Subgroups — #27483919

Order 13568.

978 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 380 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₄×#13133214	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20275848	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
3	#20275520	C₂	1	2	yes	maximal
4	#20274842	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
5	#20274712	C₂	1	4	yes	maximal, complemented
6	C₄×C₄⋊#88322	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	C₅₃×#2868	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	C₂×#13133214	C₂²	1	1	yes	characteristic
9	C₂×C₄×D₂₁₂	—	2	1	no	—
10	C₂×C₄×D₂₁₂	—	2	1	no	—
11	C₂×C₄×D₂₁₂	C₂²	1	2	yes	—
12	C₂×C₄⋊#88322	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#13133137	C₂²	1	8	yes	—
14	C₂×C₄×#88322	C₂²	1	2	yes	—
15	#16810525	—	2	1	no	—
16	#16810525	—	2	1	no	—
17	#16810525	C₂²	1	2	yes	—
18	#16810493	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#16810385	C₂²	1	8	yes	—
20	#16810378	C₂²	1	2	yes	—
21	C₂×C₄⋊Q₈×C₅₃	—	2	1	no	—
22	C₂×C₄⋊Q₈×C₅₃	—	2	1	no	—
23	C₂×C₄⋊Q₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
24	C₅₃×#384	—	2	1	no	—
25	C₅₃×#384	—	2	1	no	—
26	C₅₃×#384	C₂²	1	2	yes	—
27	C₅₃×#384	C₂²	1	2	yes	—
28	C₄³×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂²×D₂₁₂	—	2	1	no	—
30	C₂²×D₂₁₂	—	2	1	no	—
31	C₂²×D₂₁₂	C₂³	1	2	yes	—
32	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
33	C₂²×#88322	C₂³	1	4	yes	—
34	#13133214	—	2	2	no	—
35	#13133214	Q₈	1	4	yes	complemented
36	C₄×D₂₁₂	—	2	8	no	—
37	C₄×D₂₁₂	—	4	4	no	—
38	C₄×D₂₁₂	—	4	4	no	—
39	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
40	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
41	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
42	C₂×#11719921	—	2	2	no	—
43	C₂×#11719921	—	2	2	no	—
44	C₂×#11719921	—	2	2	no	—
45	C₄⋊#88322	—	2	4	no	—
46	#13133137	—	4	8	no	—
47	C₄×#88322	—	2	4	no	—
48	C₂²×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
49	C₄⋊Q₈×C₅₃	—	4	4	no	—
50	C₄⋊Q₈×C₅₃	—	4	4	no	—
51	C₄⋊Q₈×C₅₃	—	4	4	no	—
52	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
53	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
54	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
55	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
56	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
57	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
58	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
59	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
60	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
62	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
63	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
64	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
65	C₂³×D₅₃	—	2	2	no	—
66	C₂×Q₈×C₅₃	—	4	4	no	—
67	C₂×Q₈×C₅₃	—	4	4	no	—
68	C₂×Q₈×C₅₃	—	4	4	no	—
69	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
70	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
71	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
72	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
73	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
74	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
75	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
76	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
77	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
78	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
79	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
80	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
81	C₂×D₂₁₂	—	2	4	no	—
82	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
83	C₂×D₂₁₂	—	4	2	no	—
84	C₂×D₂₁₂	—	4	2	no	—
85	C₂×D₂₁₂	—	4	2	no	—
86	C₂×D₂₁₂	—	4	2	no	—
87	C₂×D₂₁₂	C₂×Q₈	1	4	yes	—
88	C₂×C₄×D₅₃	—	4	4	no	—
89	C₂×C₄×D₅₃	—	4	4	no	—
90	C₂×C₄×D₅₃	—	4	4	no	—
91	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
92	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
93	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
94	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
95	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
96	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
97	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
98	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
99	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
100	C₄²×C₅₃	D₈	1	4	yes	—
101	C₄²×C₅₃	SD₁₆	1	4	yes	—
102	C₄²×C₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
103	C₄²×C₅₃	#41	1	2	yes	—
104	C₄²×C₅₃	#41	1	4	yes	—
105	#11719921	—	4	4	no	—
106	#11719921	—	4	4	no	—
107	#11719921	—	4	4	no	—
108	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
109	C₄⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
110	C₄⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
111	C₂×#88322	—	2	4	no	—
112	C₂×#88322	—	2	4	no	—
113	C₂×#88322	—	2	4	no	—
114	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
115	C₂²×D₅₃	—	2	4	no	—
116	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
117	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
118	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
119	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
120	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
121	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
122	Q₈×C₅₃	—	8	8	no	—
123	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
124	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
125	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
126	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
127	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
128	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
129	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
130	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
131	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
132	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
133	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
134	C₂×C₄×C₅₃	#124	1	2	yes	—
135	C₂×C₄×C₅₃	#124	1	2	yes	—
136	C₂×C₄×C₅₃	C₂×D₈	1	2	yes	—
137	C₂×C₄×C₅₃	C₂×D₈	1	2	yes	—
138	C₂×C₄×C₅₃	C₂×D₈	1	2	yes	—
139	C₂×C₄×C₅₃	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
140	C₂×C₄×C₅₃	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
141	C₂×C₄×C₅₃	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
142	C₂×C₄×C₅₃	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
143	C₂×C₄×C₅₃	#137	1	2	yes	—
144	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
145	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
146	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
147	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
148	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
149	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
150	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
151	D₂₁₂	—	2	8	no	—
152	D₂₁₂	—	4	4	no	—
153	D₂₁₂	—	4	8	no	—
154	D₂₁₂	—	4	8	no	—
155	C₄×D₅₃	—	8	8	no	—
156	#88322	—	4	4	no	—
157	#29139	—	53	1	no	maximal, Sylow
158	C₂²×C₅₃	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
159	C₂²×C₅₃	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
160	C₂²×C₅₃	#535	1	1	yes	characteristic
161	C₂²×C₅₃	C₂²×D₈	1	1	yes	characteristic
162	C₂²×C₅₃	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
163	C₂²×C₅₃	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
164	C₂²×C₅₃	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
165	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
166	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
167	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
168	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
169	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
170	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
171	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
172	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
173	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
174	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
175	C₄×C₅₃	—	8	4	no	—
176	C₄×C₅₃	#474	1	4	yes	—
177	C₄×C₅₃	#476	1	4	yes	—
178	C₄×C₅₃	#486	1	4	yes	—
179	C₄×C₅₃	#554	1	2	yes	—
180	C₄×C₅₃	#555	1	2	yes	—
181	Dic₅₃	—	8	2	no	—
182	#2868	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
183	C₄×#127	—	53	1	no	—
184	#2023	—	53	4	no	—
185	#1957	—	53	2	no	—
186	#1834	—	53	2	no	—
187	#1802	—	53	4	no	—
188	C₄×C₄⋊C₈	—	53	1	no	—
189	C₂×C₅₃	#2563	1	1	yes	characteristic
190	C₂×C₅₃	C₂×#474	1	1	yes	characteristic
191	C₂×C₅₃	C₂×#476	1	1	yes	characteristic
192	C₂×C₅₃	C₂×#486	1	1	yes	characteristic
193	C₂×C₅₃	#3141	1	1	yes	characteristic
194	C₂×C₅₃	#3205	1	1	yes	characteristic
195	C₂×C₅₃	#3206	1	1	yes	characteristic
196	D₅₃	—	8	4	no	—
197	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
198	C₂×C₄⋊Q₈	—	2	1	no	—
199	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
200	C₂×#127	—	53	1	no	—
201	C₂×C₄×D₄	—	53	2	no	—
202	C₂×C₄×D₄	—	106	1	no	—
203	C₂×C₄×D₄	—	106	1	no	—
204	C₂×C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
205	C₂×#102	—	53	8	no	—
206	C₂×C₄×C₈	—	53	2	no	—
207	#390	—	53	2	no	—
208	#390	—	106	1	no	—
209	#390	—	106	1	no	—
210	#384	—	2	1	no	—
211	#384	—	2	1	no	—
212	#384	—	53	1	no	—
213	#384	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
214	#384	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
215	C₄³	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
216	#340	—	53	8	no	—
217	#336	—	53	2	no	—
218	C₅₃	#29139	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
219	C₂²×Q₈	—	2	2	no	—
220	C₂²×D₄	—	53	2	no	—
221	C₂²×D₄	—	106	1	no	—
222	C₂²×D₄	—	106	1	no	—
223	C₂³×C₄	—	106	2	no	—
224	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
225	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
226	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
227	C₄⋊Q₈	—	4	4	no	—
228	#127	—	53	4	no	—
229	#127	—	106	2	no	—
230	C₄×D₄	—	106	8	no	—
231	C₄×D₄	—	212	4	no	—
232	C₄×D₄	—	212	4	no	—
233	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
234	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
235	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
236	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
237	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
238	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
239	C₂×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
240	C₂×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
241	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
242	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
243	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
244	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
245	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
246	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
247	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
248	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
249	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
250	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
251	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
252	C₄⋊C₈	—	106	4	no	—
253	#102	—	212	8	no	—
254	C₄×C₈	—	106	4	no	—
255	C₂⁴	—	106	2	no	—
256	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
257	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
258	C₂×Q₈	—	4	4	no	—
259	C₂×D₄	—	53	4	no	—
260	C₂×D₄	—	106	4	no	—
261	C₂×D₄	—	106	4	no	—
262	C₂×D₄	—	106	4	no	—
263	C₂×D₄	—	106	2	no	—
264	C₂×D₄	—	106	4	no	—
265	C₂×D₄	—	212	2	no	—
266	C₂×D₄	—	212	2	no	—
267	C₂×D₄	—	212	2	no	—
268	C₂×D₄	—	212	2	no	—
269	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
270	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
271	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
272	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
273	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
274	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
275	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
276	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
277	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
278	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
279	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
280	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
281	C₂×C₈	—	106	4	no	—
282	C₂×C₈	—	106	4	no	—
283	C₂×C₈	—	106	4	no	—
284	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
285	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
286	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
287	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
288	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
289	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
290	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
291	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
292	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
293	C₂²⋊C₄	—	212	4	no	—
294	C₂²⋊C₄	—	212	4	no	—
295	C₂²⋊C₄	—	212	4	no	—
296	C₄²	—	2	2	no	—
297	C₄²	—	2	2	no	—
298	C₄²	—	2	2	no	—
299	C₄²	#11719922	1	4	yes	—
300	C₄²	#11719924	1	4	yes	—
301	C₄²	Q₈×D₅₃	1	2	yes	—
302	C₄²	#11719949	1	2	yes	—
303	C₄²	#11719949	1	4	yes	—
304	C₂³	—	106	4	no	—
305	C₂³	—	212	2	no	—
306	C₂³	—	212	2	no	—
307	C₂³	—	212	2	no	—
308	C₂³	—	212	2	no	—
309	C₂³	—	212	2	no	—
310	C₂³	—	212	2	no	—
311	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
312	Q₈	—	8	8	no	—
313	D₄	—	106	8	no	—
314	D₄	—	212	4	no	—
315	D₄	—	212	8	no	—
316	D₄	—	212	8	no	—
317	C₂×C₄	—	2	1	no	—
318	C₂×C₄	—	2	1	no	—
319	C₂×C₄	—	2	1	no	—
320	C₂×C₄	—	2	1	no	—
321	C₂×C₄	—	2	1	no	—
322	C₂×C₄	—	2	1	no	—
323	C₂×C₄	—	4	4	no	—
324	C₂×C₄	—	4	4	no	—
325	C₂×C₄	—	4	4	no	—
326	C₂×C₄	—	424	8	no	—
327	C₂×C₄	—	212	2	no	—
328	C₂×C₄	—	212	2	no	—
329	C₂×C₄	—	212	2	no	—
330	C₂×C₄	#13133193	1	2	yes	—
331	C₂×C₄	#13133193	1	2	yes	—
332	C₂×C₄	#13133206	1	2	yes	—
333	C₂×C₄	#13133206	1	2	yes	—
334	C₂×C₄	C₂×#11719922	1	2	yes	—
335	C₂×C₄	C₂×#11719922	1	2	yes	—
336	C₂×C₄	C₂×#11719922	1	2	yes	—
337	C₂×C₄	C₂×#11719924	1	2	yes	—
338	C₂×C₄	C₂×#11719924	1	2	yes	—
339	C₂×C₄	C₂×#11719924	1	2	yes	—
340	C₂×C₄	#13133243	1	2	yes	—
341	C₂×C₄	#13133248	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	C₂×Q₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
343	C₂×C₄	C₂×#11719949	1	2	yes	—
344	C₂×C₄	C₂×#11719949	1	1	yes	characteristic
345	C₂×C₄	#13133262	1	2	yes	—
346	C₈	—	212	4	no	—
347	C₂²	—	424	2	no	—
348	C₂²	—	424	2	no	—
349	C₂²	—	424	2	no	—
350	C₂²	—	424	2	no	—
351	C₂²	—	212	4	no	—
352	C₂²	—	212	4	no	—
353	C₂²	—	212	4	no	—
354	C₂²	C₂×#13133193	1	1	yes	characteristic
355	C₂²	C₂×#13133206	1	1	yes	characteristic
356	C₂²	#16811190	1	1	yes	characteristic
357	C₂²	C₂²×#11719922	1	1	yes	characteristic
358	C₂²	C₂²×#11719924	1	1	yes	characteristic
359	C₂²	C₂×#13133243	1	1	yes	characteristic
360	C₂²	C₂×#13133248	1	1	yes	characteristic
361	C₄	—	2	2	no	—
362	C₄	—	2	2	no	—
363	C₄	—	2	2	no	—
364	C₄	—	8	4	no	—
365	C₄	—	424	2	no	—
366	C₄	#16810900	1	4	yes	—
367	C₄	#16810910	1	4	yes	—
368	C₄	#16810971	1	4	yes	—
369	C₄	#16811334	1	2	yes	—
370	C₄	#16811339	1	2	yes	—
371	C₂	—	424	4	no	—
372	C₂	#20279889	1	1	yes	characteristic
373	C₂	C₂×#16810900	1	1	yes	characteristic
374	C₂	C₂×#16810910	1	1	yes	characteristic
375	C₂	C₂×#16810971	1	1	yes	characteristic
376	C₂	#20285111	1	1	yes	characteristic
377	C₂	#20285633	1	1	yes	characteristic
378	C₂	#20285640	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#2868	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
prime radical	C₂×#13133214	C₂²
hypercenter	#2868	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#29139
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄³ ◁ #2868

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #20275848	C₂	semidirect
4. #20274842	C₂	semidirect
5. #20274712	C₂	semidirect
6. C₄×C₄⋊#88322	C₂	semidirect
7. C₅₃×#2868	C₂	semidirect
35. #13133214	Q₈	semidirect
182. #2868	D₅₃	semidirect
218. C₅₃	#29139	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₄×#13133214	2
#20275848	2
#20275520	2
#20274842	2
#20274712	2
C₄×C₄⋊#88322	2
C₅₃×#2868	2
#29139	53