Subgroups — #27477159

Order 13568.

910 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 376 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16810973	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×D₄×#88322	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20279888	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#20275915	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#20275663	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#20275639	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#20275139	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	C₄×#13133150	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₅₃×#2542	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂³×#88322	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#13133217	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	#16810973	—	2	4	no	—
13	D₄×#88322	—	2	4	no	—
14	C₂×#13133150	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×C₄⋊#88322	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#13133141	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#13133141	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#13133141	C₂²	1	4	yes	—
19	C₂×C₂²⋊#88322	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×C₄×#88322	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#16810535	—	2	2	no	—
22	#16810526	—	2	1	no	—
23	#16810488	—	2	1	no	—
24	#16810483	C₂²	1	4	yes	—
25	C₄×C₄⋊Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#16810385	C₂²	1	2	yes	—
27	#16810385	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂×C₄⋊Q₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×C₂²⋊Q₈×C₅₃	C₂²	1	4	yes	—
30	C₂×C₄×D₄×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₅₃×#399	—	2	2	no	—
32	C₅₃×#390	—	2	1	no	—
33	C₅₃×#384	—	2	1	no	—
34	C₄×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
36	C₂²×#88322	—	2	4	no	—
37	C₂²×#88322	—	4	4	no	—
38	C₂²×#88322	C₂³	1	2	yes	—
39	C₂²×#88322	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	C₂²×#88322	C₂³	1	1	yes	characteristic
41	#13133217	—	2	2	no	—
42	#13133217	—	2	2	no	—
43	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
44	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
45	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
46	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
47	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
48	#13133150	—	2	4	no	—
49	C₄⋊#88322	—	2	2	no	—
50	#13133141	—	2	4	no	—
51	#13133141	—	2	4	no	—
52	#13133141	—	4	4	no	—
53	C₂²⋊#88322	—	2	4	no	—
54	C₄×#88322	D₄	1	4	yes	—
55	#13133124	—	2	1	no	—
56	#13133124	—	2	4	no	—
57	C₂²×Q₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
58	C₂²×D₄×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
60	C₄⋊Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
61	C₄⋊Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
62	C₂²⋊Q₈×C₅₃	—	2	8	no	—
63	C₂²⋊Q₈×C₅₃	—	4	4	no	—
64	C₄×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
65	C₄×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
66	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
67	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
68	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
69	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
72	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
73	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	1	no	—
74	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	#95×C₅₃	—	2	1	no	—
76	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
77	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
78	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
79	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
80	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
81	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
82	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
83	C₂×D₄×C₅₃	Q₁₆	1	4	yes	—
84	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
85	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
86	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
87	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
88	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
89	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
90	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
91	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
92	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
93	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
94	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
95	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
96	C₂×Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
97	C₂×Dic₁₀₆	—	8	2	no	—
98	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
99	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
100	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
101	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
102	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
103	C₄⋊C₄×C₅₃	#41	1	4	yes	—
104	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
105	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
106	C₄²×C₅₃	—	4	2	no	—
107	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
108	C₄²×C₅₃	#41	1	2	yes	—
109	C₂²⋊Dic₅₃	—	8	4	no	—
110	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
111	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
112	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
113	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
114	C₄⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
115	C₄×Dic₅₃	—	4	2	no	—
116	C₂×#88322	—	2	2	no	—
117	C₂×#88322	—	2	2	no	—
118	C₂×#88322	—	2	2	no	—
119	C₂×#88322	—	2	4	no	—
120	C₂×#88322	—	4	8	no	—
121	C₂×#88322	C₂×D₄	1	2	yes	—
122	C₂×#88322	C₂×D₄	1	2	yes	—
123	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
124	C₂³×C₅₃	—	2	4	no	—
125	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
126	C₂³×C₅₃	—	2	4	no	—
127	C₂³×C₅₃	C₂×Q₁₆	1	4	yes	—
128	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
129	Q₈×C₅₃	—	4	2	no	—
130	Q₈×C₅₃	—	4	2	no	—
131	Q₈×C₅₃	—	4	4	no	—
132	D₄×C₅₃	—	2	8	no	—
133	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
134	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
135	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
136	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
137	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
138	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
139	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
140	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
141	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
142	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
143	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
144	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	2	yes	—
145	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	2	yes	—
146	C₂×C₄×C₅₃	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
147	C₂×C₄×C₅₃	#135	1	2	yes	—
148	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
149	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
150	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
151	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
152	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
153	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
154	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
155	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
156	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
157	Dic₁₀₆	—	8	4	no	—
158	#88322	—	2	2	no	—
159	#88322	—	2	2	no	—
160	#88322	—	4	2	no	—
161	#28598	—	53	1	no	maximal, Sylow
162	C₂²×C₅₃	—	2	8	no	—
163	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
164	C₂²×C₅₃	—	4	4	no	—
165	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
166	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
167	C₂²×C₅₃	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
168	C₂²×C₅₃	#546	1	2	yes	—
169	C₂²×C₅₃	C₂²×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
170	C₂²×C₅₃	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
171	C₂²×C₅₃	#577	1	2	yes	—
172	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
173	C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
174	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
175	C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
176	C₄×C₅₃	#467	1	4	yes	—
177	C₄×C₅₃	#532	1	1	yes	characteristic
178	C₄×C₅₃	#535	1	1	yes	characteristic
179	C₄×C₅₃	#559	1	2	yes	—
180	Dic₅₃	—	8	2	no	—
181	Dic₅₃	—	8	2	no	—
182	C₂×#487	—	53	1	no	—
183	C₂×C₈×D₄	—	53	1	no	—
184	#2563	—	53	1	no	—
185	#2542	D₅₃	1	1	yes	characteristic
186	#2036	—	53	4	no	—
187	#1987	—	53	1	no	—
188	#1981	—	53	1	no	—
189	#1892	—	53	4	no	—
190	C₄×#107	—	53	1	no	—
191	C₂×C₅₃	—	4	4	no	—
192	C₂×C₅₃	#2544	1	1	yes	characteristic
193	C₂×C₅₃	C₂×#467	1	1	yes	characteristic
194	C₂×C₅₃	#3057	1	1	yes	characteristic
195	C₂×C₅₃	#3299	1	2	yes	—
196	C₂×C₅₃	#3303	1	2	yes	—
197	C₂³×C₈	—	53	2	no	—
198	C₂×C₄⋊Q₈	—	53	1	no	—
199	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
200	C₂×C₂²⋊Q₈	C₂×D₅₃	1	4	yes	—
201	C₂×C₄×D₄	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
202	#487	—	106	4	no	—
203	C₈×D₄	—	106	4	no	—
204	C₂×#107	—	53	2	no	—
205	C₂×C₄⋊C₈	—	53	1	no	—
206	C₂×#103	—	53	2	no	—
207	C₂×#103	—	53	2	no	—
208	C₂×#103	—	53	4	no	—
209	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	2	no	—
210	C₂×C₄×C₈	—	53	1	no	—
211	#399	—	2	2	no	—
212	#393	—	106	2	no	—
213	#390	—	2	1	no	—
214	#390	—	106	1	no	—
215	#384	—	2	1	no	—
216	#382	—	106	1	no	—
217	#380	—	53	4	no	—
218	C₄×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
219	C₄×C₄⋊C₄	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
220	#340	—	53	2	no	—
221	#340	—	53	4	no	—
222	C₅₃	#28598	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
223	C₂²×Q₈	—	106	1	no	—
224	C₂²×Q₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
225	C₂²×D₄	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
226	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
227	C₂²×C₈	—	53	1	no	—
228	C₂²×C₈	—	53	1	no	—
229	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
230	C₂²×C₈	—	106	4	no	—
231	C₂²×C₈	—	212	4	no	—
232	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
233	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
234	C₄⋊Q₈	—	106	2	no	—
235	C₄⋊Q₈	—	106	2	no	—
236	C₂²⋊Q₈	—	2	8	no	—
237	C₂²⋊Q₈	—	4	4	no	—
238	C₄×D₄	—	2	2	no	—
239	C₄×D₄	—	2	2	no	—
240	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
241	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
242	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
243	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
244	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
245	C₂×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
246	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
247	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
248	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
249	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
250	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
251	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
252	C₂×C₄²	—	106	1	no	—
253	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
254	#107	—	106	4	no	—
255	C₄⋊C₈	—	106	2	no	—
256	#103	—	106	4	no	—
257	#103	—	106	4	no	—
258	#103	—	212	4	no	—
259	C₂²⋊C₈	—	106	4	no	—
260	C₄×C₈	—	53	4	no	—
261	#95	—	2	1	no	—
262	#95	—	106	1	no	—
263	#95	—	106	4	no	—
264	C₂⁴	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
265	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
266	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
267	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
268	C₂×Q₈	—	2	4	no	—
269	C₂×Q₈	—	424	2	no	—
270	C₂×Q₈	—	212	2	no	—
271	C₂×D₄	—	2	2	no	—
272	C₂×D₄	—	2	2	no	—
273	C₂×D₄	#11719925	1	4	yes	—
274	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
275	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
276	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
277	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
278	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
279	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
280	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
281	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
282	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
283	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
284	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
285	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
286	C₂×C₈	—	53	2	no	—
287	C₂×C₈	—	53	2	no	—
288	C₂×C₈	—	106	2	no	—
289	C₂×C₈	—	106	2	no	—
290	C₂×C₈	—	106	2	no	—
291	C₂×C₈	—	106	4	no	—
292	C₂×C₈	—	212	8	no	—
293	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
294	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
295	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
296	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
297	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
298	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
299	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
300	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
301	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
302	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
303	C₄⋊C₄	#11719947	1	4	yes	—
304	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
305	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
306	C₂²⋊C₄	—	424	4	no	—
307	C₄²	—	4	2	no	—
308	C₄²	—	212	2	no	—
309	C₄²	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
310	C₄²	#11719947	1	2	yes	—
311	C₂³	—	2	4	no	—
312	C₂³	—	2	2	no	—
313	C₂³	—	2	2	no	—
314	C₂³	—	2	4	no	—
315	C₂³	C₂×#11719925	1	4	yes	—
316	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
317	Q₈	—	4	4	no	—
318	Q₈	—	4	2	no	—
319	Q₈	—	4	2	no	—
320	Q₈	—	424	4	no	—
321	D₄	—	2	8	no	—
322	C₂×C₄	—	2	2	no	—
323	C₂×C₄	—	2	4	no	—
324	C₂×C₄	—	2	4	no	—
325	C₂×C₄	—	2	2	no	—
326	C₂×C₄	—	4	2	no	—
327	C₂×C₄	—	4	2	no	—
328	C₂×C₄	—	4	4	no	—
329	C₂×C₄	—	4	2	no	—
330	C₂×C₄	—	4	2	no	—
331	C₂×C₄	—	4	4	no	—
332	C₂×C₄	—	4	2	no	—
333	C₂×C₄	—	212	2	no	—
334	C₂×C₄	—	212	2	no	—
335	C₂×C₄	—	212	2	no	—
336	C₂×C₄	—	212	2	no	—
337	C₂×C₄	—	212	4	no	—
338	C₂×C₄	#13133189	1	2	yes	—
339	C₂×C₄	#13133189	1	2	yes	—
340	C₂×C₄	C₂×#11719925	1	2	yes	—
341	C₂×C₄	#13133237	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
343	C₂×C₄	C₂×#11719947	1	1	yes	characteristic
344	C₂×C₄	C₂×#11719947	1	2	yes	—
345	C₂×C₄	#13133262	1	2	yes	—
346	C₈	—	106	2	no	—
347	C₈	—	106	2	no	—
348	C₈	—	212	2	no	—
349	C₂²	—	2	4	no	—
350	C₂²	—	2	8	no	—
351	C₂²	—	4	2	no	—
352	C₂²	—	4	4	no	—
353	C₂²	—	4	2	no	—
354	C₂²	C₂×#13133189	1	1	yes	characteristic
355	C₂²	#16811267	1	2	yes	—
356	C₂²	C₂²×#11719925	1	1	yes	characteristic
357	C₂²	C₂×#13133237	1	1	yes	characteristic
358	C₂²	#16811431	1	2	yes	—
359	C₄	—	2	2	no	—
360	C₄	—	4	2	no	—
361	C₄	—	4	4	no	—
362	C₄	—	8	2	no	—
363	C₄	—	424	2	no	—
364	C₄	—	424	2	no	—
365	C₄	#16810862	1	4	yes	—
366	C₄	#16811171	1	1	yes	characteristic
367	C₄	#16811186	1	1	yes	characteristic
368	C₄	#16811359	1	2	yes	—
369	C₂	—	4	4	no	—
370	C₂	#20279683	1	1	yes	characteristic
371	C₂	C₂×#16810862	1	1	yes	characteristic
372	C₂	#20284356	1	1	yes	characteristic
373	C₂	#20286591	1	2	yes	—
374	C₂	#20286643	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#2542	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
prime radical	C₂²×D₄×C₅₃	D₄
hypercenter	#2542	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#28598
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄×D₄ ◁ #2542

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#16810973	C₂	semidirect
4. #20275915	C₂	semidirect
5. #20275663	C₂	semidirect
6. #20275639	C₂	semidirect
7. #20275139	C₂	semidirect
8. C₄×#13133150	C₂	semidirect
222. C₅₃	#28598	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16810973	2
C₂×D₄×#88322	2
#20279888	2
#20275915	2
#20275663	2
#20275639	2
#20275139	2
C₄×#13133150	2
C₅₃×#2542	2
#28598	53