Subgroups — #27477117

Order 13568.

780 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 434 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20284346	C₂	1	2	yes	maximal
2	C₂×#16810882	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
3	#20283417	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#20276161	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
5	#20275983	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#20275837	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#20275369	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#20275231	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#20275182	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#20274440	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₅₃×#2090	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#13133250	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂²×Dic₂₁₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#13133225	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂²×#11719912	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×M₁₆×D₅₃	C₂²	1	2	yes	—
17	#16811135	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×#13133197	C₂²	1	2	yes	—
19	#16810882	—	2	2	no	—
20	#16810882	—	2	2	no	—
21	#16810882	—	2	2	no	—
22	#16810870	—	2	2	no	—
23	#16810865	—	2	2	no	—
24	#16810853	—	2	2	no	—
25	#16810700	—	2	2	no	—
26	#16810693	—	2	2	no	—
27	#16810631	C₂²	1	2	yes	—
28	#16810622	C₂²	1	2	yes	—
29	C₂×#13133140	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×#13133135	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#13133135	C₂²	1	2	yes	—
32	#16810589	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#16810586	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	#16810579	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	#16810392	C₂²	1	2	yes	—
36	#16810388	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	#16810387	C₂²	1	2	yes	—
38	C₅₃×#428	C₂²	1	2	yes	—
39	C₂×#106×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
40	C₅₃×#424	C₂²	1	1	yes	characteristic
41	C₅₃×#343	C₂²	1	2	yes	—
42	C₅₃×#341	C₂²	1	1	yes	characteristic
43	C₂×#11719945	C₂³	1	1	yes	characteristic
44	C₂²×Dic₁₀₆	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂²×C₄×D₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
46	#13133250	—	2	4	no	—
47	#13133250	—	4	2	no	—
48	C₂×Dic₂₁₂	—	2	2	no	—
49	C₂×Dic₂₁₂	—	2	2	no	—
50	C₂×Dic₂₁₂	—	4	2	no	—
51	C₂×#11719913	—	2	2	no	—
52	#13133225	—	4	2	no	—
53	C₂×#11719917	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	C₂×#11719917	C₂³	1	2	yes	—
55	C₂×#11719912	—	2	1	no	—
56	C₂×#11719912	—	2	2	no	—
57	C₂×#11719912	—	4	2	no	—
58	C₂×#11719912	D₄	1	2	yes	—
59	C₂×#11719912	D₄	1	2	yes	—
60	M₁₆×D₅₃	—	2	4	no	—
61	M₁₆×D₅₃	—	4	2	no	—
62	C₂²×#88322	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂×C₈×D₅₃	—	2	1	no	—
64	C₂×C₈×D₅₃	—	2	2	no	—
65	#13133201	—	2	1	no	—
66	#13133197	—	2	2	no	—
67	#13133197	—	2	2	no	—
68	#13133197	—	2	2	no	—
69	#13133197	—	2	2	no	—
70	#13133197	D₄	1	2	yes	—
71	#13133192	D₄	1	2	yes	—
72	#13133187	—	2	1	no	—
73	C₄×D₂₁₂	—	2	2	no	—
74	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
75	C₂×#11719921	—	2	2	no	—
76	#13133140	—	2	2	no	—
77	#13133140	—	2	2	no	—
78	#13133140	—	2	2	no	—
79	#13133140	—	2	2	no	—
80	#13133140	—	2	2	no	—
81	#13133137	—	2	2	no	—
82	#13133135	—	2	4	no	—
83	#13133135	—	4	2	no	—
84	#13133129	—	2	2	no	—
85	#13133129	—	2	2	no	—
86	#13133128	—	2	1	no	—
87	C₄×#88322	—	2	1	no	—
88	C₂×M₁₆×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
89	C₂×M₁₆×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
90	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
91	#117×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
92	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
93	#107×C₅₃	—	2	2	no	—
94	#106×C₅₃	—	2	2	no	—
95	#106×C₅₃	—	2	2	no	—
96	C₄⋊C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
97	C₂³×D₅₃	#41	1	1	yes	characteristic
98	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
99	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
100	C₂×C₂²⋊D₅₃	—	2	1	no	—
101	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
102	C₂²×Dic₅₃	#41	1	1	yes	characteristic
103	#11719945	—	2	2	no	—
104	#11719945	—	2	2	no	—
105	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
106	C₂×D₂₁₂	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
107	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
108	C₂×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
109	C₂×C₄×D₅₃	—	2	1	no	—
110	C₂×C₄×D₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
111	C₂×C₄×D₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
112	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
113	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
114	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
115	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
116	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
117	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
118	C₂×Dic₁₀₆	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
119	M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
120	M₁₆×C₅₃	—	2	2	no	—
121	M₁₆×C₅₃	#41	1	4	yes	—
122	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
123	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
124	C₂×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
125	C₂×C₈×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
126	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
127	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
128	C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
129	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
130	C₄²×C₅₃	—	2	1	no	—
131	#11719921	—	2	2	no	—
132	#11719921	—	2	2	no	—
133	#11719921	—	4	2	no	—
134	#11719921	—	4	2	no	—
135	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
136	C₄⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
137	C₄⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
138	#11719917	—	2	2	no	—
139	#11719917	—	2	2	no	—
140	#11719917	—	2	2	no	—
141	C₂×#88322	—	2	2	no	—
142	C₂×#88322	—	2	1	no	—
143	C₂×#88322	—	2	2	no	—
144	C₂×#88322	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
145	C₂×#88322	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
146	Dic₂₁₂	—	4	4	no	—
147	Dic₂₁₂	—	4	4	no	—
148	#11719913	—	4	4	no	—
149	#11719912	—	4	2	no	—
150	#11719912	—	4	2	no	—
151	#11719912	—	4	2	no	—
152	#11719912	—	4	4	no	—
153	C₈×D₅₃	—	4	2	no	—
154	C₈×D₅₃	—	4	4	no	—
155	C₂³×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
156	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
157	C₂²×D₅₃	—	2	1	no	—
158	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
159	C₂²×D₅₃	#121	1	2	yes	—
160	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
161	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
162	C₂×C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
163	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
164	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
165	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
166	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
167	C₂²⋊D₅₃	—	4	2	no	—
168	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
169	C₂×Dic₅₃	—	2	1	no	—
170	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
171	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
172	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
173	C₂×Dic₅₃	#121	1	2	yes	—
174	D₂₁₂	—	2	2	no	—
175	D₂₁₂	—	8	2	no	—
176	C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
177	C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
178	C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
179	C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
180	C₄×D₅₃	—	4	1	no	—
181	C₄×D₅₃	—	4	1	no	—
182	Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
183	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
184	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
185	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
186	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
187	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
188	C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
189	C₈×C₅₃	—	4	1	no	—
190	#88322	—	2	1	no	—
191	#88322	—	2	1	no	—
192	#88322	—	4	1	no	—
193	#88322	—	4	2	no	—
194	#28594	—	53	1	no	maximal, Sylow
195	C₂²×C₅₃	—	2	2	no	—
196	C₂²×C₅₃	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
197	C₂²×C₅₃	#553	1	2	yes	—
198	C₂×D₅₃	—	2	2	no	—
199	C₂×D₅₃	—	2	2	no	—
200	C₂×D₅₃	—	2	2	no	—
201	C₂×D₅₃	—	4	1	no	—
202	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
203	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
204	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
205	C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
206	C₄×C₅₃	#532	1	1	yes	characteristic
207	C₄×C₅₃	#534	1	1	yes	characteristic
208	C₄×C₅₃	#546	1	2	yes	—
209	Dic₅₃	—	2	2	no	—
210	Dic₅₃	—	4	1	no	—
211	Dic₅₃	—	8	2	no	—
212	#3056	—	53	2	no	—
213	C₂×#470	—	53	1	no	—
214	#2930	—	53	1	no	—
215	#2090	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
216	#2079	—	53	1	no	—
217	#2047	—	53	1	no	—
218	#2020	—	53	1	no	—
219	#1930	—	53	2	no	—
220	#1908	—	53	2	no	—
221	#1901	—	53	2	no	—
222	#1738	—	53	1	no	—
223	C₂×C₅₃	—	2	2	no	—
224	C₂×C₅₃	#2543	1	1	yes	characteristic
225	C₂×C₅₃	#3069	1	2	yes	—
226	D₅₃	—	4	2	no	—
227	D₅₃	—	8	1	no	—
228	C₂×#137	—	53	2	no	—
229	C₂²×Q₁₆	—	53	1	no	—
230	C₂×#131	—	53	1	no	—
231	C₂²×M₁₆	—	53	1	no	—
232	C₂²×M₁₆	—	53	2	no	—
233	#525	—	53	1	no	—
234	C₂×C₂²⋊Q₈	—	53	2	no	—
235	#470	—	106	2	no	—
236	#470	—	106	2	no	—
237	#470	—	106	2	no	—
238	#468	—	106	2	no	—
239	#467	—	106	2	no	—
240	#465	—	106	2	no	—
241	#436	—	106	2	no	—
242	#435	—	106	2	no	—
243	#428	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
244	C₂×#106	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
245	#424	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
246	#419	—	53	2	no	—
247	#417	—	53	2	no	—
248	C₂×#103	—	53	2	no	—
249	C₂×#101	—	53	2	no	—
250	C₂×#101	—	53	2	no	—
251	#408	—	53	1	no	—
252	#407	—	53	1	no	—
253	#405	—	53	1	no	—
254	#343	—	53	2	no	—
255	#343	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
256	#341	—	53	2	no	—
257	#341	—	53	1	no	—
258	#341	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
259	C₅₃	#28594	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
260	C₂×#41	—	53	1	no	—
261	C₂²×Q₈	—	53	2	no	—
262	C₂³×C₄	—	53	1	no	—
263	#137	—	106	4	no	—
264	#137	—	212	2	no	—
265	C₂×Q₁₆	—	106	2	no	—
266	C₂×Q₁₆	—	106	2	no	—
267	C₂×Q₁₆	—	212	2	no	—
268	C₂×SD₁₆	—	106	2	no	—
269	#131	—	212	2	no	—
270	C₂×M₁₆	—	53	2	no	—
271	C₂×M₁₆	—	53	2	no	—
272	C₂×M₁₆	—	53	2	no	—
273	C₂×M₁₆	—	53	1	no	—
274	C₂×M₁₆	—	106	1	no	—
275	C₂×M₁₆	—	106	2	no	—
276	C₂×M₁₆	—	106	4	no	—
277	C₂×M₁₆	—	212	2	no	—
278	C₂×M₁₆	—	212	2	no	—
279	C₂×M₁₆	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
280	C₂×M₁₆	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
281	C₂²×C₈	—	53	1	no	—
282	C₂²×C₈	—	106	1	no	—
283	C₂²×C₈	—	106	2	no	—
284	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
285	#123	—	106	1	no	—
286	C₂²⋊Q₈	—	53	2	no	—
287	C₂²⋊Q₈	—	106	2	no	—
288	C₂²⋊Q₈	—	106	2	no	—
289	C₂²⋊Q₈	—	106	2	no	—
290	C₂²⋊Q₈	—	106	2	no	—
291	#121	—	53	2	no	—
292	#120	—	106	1	no	—
293	C₄×D₄	—	106	2	no	—
294	#117	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
295	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
296	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
297	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
298	#107	—	2	2	no	—
299	#106	—	2	2	no	—
300	#106	—	2	2	no	—
301	C₄⋊C₈	—	2	2	no	—
302	#103	—	106	2	no	—
303	#103	—	106	2	no	—
304	#103	—	106	2	no	—
305	#103	—	106	2	no	—
306	#103	—	106	2	no	—
307	#102	—	106	2	no	—
308	#101	—	106	4	no	—
309	#101	—	212	2	no	—
310	C₂²⋊C₈	—	106	2	no	—
311	C₂²⋊C₈	—	106	2	no	—
312	#97	—	106	1	no	—
313	C₄×C₈	—	106	1	no	—
314	C₂⁴	—	53	1	no	—
315	#41	—	106	2	no	—
316	#41	—	106	2	no	—
317	C₂×Q₈	—	53	1	no	—
318	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
319	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
320	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
321	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
322	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
323	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
324	C₂×D₄	—	53	1	no	—
325	C₂×D₄	—	106	2	no	—
326	C₂×D₄	—	106	1	no	—
327	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
328	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
329	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
330	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
331	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
332	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
333	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
334	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
335	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
336	Q₁₆	—	212	4	no	—
337	Q₁₆	—	212	4	no	—
338	SD₁₆	—	212	4	no	—
339	M₁₆	—	2	2	no	—
340	M₁₆	—	2	2	no	—
341	M₁₆	—	106	2	no	—
342	M₁₆	—	106	2	no	—
343	M₁₆	—	106	2	no	—
344	M₁₆	—	212	2	no	—
345	M₁₆	—	212	2	no	—
346	M₁₆	—	212	4	no	—
347	M₁₆	—	212	2	no	—
348	M₁₆	#11719949	1	4	yes	—
349	C₂×C₈	—	2	2	no	—
350	C₂×C₈	—	2	2	no	—
351	C₂×C₈	—	2	1	no	—
352	C₂×C₈	—	53	1	no	—
353	C₂×C₈	—	53	1	no	—
354	C₂×C₈	—	106	2	no	—
355	C₂×C₈	—	106	1	no	—
356	C₂×C₈	—	106	2	no	—
357	C₂×C₈	—	212	4	no	—
358	C₂×C₈	—	212	2	no	—
359	C₂×C₈	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
360	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
361	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
362	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
363	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
364	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
365	C₄⋊C₄	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
366	C₂²⋊C₄	—	2	1	no	—
367	C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
368	C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
369	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
370	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
371	C₄²	—	2	1	no	—
372	C₂³	—	53	2	no	—
373	C₂³	—	106	2	no	—
374	C₂³	—	106	1	no	—
375	C₂³	—	212	2	no	—
376	C₂³	#41×D₅₃	1	1	yes	characteristic
377	Q₈	—	106	2	no	—
378	Q₈	—	212	2	no	—
379	Q₈	—	212	2	no	—
380	Q₈	—	212	2	no	—
381	Q₈	—	212	2	no	—
382	D₄	—	106	2	no	—
383	D₄	—	424	2	no	—
384	D₄	—	212	2	no	—
385	C₂×C₄	—	2	2	no	—
386	C₂×C₄	—	4	2	no	—
387	C₂×C₄	—	8	2	no	—
388	C₂×C₄	—	53	2	no	—
389	C₂×C₄	—	106	2	no	—
390	C₂×C₄	—	106	2	no	—
391	C₂×C₄	—	106	2	no	—
392	C₂×C₄	—	106	2	no	—
393	C₂×C₄	—	106	2	no	—
394	C₂×C₄	—	106	1	no	—
395	C₂×C₄	—	212	2	no	—
396	C₂×C₄	—	212	2	no	—
397	C₂×C₄	—	212	2	no	—
398	C₂×C₄	—	212	1	no	—
399	C₂×C₄	—	212	1	no	—
400	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
401	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
402	C₂×C₄	C₂×#11719949	1	2	yes	—
403	C₂×C₄	#13133263	1	2	yes	—
404	C₈	—	2	4	no	—
405	C₈	—	2	2	no	—
406	C₈	—	4	1	no	—
407	C₈	—	106	1	no	—
408	C₈	—	106	1	no	—
409	C₈	—	212	2	no	—
410	C₈	—	212	1	no	—
411	C₂²	—	2	2	no	—
412	C₂²	—	106	2	no	—
413	C₂²	—	106	2	no	—
414	C₂²	—	106	2	no	—
415	C₂²	—	424	2	no	—
416	C₂²	—	212	2	no	—
417	C₂²	—	212	1	no	—
418	C₂²	#121×D₅₃	1	1	yes	characteristic
419	C₂²	#16811326	1	2	yes	—
420	C₄	—	4	2	no	—
421	C₄	—	8	2	no	—
422	C₄	—	106	2	no	—
423	C₄	—	424	2	no	—
424	C₄	—	212	1	no	—
425	C₄	#16811174	1	1	yes	characteristic
426	C₄	#16811184	1	1	yes	characteristic
427	C₄	#16811264	1	2	yes	—
428	C₂	—	2	2	no	—
429	C₂	—	424	1	no	—
430	C₂	—	212	2	no	—
431	C₂	#20279676	1	1	yes	characteristic
432	C₂	#20284447	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂²	#121×D₅₃
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#2090	C₂
socle	C₂²×C₅₃	C₂×#121
prime radical	#16811135	C₂²
hypercenter	#2090	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#28594
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂² ◁ C₂²×C₄ ◁ #2090

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. C₂×#16810882	C₂	semidirect
4. #20276161	C₂	semidirect
5. #20275983	C₂	semidirect
6. #20275837	C₂	semidirect
7. #20275369	C₂	semidirect
8. #20275231	C₂	semidirect
9. #20275182	C₂	semidirect
10. #20274440	C₂	semidirect
11. C₅₃×#2090	C₂	semidirect
215. #2090	D₅₃	semidirect
259. C₅₃	#28594	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20284346	2
C₂×#16810882	2
#20283417	2
#20276161	2
#20275983	2
#20275837	2
#20275369	2
#20275231	2
#20275182	2
#20274440	2
C₅₃×#2090	2
#28594	53