Subgroups — #27483968

Order 13568.

742 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 388 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20283075	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
2	#20277258	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20275866	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
4	#20275862	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#20275858	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#20275528	C₂	1	2	yes	maximal
7	#20274847	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
8	#20274728	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#20274724	C₂	1	2	yes	maximal
10	#20274567	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₅₃×#2026	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#13133209	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×#13133206	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×Q₈×Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
15	C₂×#13133179	C₂²	1	1	yes	characteristic
16	C₂×#13133146	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#13133141	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#13133139	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#13133137	C₂²	1	2	yes	—
20	C₂×#13133127	C₂²	1	2	yes	—
21	#16810525	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#16810518	—	2	2	no	—
23	#16810518	—	2	2	no	—
24	#16810515	—	2	2	no	—
25	#16810492	C₂²	1	2	yes	—
26	#16810488	C₂²	1	1	yes	characteristic
27	#16810488	C₂²	1	2	yes	—
28	#16810470	—	2	2	no	—
29	C₄²×Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
30	#16810386	C₂²	1	2	yes	—
31	#16810385	C₂²	1	2	yes	—
32	#16810385	C₂²	1	2	yes	—
33	#16810378	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×#125×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂×#103×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
36	C₅₃×#391	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₅₃×#340	C₂²	1	2	yes	—
38	C₅₃×#336	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂²×D₂₁₂	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	1	no	—
41	C₂²×#88322	C₂³	1	2	yes	—
42	#13133209	—	4	2	no	—
43	#13133206	—	2	2	no	—
44	#13133206	Q₈	1	4	yes	—
45	Q₈×Dic₅₃	—	2	4	no	—
46	#13133179	—	2	4	no	—
47	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
48	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
49	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
50	C₂×#11719919	—	2	2	no	—
51	C₂×#11719919	—	2	2	no	—
52	C₂×#11719919	—	2	2	no	—
53	C₂×#11719921	—	2	2	no	—
54	C₂×#11719921	—	2	2	no	—
55	C₂×#11719921	—	2	1	no	—
56	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
57	C₂×C₄×Dic₅₃	D₄	1	2	yes	—
58	C₂×C₄×Dic₅₃	D₄	1	2	yes	—
59	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	#13133146	—	2	4	no	—
62	#13133141	—	4	2	no	—
63	#13133139	—	4	2	no	—
64	#13133137	—	4	2	no	—
65	#13133127	—	2	4	no	—
66	#13133124	—	2	2	no	—
67	#13133124	—	2	2	no	—
68	#13133124	—	2	2	no	—
69	C₂²×Q₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
71	#125×C₅₃	—	4	2	no	—
72	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
73	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
74	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
76	#103×C₅₃	—	4	2	no	—
77	#95×C₅₃	—	2	2	no	—
78	C₂³×D₅₃	—	2	1	no	—
79	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	1	no	—
80	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
81	C₂×Q₈×C₅₃	—	2	2	no	—
82	C₂×Q₈×C₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
83	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
84	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
85	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
86	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
87	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
88	C₂²×Dic₅₃	—	2	1	no	—
89	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
90	C₂²×Dic₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
91	C₂²×Dic₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
92	C₂²×Dic₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
93	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
94	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
95	C₂×D₂₁₂	—	2	1	no	—
96	C₂×D₂₁₂	C₂×Q₈	1	2	yes	—
97	C₂×C₄×D₅₃	—	4	4	no	—
98	C₂×C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
99	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
100	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
101	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
102	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
103	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
104	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
105	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
106	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
107	#11719921	—	2	8	no	—
108	#11719921	—	4	4	no	—
109	#11719921	—	4	2	no	—
110	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
111	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
112	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
113	C₄⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
114	#11719919	—	4	4	no	—
115	#11719919	—	4	4	no	—
116	#11719919	—	4	4	no	—
117	C₄×Dic₅₃	—	4	2	no	—
118	C₄×Dic₅₃	—	4	2	no	—
119	C₄×Dic₅₃	—	4	2	no	—
120	C₄×Dic₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
121	C₄×Dic₅₃	#41	1	2	yes	—
122	C₄×Dic₅₃	#41	1	4	yes	—
123	C₂×#88322	—	2	2	no	—
124	C₂×#88322	—	2	2	no	—
125	C₂×#88322	—	2	2	no	—
126	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
127	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
128	C₂²×D₅₃	—	4	1	no	—
129	C₂²×D₅₃	—	4	1	no	—
130	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
131	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
132	Q₈×C₅₃	—	2	4	no	—
133	Q₈×C₅₃	—	4	2	no	—
134	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
135	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
136	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
137	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
138	C₂×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
139	C₂×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
140	C₂×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
141	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
142	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
143	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
144	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
145	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
146	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
147	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
148	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
149	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
150	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
151	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
152	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
153	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
154	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
155	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
156	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
157	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
158	C₂×Dic₅₃	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
159	C₂×Dic₅₃	#124	1	2	yes	—
160	C₂×Dic₅₃	#124	1	2	yes	—
161	D₂₁₂	—	2	4	no	—
162	D₂₁₂	—	4	2	no	—
163	C₄×D₅₃	—	8	4	no	—
164	C₈×C₅₃	—	4	2	no	—
165	#88322	—	4	2	no	—
166	#29146	—	53	1	no	maximal, Sylow
167	C₂²×C₅₃	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
168	C₂²×C₅₃	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
169	C₂²×C₅₃	#535	1	1	yes	characteristic
170	C₂²×C₅₃	#575	1	2	yes	—
171	C₂²×C₅₃	#575	1	2	yes	—
172	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
173	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
174	C₂×D₅₃	—	8	1	no	—
175	C₂×D₅₃	—	8	1	no	—
176	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
177	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
178	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
179	C₄×C₅₃	—	8	1	no	—
180	C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
181	C₄×C₅₃	#554	1	2	yes	—
182	C₄×C₅₃	#555	1	2	yes	—
183	Dic₅₃	—	2	4	no	—
184	Dic₅₃	—	2	2	no	—
185	Dic₅₃	—	2	2	no	—
186	Dic₅₃	—	8	1	no	—
187	Dic₅₃	—	8	2	no	—
188	#2859	—	53	1	no	—
189	C₄×#124	—	53	1	no	—
190	#2026	—	53	1	no	—
191	#2026	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
192	#2025	—	53	1	no	—
193	#2025	—	53	1	no	—
194	#1959	—	53	2	no	—
195	#1836	—	53	2	no	—
196	#1805	—	53	2	no	—
197	#1804	—	53	2	no	—
198	#1767	—	53	1	no	—
199	C₂×C₅₃	#2563	1	1	yes	characteristic
200	C₂×C₅₃	#3080	1	2	yes	—
201	C₂×C₅₃	#3135	1	1	yes	characteristic
202	C₂×C₅₃	#3140	1	1	yes	characteristic
203	C₂×C₅₃	#3219	1	2	yes	—
204	D₅₃	—	8	2	no	—
205	C₂×#125	—	53	1	no	—
206	C₂×#125	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
207	C₂×#124	—	53	1	no	—
208	C₂×C₄×Q₈	—	53	1	no	—
209	C₂×C₄×D₄	—	53	1	no	—
210	C₂×C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
211	C₂×#103	—	53	2	no	—
212	C₂×#103	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
213	C₂×#102	—	53	2	no	—
214	C₂×#102	—	53	2	no	—
215	C₂×#97	—	53	2	no	—
216	#391	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
217	#390	—	53	1	no	—
218	#389	—	106	2	no	—
219	#389	—	106	2	no	—
220	#388	—	106	2	no	—
221	#384	—	53	2	no	—
222	#382	—	53	2	no	—
223	#382	—	53	1	no	—
224	C₄×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
225	C₄³	—	53	1	no	—
226	#340	—	53	2	no	—
227	#340	—	53	2	no	—
228	#340	—	53	2	no	—
229	#340	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
230	#336	—	53	1	no	—
231	#336	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
232	C₅₃	#29146	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
233	C₂²×Q₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
234	C₂²×D₄	—	53	1	no	—
235	C₂³×C₄	—	106	1	no	—
236	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
237	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
238	#125	—	4	2	no	—
239	#125	—	212	2	no	—
240	#124	—	53	4	no	—
241	#124	—	106	2	no	—
242	C₄×Q₈	—	106	4	no	—
243	C₄×D₄	—	106	4	no	—
244	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
245	C₂×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
246	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
247	C₂×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
248	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
249	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
250	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
251	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
252	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
253	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
254	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	1	no	—
255	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
256	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
257	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
258	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
259	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
260	C₂×C₄²	—	106	1	no	—
261	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
262	C₄⋊C₈	—	106	4	no	—
263	#103	—	4	2	no	—
264	#103	—	212	2	no	—
265	#102	—	212	2	no	—
266	#102	—	212	2	no	—
267	#97	—	106	4	no	—
268	#95	—	2	2	no	—
269	#95	—	106	2	no	—
270	#95	—	106	2	no	—
271	#95	—	106	2	no	—
272	C₂⁴	—	106	1	no	—
273	C₂×Q₈	—	2	1	no	—
274	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
275	C₂×Q₈	—	2	2	no	—
276	C₂×Q₈	Q₈×D₅₃	1	2	yes	—
277	C₂×D₄	—	53	2	no	—
278	C₂×D₄	—	106	2	no	—
279	C₂×D₄	—	106	1	no	—
280	C₂×D₄	—	106	2	no	—
281	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
282	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
283	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
284	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
285	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
286	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
287	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
288	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
289	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
290	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
291	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
292	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
293	C₂×C₈	—	2	2	no	—
294	C₂×C₈	—	2	2	no	—
295	C₂×C₈	—	2	2	no	—
296	C₂×C₈	—	106	2	no	—
297	C₂×C₈	—	106	2	no	—
298	C₂×C₈	—	106	2	no	—
299	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
300	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
301	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
302	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
303	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
304	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
305	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
306	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
307	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
308	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
309	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
310	C₂²⋊C₄	—	106	8	no	—
311	C₂²⋊C₄	—	212	4	no	—
312	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
313	C₄²	—	2	2	no	—
314	C₄²	—	53	2	no	—
315	C₄²	—	53	2	no	—
316	C₄²	—	53	4	no	—
317	C₄²	—	212	2	no	—
318	C₄²	—	212	2	no	—
319	C₄²	—	212	2	no	—
320	C₂³	—	106	2	no	—
321	C₂³	—	212	1	no	—
322	C₂³	—	212	2	no	—
323	C₂³	—	212	2	no	—
324	C₂³	—	212	1	no	—
325	C₂³	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
326	Q₈	—	2	4	no	—
327	Q₈	—	4	2	no	—
328	D₄	—	106	4	no	—
329	D₄	—	212	2	no	—
330	C₂×C₄	—	2	2	no	—
331	C₂×C₄	—	2	2	no	—
332	C₂×C₄	—	2	2	no	—
333	C₂×C₄	—	2	2	no	—
334	C₂×C₄	—	4	1	no	—
335	C₂×C₄	—	4	1	no	—
336	C₂×C₄	—	4	1	no	—
337	C₂×C₄	—	4	2	no	—
338	C₂×C₄	—	4	2	no	—
339	C₂×C₄	—	4	2	no	—
340	C₂×C₄	—	4	2	no	—
341	C₂×C₄	—	53	4	no	—
342	C₂×C₄	—	53	2	no	—
343	C₂×C₄	—	53	2	no	—
344	C₂×C₄	—	106	2	no	—
345	C₂×C₄	—	106	2	no	—
346	C₂×C₄	—	106	2	no	—
347	C₂×C₄	—	106	2	no	—
348	C₂×C₄	—	424	4	no	—
349	C₂×C₄	—	212	1	no	—
350	C₂×C₄	—	212	2	no	—
351	C₂×C₄	—	212	2	no	—
352	C₂×C₄	—	212	2	no	—
353	C₂×C₄	—	212	2	no	—
354	C₂×C₄	C₂×Q₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
355	C₂×C₄	#41×D₅₃	1	2	yes	—
356	C₂×C₄	#41×D₅₃	1	1	yes	characteristic
357	C₂×C₄	#13133262	1	2	yes	—
358	C₈	—	4	2	no	—
359	C₈	—	212	2	no	—
360	C₂²	—	424	2	no	—
361	C₂²	—	424	1	no	—
362	C₂²	—	424	1	no	—
363	C₂²	—	212	2	no	—
364	C₂²	—	212	4	no	—
365	C₂²	C₂²⋊Q₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
366	C₂²	#124×D₅₃	1	1	yes	characteristic
367	C₂²	#16811188	1	1	yes	characteristic
368	C₂²	#16811420	1	2	yes	—
369	C₂²	#16811422	1	2	yes	—
370	C₄	—	4	2	no	—
371	C₄	—	4	2	no	—
372	C₄	—	8	2	no	—
373	C₄	—	8	1	no	—
374	C₄	—	106	4	no	—
375	C₄	—	106	2	no	—
376	C₄	—	106	2	no	—
377	C₄	—	424	2	no	—
378	C₄	—	424	1	no	—
379	C₄	#16811327	1	2	yes	—
380	C₄	#16811335	1	2	yes	—
381	C₂	—	424	2	no	—
382	C₂	#20279883	1	1	yes	characteristic
383	C₂	#20284534	1	2	yes	—
384	C₂	#20285062	1	1	yes	characteristic
385	C₂	#20285098	1	1	yes	characteristic
386	C₂	#20285756	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂×D₄×D₅₃
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#2026	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
prime radical	C₂²×D₂₁₂	C₂³
hypercenter	#2026	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#29146
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ #2026

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
1. #20283075	C₂	semidirect
3. #20275866	C₂	semidirect
7. #20274847	C₂	semidirect
8. #20274728	C₂	semidirect
10. #20274567	C₂	semidirect
11. C₅₃×#2026	C₂	semidirect
191. #2026	D₅₃	semidirect
232. C₅₃	#29146	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20283075	2
#20277258	2
#20275866	2
#20275862	2
#20275858	2
#20275528	2
#20274847	2
#20274728	2
#20274724	2
#20274567	2
C₅₃×#2026	2
#29146	53