Subgroups — #27477179

Order 13568.

930 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 382 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₂×#16810975	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₂×D₄×#88322	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20279668	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
4	#20275911	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
5	#20275668	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
6	#20275638	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#20275136	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
8	C₄×#13133148	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₅₃×#2547	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂³×#88322	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#13133217	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×#13133196	C₂²	1	4	yes	—
13	#16810975	—	2	4	no	—
14	D₄×#88322	—	2	4	no	—
15	C₂×#13133148	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×C₄⋊#88322	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#13133140	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#13133140	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#13133140	C₂²	1	4	yes	—
20	C₂×C₂²⋊#88322	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×C₄×#88322	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#16810559	—	2	2	no	—
23	#16810526	—	2	1	no	—
24	#16810492	—	2	1	no	—
25	C₄×C₄⋊Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	#16810385	C₂²	1	2	yes	—
27	#16810385	C₂²	1	4	yes	—
28	C₂×C₄⋊Q₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂×#124×C₅₃	—	2	1	no	—
30	C₂×C₄×D₄×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₅₃×#397	—	2	2	no	—
32	C₅₃×#391	—	2	1	no	—
33	C₅₃×#380	C₂²	1	4	yes	—
34	C₄×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂²×Dic₁₀₆	C₂³	1	2	yes	—
36	C₂²×#88322	—	2	4	no	—
37	C₂²×#88322	—	4	4	no	—
38	C₂²×#88322	C₂³	1	2	yes	—
39	C₂²×#88322	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	C₂²×#88322	C₂³	1	1	yes	characteristic
41	#13133217	—	2	2	no	—
42	#13133217	—	2	2	no	—
43	#13133196	—	2	8	no	—
44	#13133196	—	4	4	no	—
45	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
46	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
47	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂×#11719919	—	2	4	no	—
49	C₂×C₂²⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
50	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
51	#13133148	—	2	4	no	—
52	C₄⋊#88322	—	2	2	no	—
53	#13133140	—	2	4	no	—
54	#13133140	—	2	4	no	—
55	#13133140	—	4	4	no	—
56	C₂²⋊#88322	—	2	4	no	—
57	C₄×#88322	D₄	1	4	yes	—
58	#13133124	—	2	1	no	—
59	C₂²×Q₈×C₅₃	—	2	1	no	—
60	C₂²×D₄×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂³×C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
62	C₄⋊Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
63	C₄⋊Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
64	#124×C₅₃	—	4	4	no	—
65	C₄×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
66	C₄×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
67	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
68	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
72	C₂×C₂²⋊C₄×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
73	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	1	no	—
74	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	#95×C₅₃	—	2	1	no	—
76	#95×C₅₃	—	2	4	no	—
77	C₂⁴×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
78	C₂×Q₈×C₅₃	—	4	2	no	—
79	C₂×Q₈×C₅₃	—	4	2	no	—
80	C₂×Q₈×C₅₃	—	4	2	no	—
81	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
82	C₂×D₄×C₅₃	—	2	2	no	—
83	C₂×D₄×C₅₃	SD₁₆	1	4	yes	—
84	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
85	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
86	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
87	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
88	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
89	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
90	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
91	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
92	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
93	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
94	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
95	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
96	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
97	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
98	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
99	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
100	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
101	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
102	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
103	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
104	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
105	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
106	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
107	C₂²⋊C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
108	C₄²×C₅₃	—	4	2	no	—
109	C₄²×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
110	C₄²×C₅₃	#41	1	2	yes	—
111	C₂²⋊Dic₅₃	—	4	8	no	—
112	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
113	C₄⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
114	C₄⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
115	C₄⋊Dic₅₃	#41	1	4	yes	—
116	#11719919	—	4	8	no	—
117	C₄×Dic₅₃	—	4	2	no	—
118	C₂×#88322	—	2	2	no	—
119	C₂×#88322	—	2	2	no	—
120	C₂×#88322	—	2	2	no	—
121	C₂×#88322	—	2	4	no	—
122	C₂×#88322	—	4	8	no	—
123	C₂×#88322	C₂×D₄	1	2	yes	—
124	C₂×#88322	C₂×D₄	1	2	yes	—
125	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
126	C₂³×C₅₃	—	2	4	no	—
127	C₂³×C₅₃	—	2	2	no	—
128	C₂³×C₅₃	—	2	4	no	—
129	C₂³×C₅₃	C₂×SD₁₆	1	4	yes	—
130	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
131	Q₈×C₅₃	—	8	4	no	—
132	D₄×C₅₃	—	2	8	no	—
133	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
134	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
135	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
136	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
137	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
138	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
139	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
140	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
141	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
142	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
143	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
144	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
145	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	2	yes	—
146	C₂×C₄×C₅₃	#121	1	2	yes	—
147	C₂×C₄×C₅₃	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
148	C₂×C₄×C₅₃	#135	1	2	yes	—
149	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
150	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
151	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
152	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
153	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
154	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
155	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
156	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
157	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
158	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
159	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
160	Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
161	#88322	—	2	2	no	—
162	#88322	—	2	2	no	—
163	#88322	—	4	2	no	—
164	#28600	—	53	1	no	maximal, Sylow
165	C₂²×C₅₃	—	2	8	no	—
166	C₂²×C₅₃	—	2	4	no	—
167	C₂²×C₅₃	—	4	4	no	—
168	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
169	C₂²×C₅₃	—	4	2	no	—
170	C₂²×C₅₃	C₂×#121	1	1	yes	characteristic
171	C₂²×C₅₃	#546	1	2	yes	—
172	C₂²×C₅₃	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
173	C₂²×C₅₃	C₂×#135	1	1	yes	characteristic
174	C₂²×C₅₃	#578	1	2	yes	—
175	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
176	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
177	C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
178	C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
179	C₄×C₅₃	#465	1	4	yes	—
180	C₄×C₅₃	#532	1	1	yes	characteristic
181	C₄×C₅₃	#535	1	1	yes	characteristic
182	C₄×C₅₃	#559	1	2	yes	—
183	Dic₅₃	—	4	4	no	—
184	Dic₅₃	—	8	2	no	—
185	C₂×#487	—	53	1	no	—
186	C₂×C₈×D₄	—	53	1	no	—
187	#2547	D₅₃	1	1	yes	characteristic
188	#2542	—	53	1	no	—
189	#2035	—	53	4	no	—
190	#1988	—	53	1	no	—
191	#1981	—	53	1	no	—
192	#1892	—	53	4	no	—
193	C₄×#106	—	53	1	no	—
194	C₂×C₅₃	—	4	4	no	—
195	C₂×C₅₃	#2544	1	1	yes	characteristic
196	C₂×C₅₃	C₂×#465	1	1	yes	characteristic
197	C₂×C₅₃	#3059	1	1	yes	characteristic
198	C₂×C₅₃	#3298	1	2	yes	—
199	C₂×C₅₃	#3302	1	2	yes	—
200	C₂³×C₈	—	53	2	no	—
201	C₂×C₄⋊Q₈	—	53	1	no	—
202	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
203	C₂×#124	—	2	1	no	—
204	C₂×C₂²⋊Q₈	—	53	4	no	—
205	C₂×C₄×D₄	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
206	#487	—	106	4	no	—
207	C₈×D₄	—	106	4	no	—
208	C₂×#106	—	53	2	no	—
209	C₂×C₄⋊C₈	—	53	1	no	—
210	C₂×#103	—	53	2	no	—
211	C₂×#103	—	53	2	no	—
212	C₂×#103	—	53	4	no	—
213	C₂×C₂²⋊C₈	—	53	2	no	—
214	C₂×C₄×C₈	—	53	1	no	—
215	#399	—	106	2	no	—
216	#397	—	2	2	no	—
217	#391	—	2	1	no	—
218	#390	—	106	1	no	—
219	#384	—	106	1	no	—
220	#380	C₂×D₅₃	1	4	yes	—
221	C₄×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
222	C₄×C₄⋊C₄	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
223	#340	—	53	2	no	—
224	#340	—	53	4	no	—
225	C₅₃	#28600	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
226	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
227	C₂²×Q₈	—	53	2	no	—
228	C₂²×D₄	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
229	C₂³×C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
230	C₂²×C₈	—	53	1	no	—
231	C₂²×C₈	—	53	1	no	—
232	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
233	C₂²×C₈	—	106	4	no	—
234	C₂²×C₈	—	212	4	no	—
235	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
236	C₄⋊Q₈	—	2	2	no	—
237	C₄⋊Q₈	—	106	2	no	—
238	C₄⋊Q₈	—	106	2	no	—
239	#124	—	4	4	no	—
240	C₂²⋊Q₈	—	106	8	no	—
241	C₂²⋊Q₈	—	212	4	no	—
242	C₄×D₄	—	2	2	no	—
243	C₄×D₄	—	2	2	no	—
244	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
245	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
246	C₂×C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
247	C₂×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
248	C₂×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
249	C₂×C₄⋊C₄	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
250	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
251	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
252	C₂×C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
253	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	4	no	—
254	C₂×C₂²⋊C₄	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
255	C₂×C₄²	—	2	1	no	—
256	C₂×C₄²	—	106	1	no	—
257	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
258	#106	—	106	4	no	—
259	C₄⋊C₈	—	106	2	no	—
260	#103	—	106	4	no	—
261	#103	—	106	4	no	—
262	#103	—	212	4	no	—
263	C₂²⋊C₈	—	106	4	no	—
264	C₄×C₈	—	53	4	no	—
265	#95	—	2	1	no	—
266	#95	—	2	4	no	—
267	#95	—	106	1	no	—
268	C₂⁴	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
269	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
270	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
271	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
272	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
273	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
274	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
275	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
276	C₂×D₄	—	2	2	no	—
277	C₂×D₄	—	2	2	no	—
278	C₂×D₄	#11719923	1	4	yes	—
279	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
280	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
281	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
282	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
283	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
284	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
285	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
286	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
287	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
288	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
289	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
290	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
291	C₂×C₈	—	53	2	no	—
292	C₂×C₈	—	53	2	no	—
293	C₂×C₈	—	106	2	no	—
294	C₂×C₈	—	106	2	no	—
295	C₂×C₈	—	106	2	no	—
296	C₂×C₈	—	106	4	no	—
297	C₂×C₈	—	212	8	no	—
298	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
299	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
300	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
301	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
302	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
303	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
304	C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
305	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
306	C₄⋊C₄	—	212	8	no	—
307	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
308	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
309	C₂²⋊C₄	—	2	4	no	—
310	C₂²⋊C₄	—	4	8	no	—
311	C₂²⋊C₄	—	212	8	no	—
312	C₄²	—	4	2	no	—
313	C₄²	—	212	2	no	—
314	C₄²	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
315	C₄²	#11719947	1	2	yes	—
316	C₂³	—	2	2	no	—
317	C₂³	—	2	2	no	—
318	C₂³	—	2	4	no	—
319	C₂³	—	2	4	no	—
320	C₂³	C₂×#11719923	1	4	yes	—
321	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
322	Q₈	—	8	4	no	—
323	Q₈	—	212	4	no	—
324	Q₈	—	212	2	no	—
325	Q₈	—	212	2	no	—
326	D₄	—	2	8	no	—
327	C₂×C₄	—	2	2	no	—
328	C₂×C₄	—	2	2	no	—
329	C₂×C₄	—	2	4	no	—
330	C₂×C₄	—	4	4	no	—
331	C₂×C₄	—	4	2	no	—
332	C₂×C₄	—	4	2	no	—
333	C₂×C₄	—	4	2	no	—
334	C₂×C₄	—	4	2	no	—
335	C₂×C₄	—	4	2	no	—
336	C₂×C₄	—	4	2	no	—
337	C₂×C₄	—	4	2	no	—
338	C₂×C₄	—	4	2	no	—
339	C₂×C₄	—	106	4	no	—
340	C₂×C₄	—	212	2	no	—
341	C₂×C₄	—	212	4	no	—
342	C₂×C₄	—	212	2	no	—
343	C₂×C₄	—	212	2	no	—
344	C₂×C₄	#13133189	1	2	yes	—
345	C₂×C₄	#13133189	1	2	yes	—
346	C₂×C₄	C₂×#11719923	1	2	yes	—
347	C₂×C₄	#13133237	1	2	yes	—
348	C₂×C₄	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
349	C₂×C₄	#41×D₅₃	1	2	yes	—
350	C₂×C₄	C₂×#11719947	1	1	yes	characteristic
351	C₂×C₄	#13133263	1	2	yes	—
352	C₈	—	106	2	no	—
353	C₈	—	106	2	no	—
354	C₈	—	212	2	no	—
355	C₂²	—	2	8	no	—
356	C₂²	—	2	4	no	—
357	C₂²	—	4	2	no	—
358	C₂²	—	4	4	no	—
359	C₂²	—	4	2	no	—
360	C₂²	C₂×#13133189	1	1	yes	characteristic
361	C₂²	#16811261	1	2	yes	—
362	C₂²	C₂²×#11719923	1	1	yes	characteristic
363	C₂²	C₂×#13133237	1	1	yes	characteristic
364	C₂²	#16811438	1	2	yes	—
365	C₄	—	2	2	no	—
366	C₄	—	4	2	no	—
367	C₄	—	8	2	no	—
368	C₄	—	8	2	no	—
369	C₄	—	424	2	no	—
370	C₄	—	212	4	no	—
371	C₄	#16810850	1	4	yes	—
372	C₄	#16811172	1	1	yes	characteristic
373	C₄	#16811191	1	1	yes	characteristic
374	C₄	#16811355	1	2	yes	—
375	C₂	—	4	4	no	—
376	C₂	#20279685	1	1	yes	characteristic
377	C₂	C₂×#16810850	1	1	yes	characteristic
378	C₂	#20284367	1	1	yes	characteristic
379	C₂	#20286574	1	2	yes	—
380	C₂	#20286626	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#2547	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
prime radical	C₂²×D₄×C₅₃	D₄
hypercenter	#2547	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#28600
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄×D₄ ◁ #2547

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. C₂×#16810975	C₂	semidirect
4. #20275911	C₂	semidirect
5. #20275668	C₂	semidirect
6. #20275638	C₂	semidirect
7. #20275136	C₂	semidirect
8. C₄×#13133148	C₂	semidirect
225. C₅₃	#28600	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₂×#16810975	2
C₂×D₄×#88322	2
#20279668	2
#20275911	2
#20275668	2
#20275638	2
#20275136	2
C₄×#13133148	2
C₅₃×#2547	2
#28600	53