Subgroups — #27483764

Order 13568.

722 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 362 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20283078	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20276277	C₂	1	2	yes	maximal
3	#20275958	C₂	1	2	yes	maximal
4	#20275394	C₂	1	4	yes	maximal
5	#20274720	C₂	1	2	yes	maximal
6	#20274720	C₂	1	2	yes	maximal
7	C₄×C₄⋊#88322	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	C₄×C₄⋊Q₈×C₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₂×#13133209	—	2	1	no	—
10	C₂×C₄⋊#88322	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#13133141	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂×#13133141	C₂²	1	4	yes	—
13	C₂×C₄×#88322	C₂²	1	2	yes	—
14	#16810521	—	2	1	no	—
15	#16810521	—	2	1	no	—
16	#16810521	C₂²	1	2	yes	—
17	#16810521	C₂²	1	2	yes	—
18	#16810493	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#16810493	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	#16810489	—	2	1	no	—
21	#16810385	C₂²	1	4	yes	—
22	#16810385	C₂²	1	4	yes	—
23	#16810378	C₂²	1	2	yes	—
24	C₂×C₄⋊Q₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	C₂×C₄×Q₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
26	C₅₃×#391	C₂²	1	2	yes	—
27	C₅₃×#389	—	2	1	no	—
28	C₅₃×#389	—	2	1	no	—
29	C₅₃×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₄×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
31	C₄×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
32	C₄³×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₂²×#88322	C₂³	1	4	yes	—
34	#13133209	—	4	4	no	—
35	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
36	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
37	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
38	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
39	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
40	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂×#11719919	—	2	2	no	—
42	C₂×#11719919	—	2	2	no	—
43	C₄⋊#88322	—	2	4	no	—
44	#13133141	—	2	8	no	—
45	#13133141	—	4	4	no	—
46	C₄×#88322	—	4	2	no	—
47	#13133124	—	2	2	no	—
48	#13133124	—	2	2	no	—
49	C₂²×Q₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
50	C₄⋊Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
51	C₄×Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
52	C₄×Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
53	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
54	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
55	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
56	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
57	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
58	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
59	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
60	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
62	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
63	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
64	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
66	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	#95×C₅₃	—	2	2	no	—
68	#95×C₅₃	—	2	2	no	—
69	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
70	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
71	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
72	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
73	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
74	C₂×Q₈×C₅₃	#41	1	4	yes	—
75	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
76	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
77	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
78	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
80	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
81	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
82	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
84	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
85	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
86	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
87	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
88	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
89	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
90	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
91	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
92	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
93	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
94	C₄²×C₅₃	—	2	1	no	—
95	C₄²×C₅₃	—	2	1	no	—
96	C₄²×C₅₃	—	4	1	no	—
97	C₄²×C₅₃	—	4	1	no	—
98	C₄²×C₅₃	—	4	4	no	—
99	C₄²×C₅₃	SD₁₆	1	4	yes	—
100	C₄²×C₅₃	Q₁₆	1	4	yes	—
101	C₄²×C₅₃	#41	1	4	yes	—
102	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
103	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
104	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
105	C₄⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
106	C₄⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
107	C₄⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
108	C₄⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
109	#11719919	—	4	4	no	—
110	#11719919	—	4	4	no	—
111	C₂×#88322	—	2	4	no	—
112	C₂×#88322	—	2	4	no	—
113	C₂×#88322	—	2	4	no	—
114	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
115	Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
116	Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
117	Q₈×C₅₃	—	4	2	no	—
118	Q₈×C₅₃	—	4	2	no	—
119	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
120	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
121	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
122	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
123	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
124	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
125	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
126	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
127	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
128	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
129	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
130	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
131	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
132	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
133	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
134	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
135	C₂×C₄×C₅₃	#124	1	2	yes	—
136	C₂×C₄×C₅₃	#124	1	2	yes	—
137	C₂×C₄×C₅₃	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
138	C₂×C₄×C₅₃	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
139	C₂×C₄×C₅₃	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
140	C₂×C₄×C₅₃	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
141	C₂×C₄×C₅₃	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
142	C₂×C₄×C₅₃	C₂×Q₁₆	1	2	yes	—
143	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
144	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
145	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
146	C₂×C₄×C₅₃	2₋¹⁺⁴	1	1	yes	characteristic
147	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
148	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
149	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
150	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
151	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
152	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
153	#88322	—	4	4	no	—
154	#29123	—	53	1	no	maximal, Sylow
155	C₂²×C₅₃	#525	1	1	yes	characteristic
156	C₂²×C₅₃	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
157	C₂²×C₅₃	#537	1	1	yes	characteristic
158	C₂²×C₅₃	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
159	C₂²×C₅₃	C₂²×Q₁₆	1	1	yes	characteristic
160	C₂²×C₅₃	#575	1	1	yes	characteristic
161	C₂²×C₅₃	#575	1	1	yes	characteristic
162	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
163	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
164	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
165	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
166	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
167	C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
168	C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
169	C₄×C₅₃	#487	1	4	yes	—
170	C₄×C₅₃	#552	1	2	yes	—
171	C₄×C₅₃	#553	1	2	yes	—
172	Dic₅₃	—	8	2	no	—
173	Dic₅₃	—	8	2	no	—
174	#2859	—	53	1	no	—
175	C₄×C₄⋊Q₈	D₅₃	1	1	yes	characteristic
176	#2100	—	53	2	no	—
177	#2043	—	53	2	no	—
178	#1933	—	53	4	no	—
179	#1803	—	53	2	no	—
180	#1803	—	53	2	no	—
181	C₄×C₄⋊C₈	—	53	1	no	—
182	C₂×C₅₃	#2562	1	1	yes	characteristic
183	C₂×C₅₃	#3103	1	1	yes	characteristic
184	C₂×C₅₃	#3104	1	1	yes	characteristic
185	C₂×C₅₃	C₂×#487	1	1	yes	characteristic
186	C₂×C₅₃	#3142	1	1	yes	characteristic
187	C₂×C₅₃	#3246	1	1	yes	characteristic
188	C₂×C₅₃	#3249	1	1	yes	characteristic
189	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
190	C₂×#125	—	106	1	no	—
191	C₂×C₄×Q₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
192	C₂×C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
193	C₂×#103	—	53	4	no	—
194	C₂×#103	—	53	4	no	—
195	C₂×C₄×C₈	—	53	2	no	—
196	#391	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
197	#389	—	2	1	no	—
198	#389	—	2	1	no	—
199	#389	—	53	2	no	—
200	#389	—	53	2	no	—
201	#389	—	106	1	no	—
202	#389	—	106	1	no	—
203	#384	—	53	1	no	—
204	#384	—	53	1	no	—
205	#384	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
206	#382	—	106	1	no	—
207	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
208	C₄×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
209	C₄³	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
210	#340	—	53	4	no	—
211	#340	—	53	4	no	—
212	#336	—	53	2	no	—
213	C₅₃	#29123	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
214	C₂²×Q₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
215	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
216	C₄⋊Q₈	—	2	4	no	—
217	#125	—	212	4	no	—
218	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
219	C₄×Q₈	—	2	4	no	—
220	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
221	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
222	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
223	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
224	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
225	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
226	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
227	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
228	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
229	C₂×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
230	C₂×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
231	C₂×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
232	C₂×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
233	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
234	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
235	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
236	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
237	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
238	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
239	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
240	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
241	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
242	C₄⋊C₈	—	106	4	no	—
243	#103	—	106	8	no	—
244	#103	—	212	4	no	—
245	C₄×C₈	—	212	2	no	—
246	#95	—	2	2	no	—
247	#95	—	2	2	no	—
248	#95	—	106	2	no	—
249	#95	—	106	2	no	—
250	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
251	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
252	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
253	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
254	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
255	C₂×Q₈	#11719945	1	4	yes	—
256	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
257	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
258	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
259	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
260	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
261	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
262	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
263	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
264	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
265	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
266	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
267	C₂×C₈	—	106	4	no	—
268	C₂×C₈	—	106	4	no	—
269	C₂×C₈	—	106	4	no	—
270	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
271	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
272	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
273	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
274	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
275	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
276	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
277	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
278	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
279	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
280	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
281	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
282	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
283	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
284	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
285	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
286	C₄²	—	2	2	no	—
287	C₄²	—	2	1	no	—
288	C₄²	—	2	1	no	—
289	C₄²	—	4	1	no	—
290	C₄²	—	4	1	no	—
291	C₄²	—	4	4	no	—
292	C₄²	#11719924	1	4	yes	—
293	C₄²	#11719925	1	4	yes	—
294	C₄²	#11719947	1	4	yes	—
295	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
296	Q₈	—	2	4	no	—
297	Q₈	—	2	4	no	—
298	Q₈	—	4	2	no	—
299	Q₈	—	4	2	no	—
300	C₂×C₄	—	2	1	no	—
301	C₂×C₄	—	2	1	no	—
302	C₂×C₄	—	2	1	no	—
303	C₂×C₄	—	2	1	no	—
304	C₂×C₄	—	2	1	no	—
305	C₂×C₄	—	2	1	no	—
306	C₂×C₄	—	2	1	no	—
307	C₂×C₄	—	2	1	no	—
308	C₂×C₄	—	2	1	no	—
309	C₂×C₄	—	2	1	no	—
310	C₂×C₄	—	2	4	no	—
311	C₂×C₄	—	4	2	no	—
312	C₂×C₄	—	4	2	no	—
313	C₂×C₄	—	4	2	no	—
314	C₂×C₄	—	4	2	no	—
315	C₂×C₄	—	4	2	no	—
316	C₂×C₄	—	212	2	no	—
317	C₂×C₄	—	212	2	no	—
318	C₂×C₄	—	212	2	no	—
319	C₂×C₄	—	212	2	no	—
320	C₂×C₄	—	212	2	no	—
321	C₂×C₄	—	212	2	no	—
322	C₂×C₄	#13133204	1	2	yes	—
323	C₂×C₄	#13133204	1	2	yes	—
324	C₂×C₄	C₂×#11719924	1	2	yes	—
325	C₂×C₄	C₂×#11719924	1	2	yes	—
326	C₂×C₄	C₂×#11719924	1	2	yes	—
327	C₂×C₄	C₂×#11719925	1	2	yes	—
328	C₂×C₄	C₂×#11719925	1	2	yes	—
329	C₂×C₄	C₂×#11719925	1	2	yes	—
330	C₂×C₄	C₂×#11719947	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	#13133263	1	1	yes	characteristic
333	C₂×C₄	#13133264	1	1	yes	characteristic
334	C₈	—	212	4	no	—
335	C₂²	#16811134	1	1	yes	characteristic
336	C₂²	C₂×#13133204	1	1	yes	characteristic
337	C₂²	#16811201	1	1	yes	characteristic
338	C₂²	C₂²×#11719924	1	1	yes	characteristic
339	C₂²	C₂²×#11719925	1	1	yes	characteristic
340	C₂²	#16811421	1	1	yes	characteristic
341	C₂²	#16811421	1	1	yes	characteristic
342	C₄	—	2	2	no	—
343	C₄	—	2	2	no	—
344	C₄	—	2	2	no	—
345	C₄	—	2	2	no	—
346	C₄	—	2	2	no	—
347	C₄	—	4	4	no	—
348	C₄	—	8	2	no	—
349	C₄	—	424	2	no	—
350	C₄	—	424	2	no	—
351	C₄	#16810973	1	4	yes	—
352	C₄	#16811313	1	2	yes	—
353	C₄	#16811319	1	2	yes	—
354	C₂	#20279881	1	1	yes	characteristic
355	C₂	#20284746	1	1	yes	characteristic
356	C₂	#20284754	1	1	yes	characteristic
357	C₂	C₂×#16810973	1	1	yes	characteristic
358	C₂	#20285115	1	1	yes	characteristic
359	C₂	#20286027	1	1	yes	characteristic
360	C₂	#20286057	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₄×C₄⋊Q₈×C₅₃	C₂
socle, prime radical	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
hypercenter	C₄×C₄⋊Q₈	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#29123
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄³ ◁ C₄×C₄⋊Q₈

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
213. C₅₃	#29123	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20283078	2
#20276277	2
#20275958	2
#20275394	2
#20274720	2
C₄×C₄⋊#88322	2
C₄×C₄⋊Q₈×C₅₃	2
#29123	53