Subgroups — #27483921

Order 13568.

754 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 334 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20283078	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	C₄×#13133205	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20275867	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#20275862	C₂	1	2	yes	maximal
5	#20275526	C₂	1	2	yes	maximal
6	#20274846	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#20274721	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#20274716	C₂	1	2	yes	maximal
9	C₄×C₄⋊C₈×C₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#13133209	C₂²	1	2	yes	—
11	C₂×#13133205	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×C₄×Dic₁₀₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×C₄×D₂₁₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#13133142	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂×#13133139	C₂²	1	4	yes	—
16	#16810529	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	#16810525	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#16810521	—	2	2	no	—
19	#16810521	—	2	2	no	—
20	#16810514	—	2	2	no	—
21	#16810493	C₂²	1	2	yes	—
22	#16810489	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	#16810489	C₂²	1	2	yes	—
24	C₄×#11719921	—	2	2	no	—
25	#16810386	C₂²	1	4	yes	—
26	#16810386	C₂²	1	4	yes	—
27	C₂×C₄⋊C₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
28	C₂×C₄×C₈×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
29	C₄³×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	C₅₃×#336	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂²×Dic₁₀₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
32	C₂²×D₂₁₂	C₂³	1	1	yes	characteristic
33	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	1	no	—
34	#13133209	—	4	4	no	—
35	#13133205	—	2	2	no	—
36	#13133205	Q₈	1	4	yes	—
37	C₄×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
38	C₄×D₂₁₂	—	2	4	no	—
39	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
40	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
41	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
43	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	4	yes	—
44	C₂×#11719919	—	2	1	no	—
45	C₂×#11719919	—	2	4	no	—
46	C₂×#11719921	—	2	2	no	—
47	C₂×#11719921	—	2	1	no	—
48	C₂×#11719921	—	2	2	no	—
49	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
50	#13133142	—	4	4	no	—
51	#13133139	—	4	4	no	—
52	#13133124	—	2	2	no	—
53	#13133124	—	2	2	no	—
54	#13133124	—	2	4	no	—
55	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
56	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
57	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
58	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₄⋊C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
62	C₄×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
63	C₂³×D₅₃	—	2	1	no	—
64	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
65	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
66	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
67	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
68	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
69	C₂²×Dic₅₃	—	2	1	no	—
70	C₂²×Dic₅₃	—	2	1	no	—
71	C₂²×Dic₅₃	—	2	1	no	—
72	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
73	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
74	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
75	C₂×D₂₁₂	—	2	1	no	—
76	C₂×D₂₁₂	C₂×Q₈	1	2	yes	—
77	C₂×C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
78	C₂×C₄×D₅₃	—	4	4	no	—
79	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
80	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
81	C₂×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
82	C₂×Dic₁₀₆	C₂×Q₈	1	2	yes	—
83	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
84	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
85	C₂×C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
86	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
87	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
88	C₄²×C₅₃	—	4	2	no	—
89	C₄²×C₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
90	C₄²×C₅₃	#41	1	2	yes	—
91	C₄²×C₅₃	#41	1	4	yes	—
92	#11719921	—	2	8	no	—
93	#11719921	—	4	4	no	—
94	#11719921	—	4	2	no	—
95	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
96	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
97	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
98	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
99	C₄⋊Dic₅₃	—	4	4	no	—
100	C₄⋊Dic₅₃	—	4	4	no	—
101	#11719919	—	4	8	no	—
102	#11719919	—	4	2	no	—
103	C₄×Dic₅₃	—	4	2	no	—
104	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
105	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
106	C₂²×D₅₃	—	4	1	no	—
107	C₂²×D₅₃	—	4	1	no	—
108	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
109	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
110	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
111	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
112	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
113	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
114	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
115	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
116	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
117	C₂×C₄×C₅₃	#124	1	2	yes	—
118	C₂×C₄×C₅₃	#124	1	2	yes	—
119	C₂×C₄×C₅₃	#135	1	4	yes	—
120	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
121	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
122	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
123	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
124	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
125	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
126	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
127	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
128	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
129	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
130	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
131	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
132	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
133	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
134	D₂₁₂	—	2	4	no	—
135	D₂₁₂	—	4	2	no	—
136	C₄×D₅₃	—	8	4	no	—
137	Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
138	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
139	C₈×C₅₃	—	4	4	no	—
140	#29140	—	53	1	no	maximal, Sylow
141	C₂²×C₅₃	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
142	C₂²×C₅₃	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
143	C₂²×C₅₃	#535	1	1	yes	characteristic
144	C₂²×C₅₃	C₂×#135	1	2	yes	—
145	C₂²×C₅₃	#575	1	2	yes	—
146	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
147	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
148	C₂×D₅₃	—	8	1	no	—
149	C₂×D₅₃	—	8	1	no	—
150	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
151	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
152	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
153	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
154	C₄×C₅₃	#488	1	4	yes	—
155	C₄×C₅₃	#554	1	2	yes	—
156	C₄×C₅₃	#555	1	2	yes	—
157	Dic₅₃	—	4	2	no	—
158	Dic₅₃	—	8	1	no	—
159	Dic₅₃	—	8	1	no	—
160	Dic₅₃	—	8	4	no	—
161	#2859	—	53	1	no	—
162	C₄×#124	—	53	1	no	—
163	#2026	—	53	2	no	—
164	#2025	—	53	2	no	—
165	#1958	—	53	2	no	—
166	#1835	—	53	2	no	—
167	#1803	—	53	2	no	—
168	#1802	—	53	2	no	—
169	C₄×C₄⋊C₈	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
170	C₂×C₅₃	#2563	1	1	yes	characteristic
171	C₂×C₅₃	#3076	1	2	yes	—
172	C₂×C₅₃	C₂×#488	1	1	yes	characteristic
173	C₂×C₅₃	#3142	1	1	yes	characteristic
174	C₂×C₅₃	#3212	1	2	yes	—
175	D₅₃	—	8	2	no	—
176	C₂×#125	—	53	2	no	—
177	C₂×#124	—	53	1	no	—
178	C₂×C₄×Q₈	—	53	1	no	—
179	C₂×C₄×D₄	—	53	1	no	—
180	C₂×C₄⋊C₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
181	C₂×#103	—	53	4	no	—
182	C₂×#102	—	53	4	no	—
183	C₂×C₄×C₈	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
184	#391	—	53	1	no	—
185	#390	—	53	1	no	—
186	#389	—	106	2	no	—
187	#389	—	106	2	no	—
188	#388	—	106	2	no	—
189	#384	—	53	2	no	—
190	#382	—	53	1	no	—
191	#382	—	53	2	no	—
192	C₄×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
193	C₄³	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
194	#340	—	53	4	no	—
195	#340	—	53	4	no	—
196	#336	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
197	C₅₃	#29140	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
198	C₂²×Q₈	—	53	1	no	—
199	C₂²×D₄	—	53	1	no	—
200	C₂³×C₄	—	106	1	no	—
201	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
202	#125	—	212	4	no	—
203	#124	—	53	4	no	—
204	#124	—	106	2	no	—
205	C₄×Q₈	—	106	4	no	—
206	C₄×D₄	—	106	4	no	—
207	C₂×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
208	C₂×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
209	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
210	C₂×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
211	C₂×C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
212	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
213	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
214	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
215	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	1	no	—
216	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
217	C₂×C₄²	—	106	1	no	—
218	C₂×C₄²	D₂₁₂	1	2	yes	—
219	C₂×C₄²	D₂₁₂	1	2	yes	—
220	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
221	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
222	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
223	C₄⋊C₈	—	2	4	no	—
224	#103	—	212	4	no	—
225	#102	—	212	4	no	—
226	C₄×C₈	—	2	4	no	—
227	#95	—	106	2	no	—
228	#95	—	106	2	no	—
229	#95	—	106	4	no	—
230	C₂⁴	—	106	1	no	—
231	C₂×Q₈	—	53	2	no	—
232	C₂×Q₈	—	106	1	no	—
233	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
234	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
235	C₂×D₄	—	53	2	no	—
236	C₂×D₄	—	106	1	no	—
237	C₂×D₄	—	106	2	no	—
238	C₂×D₄	—	106	2	no	—
239	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
240	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
241	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
242	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
243	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
244	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
245	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
246	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	2	yes	—
247	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
248	C₂²×C₄	C₂×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
249	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
250	C₂×C₈	—	2	4	no	—
251	C₂×C₈	—	2	4	no	—
252	C₂×C₈	—	2	4	no	—
253	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
254	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
255	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
256	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
257	C₄⋊C₄	—	212	8	no	—
258	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
259	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
260	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
261	C₂²⋊C₄	—	106	8	no	—
262	C₂²⋊C₄	—	212	4	no	—
263	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
264	C₄²	—	2	4	no	—
265	C₄²	—	2	2	no	—
266	C₄²	—	4	2	no	—
267	C₄²	—	212	2	no	—
268	C₄²	#11719945	1	4	yes	—
269	C₄²	#11719947	1	2	yes	—
270	C₄²	Q₈×D₅₃	1	2	yes	—
271	C₂³	—	106	2	no	—
272	C₂³	—	212	1	no	—
273	C₂³	—	212	2	no	—
274	C₂³	—	212	2	no	—
275	C₂³	—	212	1	no	—
276	C₂³	C₂²×D₂₁₂	1	1	yes	characteristic
277	Q₈	—	106	4	no	—
278	Q₈	—	212	2	no	—
279	D₄	—	106	4	no	—
280	D₄	—	212	2	no	—
281	C₂×C₄	—	2	2	no	—
282	C₂×C₄	—	2	2	no	—
283	C₂×C₄	—	2	2	no	—
284	C₂×C₄	—	2	2	no	—
285	C₂×C₄	—	2	2	no	—
286	C₂×C₄	—	2	2	no	—
287	C₂×C₄	—	106	2	no	—
288	C₂×C₄	—	424	4	no	—
289	C₂×C₄	—	212	1	no	—
290	C₂×C₄	—	212	1	no	—
291	C₂×C₄	—	212	4	no	—
292	C₂×C₄	—	212	2	no	—
293	C₂×C₄	—	212	2	no	—
294	C₂×C₄	—	212	4	no	—
295	C₂×C₄	—	212	4	no	—
296	C₂×C₄	—	212	1	no	—
297	C₂×C₄	—	212	1	no	—
298	C₂×C₄	#13133197	1	4	yes	—
299	C₂×C₄	#13133205	1	2	yes	—
300	C₂×C₄	#13133205	1	2	yes	—
301	C₂×C₄	#13133239	1	4	yes	—
302	C₂×C₄	C₂×Q₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
303	C₂×C₄	C₂×#11719947	1	1	yes	characteristic
304	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	2	yes	—
305	C₂×C₄	#13133263	1	2	yes	—
306	C₈	—	4	4	no	—
307	C₂²	—	424	1	no	—
308	C₂²	—	424	1	no	—
309	C₂²	—	424	2	no	—
310	C₂²	—	212	2	no	—
311	C₂²	—	212	4	no	—
312	C₂²	C₂×#13133197	1	1	yes	characteristic
313	C₂²	C₂×#13133205	1	1	yes	characteristic
314	C₂²	#16811192	1	1	yes	characteristic
315	C₂²	C₂×#13133239	1	2	yes	—
316	C₂²	#16811423	1	2	yes	—
317	C₄	—	2	4	no	—
318	C₄	—	2	2	no	—
319	C₄	—	4	2	no	—
320	C₄	—	424	1	no	—
321	C₄	—	424	1	no	—
322	C₄	—	424	4	no	—
323	C₄	—	212	2	no	—
324	C₄	#16810978	1	4	yes	—
325	C₄	#16811333	1	2	yes	—
326	C₄	#16811338	1	2	yes	—
327	C₂	—	424	2	no	—
328	C₂	#20279884	1	1	yes	characteristic
329	C₂	#20284505	1	2	yes	—
330	C₂	C₂×#16810978	1	1	yes	characteristic
331	C₂	#20285116	1	1	yes	characteristic
332	C₂	#20285693	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂²×D₂₁₂
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₄×C₄⋊C₈×C₅₃	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
prime radical	C₂²×D₂₁₂	C₂³
hypercenter	C₄×C₄⋊C₈	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#29140
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄³ ◁ C₄×C₄⋊C₈

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #20283078	C₂	semidirect
3. #20275867	C₂	semidirect
6. #20274846	C₂	semidirect
7. #20274721	C₂	semidirect
9. C₄×C₄⋊C₈×C₅₃	C₂	semidirect
169. C₄×C₄⋊C₈	D₅₃	semidirect
197. C₅₃	#29140	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20283078	2
C₄×#13133205	2
#20275867	2
#20275862	2
#20275526	2
#20274846	2
#20274721	2
#20274716	2
C₄×C₄⋊C₈×C₅₃	2
#29140	53