	53	4	no	—
183	#1979	—	53	2	no	—
184	#1772	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
185	C₂×C₅₃	—	2	1	no	—
186	C₂×C₅₃	—	2	1	no	—
187	C₂×C₅₃	#2541	1	1	yes	characteristic
188	C₂×C₅₃	#3293	1	2	yes	—
189	D₅₃	—	8	2	no	—
190	C₂×#137	—	53	4	no	—
191	C₂×#135	—	53	1	no	—
192	C₂²×Q₁₆	—	53	2	no	—
193	C₂²×Q₁₆	—	53	2	no	—
194	C₂×#131	—	53	2	no	—
195	#536	—	53	4	no	—
196	C₂×C₄⋊Q₈	—	53	2	no	—
197	#497	—	106	4	no	—
198	#495	—	106	2	no	—
199	#494	—	106	2	no	—
200	#494	—	106	4	no	—
201	#473	—	106	8	no	—
202	#470	—	106	4	no	—
203	#467	—	106	4	no	—
204	#443	—	106	4	no	—
205	C₂×#108	—	53	1	no	—
206	C₂×#108	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
207	#427	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
208	C₂×#104	—	53	2	no	—
209	#419	—	53	4	no	—
210	C₂×#101	—	53	4	no	—
211	#405	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
212	C₂×C₄×C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
213	#339	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
214	C₅₃	#28505	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
215	C₂×#41	—	53	2	no	—
216	C₂²×Q₈	—	53	4	no	—
217	#137	—	106	8	no	—
218	#137	—	212	4	no	—
219	#135	—	106	2	no	—
220	#135	—	106	2	no	—
221	C₂×Q₁₆	—	53	1	no	—
222	C₂×Q₁₆	—	106	4	no	—
223	C₂×Q₁₆	—	106	2	no	—
224	C₂×Q₁₆	—	106	2	no	—
225	C₂×Q₁₆	—	106	4	no	—
226	C₂×Q₁₆	—	106	4	no	—
227	C₂×Q₁₆	—	106	4	no	—
228	C₂×Q₁₆	—	106	2	no	—
229	C₂×Q₁₆	—	106	2	no	—
230	C₂×Q₁₆	—	106	4	no	—
231	C₂×SD₁₆	—	53	2	no	—
232	C₂×SD₁₆	—	106	4	no	—
233	C₂×D₈	—	53	1	no	—
234	#131	—	106	4	no	—
235	#131	—	106	4	no	—
236	C₂×M₁₆	—	53	2	no	—
237	C₂×M₁₆	—	106	2	no	—
238	C₂×M₁₆	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
239	C₂²×C₈	—	106	2	no	—
240	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
241	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
242	C₄⋊Q₈	—	106	4	no	—
243	C₄⋊Q₈	—	106	4	no	—
244	C₄⋊Q₈	—	212	2	no	—
245	#124	—	106	4	no	—
246	#123	—	212	4	no	—
247	C₂²⋊Q₈	—	106	8	no	—
248	#117	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
249	C₂×C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
250	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
251	#108	—	106	2	no	—
252	#108	D₂₁₂	1	4	yes	—
253	#107	D₂₁₂	1	2	yes	—
254	#106	D₂₁₂	1	2	yes	—
255	#104	—	106	4	no	—
256	#103	—	106	8	no	—
257	#101	—	106	8	no	—
258	#97	—	2	2	no	—
259	C₄×C₈	—	2	2	no	—
260	C₄×C₈	D₂₁₂	1	4	yes	—
261	#41	—	106	2	no	—
262	#41	—	106	2	no	—
263	#41	—	106	2	no	—
264	#41	—	106	2	no	—
265	C₂×Q₈	—	53	2	no	—
266	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
267	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
268	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
269	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
270	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
271	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
272	C₂×D₄	—	53	2	no	—
273	C₂×D₄	—	106	2	no	—
274	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
275	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
276	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
277	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
278	Q₁₆	—	106	2	no	—
279	Q₁₆	—	212	8	no	—
280	Q₁₆	—	212	4	no	—
281	Q₁₆	—	212	4	no	—
282	Q₁₆	—	212	4	no	—
283	Q₁₆	—	212	4	no	—
284	SD₁₆	—	106	4	no	—
285	SD₁₆	—	212	8	no	—
286	D₈	—	106	2	no	—
287	M₁₆	—	2	2	no	—
288	M₁₆	—	106	2	no	—
289	M₁₆	—	106	2	no	—
290	M₁₆	—	212	4	no	—
291	M₁₆	C₂×D₂₁₂	1	4	yes	—
292	C₂×C₈	—	2	2	no	—
293	C₂×C₈	—	106	2	no	—
294	C₂×C₈	—	212	4	no	—
295	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
296	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
297	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
298	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
299	C₂×C₈	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
300	C₂×C₈	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
301	C₂×C₈	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
302	C₂×C₈	#11719949	1	2	yes	—
303	C₄⋊C₄	—	212	8	no	—
304	C₄⋊C₄	—	212	8	no	—
305	C₄⋊C₄	C₂×D₂₁₂	1	4	yes	—
306	C₂²⋊C₄	—	2	2	no	—
307	C₂²⋊C₄	—	212	8	no	—
308	C₄²	—	2	2	no	—
309	C₄²	—	2	1	no	—
310	C₄²	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
311	C₂³	—	106	2	no	—
312	C₂³	#13133263	1	1	yes	characteristic
313	Q₈	—	106	2	no	—
314	Q₈	—	106	2	no	—
315	Q₈	—	212	4	no	—
316	Q₈	—	212	4	no	—
317	Q₈	—	212	4	no	—
318	Q₈	—	212	4	no	—
319	D₄	—	106	2	no	—
320	D₄	—	106	2	no	—
321	D₄	—	212	2	no	—
322	D₄	—	212	2	no	—
323	C₂×C₄	—	2	4	no	—
324	C₂×C₄	—	2	2	no	—
325	C₂×C₄	—	2	4	no	—
326	C₂×C₄	—	106	2	no	—
327	C₂×C₄	—	212	4	no	—
328	C₂×C₄	—	212	4	no	—
329	C₂×C₄	—	212	4	no	—
330	C₂×C₄	—	212	2	no	—
331	C₂×C₄	—	212	2	no	—
332	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
333	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
334	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
335	C₂×C₄	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
336	C₂×C₄	C₂×#11719949	1	1	yes	characteristic
337	C₂×C₄	#13133263	1	1	yes	characteristic
338	C₈	—	2	4	no	—
339	C₈	—	212	2	no	—
340	C₈	#13133192	1	2	yes	—
341	C₈	#13133192	1	2	yes	—
342	C₈	#13133214	1	2	yes	—
343	C₈	#13133214	1	2	yes	—
344	C₂²	—	2	2	no	—
345	C₂²	—	212	4	no	—
346	C₂²	—	212	2	no	—
347	C₂²	#16811192	1	1	yes	characteristic
348	C₂²	D₄×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
349	C₂²	#16811295	1	1	yes	characteristic
350	C₄	—	2	4	no	—
351	C₄	—	4	4	no	—
352	C₄	—	424	4	no	—
353	C₄	—	212	2	no	—
354	C₄	C₂×#13133192	1	1	yes	characteristic
355	C₄	C₂×#13133214	1	1	yes	characteristic
356	C₄	D₄×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
357	C₄	#16811295	1	1	yes	characteristic
358	C₂	—	2	1	no	—
359	C₂	—	2	1	no	—
360	C₂	—	424	2	no	—
361	C₂	#20279657	1	1	yes	characteristic
362	C₂	#20286520	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²	D₄×D₂₁₂
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#1772	C₂
socle	C₂²×C₅₃	D₄²
prime radical	C₂×#13133239	C₂²
hypercenter	#1772	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#28505
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×C₄ ◁ #1772

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#16811003	C₂	semidirect
3. C₂×#16810899	C₂	semidirect
4. #20284371	C₂	semidirect
6. #20275754	C₂	semidirect
7. #20275630	C₂	semidirect
8. C₅₃×#1772	C₂	semidirect
184. #1772	D₅₃	semidirect
214. C₅₃	#28505	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20285209	2
C₂×#16811003	2
C₂×#16810899	2
#20284371	2
C₂×#16810741	2
#20275754	2
#20275630	2
C₅₃×#1772	2
#28505	53