Subgroups — #27483974

Order 13568.

742 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 336 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	C₄×#13133205	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20275863	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#20275858	C₂	1	2	yes	maximal
4	#20275529	C₂	1	2	yes	maximal
5	#20274850	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
6	#20274727	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
7	#20274722	C₂	1	2	yes	maximal
8	#20274568	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
9	C₅₃×#2859	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
10	C₂×#13133205	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×C₄×Dic₁₀₆	C₂²	1	1	yes	characteristic
12	C₂×C₄×D₂₁₂	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×C₄⋊#88322	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#13133140	C₂²	1	4	yes	—
15	C₂×#13133137	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×#13133128	C₂²	1	2	yes	—
17	#16810529	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#16810525	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#16810514	—	2	2	no	—
20	#16810489	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	C₄×#11719921	—	2	2	no	—
22	#16810385	C₂²	1	4	yes	—
23	#16810385	C₂²	1	4	yes	—
24	#16810378	C₂²	1	2	yes	—
25	C₂×#125×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
26	C₅₃×#389	—	2	2	no	—
27	C₅₃×#389	—	2	2	no	—
28	C₅₃×#384	C₂²	1	2	yes	—
29	C₅₃×#382	C₂²	1	2	yes	—
30	C₄³×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂²×Dic₁₀₆	C₂³	1	1	yes	characteristic
32	C₂²×D₂₁₂	C₂³	1	1	yes	characteristic
33	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	1	no	—
34	C₂²×#88322	C₂³	1	4	yes	—
35	#13133205	—	2	2	no	—
36	#13133205	Q₈	1	4	yes	—
37	C₄×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
38	C₄×D₂₁₂	—	2	4	no	—
39	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
40	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
41	C₂×#11719919	—	2	1	no	—
42	C₂×#11719921	—	2	2	no	—
43	C₂×#11719921	—	2	1	no	—
44	C₂×#11719921	—	2	2	no	—
45	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
46	C₄⋊#88322	—	2	4	no	—
47	#13133140	—	4	4	no	—
48	#13133137	—	4	4	no	—
49	#13133128	—	2	4	no	—
50	#13133124	—	2	2	no	—
51	#13133124	—	2	2	no	—
52	#125×C₅₃	—	4	4	no	—
53	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
54	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
55	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
56	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	4	yes	—
57	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
58	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
59	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
61	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
62	#95×C₅₃	—	2	2	no	—
63	#95×C₅₃	—	2	2	no	—
64	C₂³×D₅₃	—	2	1	no	—
65	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
66	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
67	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
68	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
69	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
70	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
71	C₂²×Dic₅₃	—	2	1	no	—
72	C₂²×Dic₅₃	—	2	1	no	—
73	C₂²×Dic₅₃	—	2	1	no	—
74	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
75	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
76	C₂×D₂₁₂	—	2	1	no	—
77	C₂×D₂₁₂	C₂×Q₈	1	2	yes	—
78	C₂×C₄×D₅₃	—	4	4	no	—
79	C₂×C₄×D₅₃	—	4	2	no	—
80	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
81	C₂×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
82	C₂×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
83	C₂×Dic₁₀₆	C₂×Q₈	1	2	yes	—
84	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
85	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
86	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
87	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
88	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	8	no	—
89	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
90	C₄²×C₅₃	—	4	2	no	—
91	C₄²×C₅₃	—	4	2	no	—
92	C₄²×C₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
93	C₄²×C₅₃	#41	1	2	yes	—
94	C₄²×C₅₃	#41	1	4	yes	—
95	#11719921	—	2	8	no	—
96	#11719921	—	4	4	no	—
97	#11719921	—	4	2	no	—
98	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
99	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
100	#11719919	—	4	2	no	—
101	C₄×Dic₅₃	—	4	2	no	—
102	C₂×#88322	—	2	4	no	—
103	C₂×#88322	—	2	4	no	—
104	C₂×#88322	—	2	4	no	—
105	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
106	C₂²×D₅₃	—	2	2	no	—
107	C₂²×D₅₃	—	4	1	no	—
108	C₂²×D₅₃	—	4	1	no	—
109	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
110	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
111	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
112	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
113	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
114	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
115	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
116	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
117	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
118	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
119	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
120	C₂×C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
121	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
122	C₂×C₄×C₅₃	#124	1	2	yes	—
123	C₂×C₄×C₅₃	#124	1	2	yes	—
124	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
125	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
126	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
127	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
128	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
129	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
130	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
131	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
132	C₂×Dic₅₃	—	4	1	no	—
133	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
134	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
135	D₂₁₂	—	2	4	no	—
136	D₂₁₂	—	4	2	no	—
137	C₄×D₅₃	—	8	4	no	—
138	Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
139	Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
140	#88322	—	4	4	no	—
141	#29146	—	53	1	no	maximal, Sylow
142	C₂²×C₅₃	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
143	C₂²×C₅₃	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
144	C₂²×C₅₃	#535	1	1	yes	characteristic
145	C₂²×C₅₃	#575	1	2	yes	—
146	C₂²×C₅₃	#575	1	2	yes	—
147	C₂×D₅₃	—	4	2	no	—
148	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
149	C₂×D₅₃	—	8	1	no	—
150	C₂×D₅₃	—	8	1	no	—
151	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
152	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
153	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
154	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
155	C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
156	C₄×C₅₃	—	8	4	no	—
157	C₄×C₅₃	#554	1	2	yes	—
158	C₄×C₅₃	#555	1	2	yes	—
159	Dic₅₃	—	4	2	no	—
160	Dic₅₃	—	8	1	no	—
161	Dic₅₃	—	8	1	no	—
162	#2859	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
163	C₄×#124	—	53	1	no	—
164	#2026	—	53	2	no	—
165	#2025	—	53	2	no	—
166	#1959	—	53	2	no	—
167	#1836	—	53	2	no	—
168	#1805	—	53	2	no	—
169	#1804	—	53	2	no	—
170	#1767	—	53	1	no	—
171	C₂×C₅₃	#2563	1	1	yes	characteristic
172	C₂×C₅₃	#3080	1	2	yes	—
173	C₂×C₅₃	#3135	1	1	yes	characteristic
174	C₂×C₅₃	#3140	1	1	yes	characteristic
175	C₂×C₅₃	#3219	1	2	yes	—
176	D₅₃	—	8	2	no	—
177	C₂×#125	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
178	C₂×#124	—	53	1	no	—
179	C₂×C₄×Q₈	—	53	1	no	—
180	C₂×C₄×D₄	—	53	1	no	—
181	C₂×C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
182	C₂×#103	—	53	4	no	—
183	C₂×#102	—	53	4	no	—
184	C₂×#97	—	53	2	no	—
185	#391	—	53	1	no	—
186	#390	—	53	1	no	—
187	#389	—	2	2	no	—
188	#389	—	2	2	no	—
189	#388	—	106	2	no	—
190	#384	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
191	#382	—	53	1	no	—
192	#382	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
193	C₄×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
194	C₄³	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
195	#340	—	53	4	no	—
196	#340	—	53	4	no	—
197	#336	—	53	2	no	—
198	C₅₃	#29146	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
199	C₂²×Q₈	—	53	1	no	—
200	C₂²×D₄	—	53	1	no	—
201	C₂³×C₄	—	106	1	no	—
202	C₂²×C₈	—	53	4	no	—
203	#125	—	4	4	no	—
204	#124	—	53	4	no	—
205	#124	—	106	2	no	—
206	C₄×Q₈	—	106	4	no	—
207	C₄×D₄	—	106	4	no	—
208	C₂×C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
209	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
210	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
211	C₂×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
212	C₂×C₄⋊C₄	—	53	1	no	—
213	C₂×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
214	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	4	yes	—
215	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
216	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	1	no	—
217	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
218	C₂×C₄²	—	106	1	no	—
219	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
220	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
221	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
222	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
223	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
224	C₄⋊C₈	—	106	4	no	—
225	#103	—	212	4	no	—
226	#102	—	212	4	no	—
227	#97	—	106	4	no	—
228	#95	—	2	2	no	—
229	#95	—	2	2	no	—
230	#95	—	106	2	no	—
231	#95	—	106	2	no	—
232	C₂⁴	—	106	1	no	—
233	C₂×Q₈	—	53	2	no	—
234	C₂×Q₈	—	106	1	no	—
235	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
236	C₂×Q₈	—	106	2	no	—
237	C₂×D₄	—	53	2	no	—
238	C₂×D₄	—	106	2	no	—
239	C₂×D₄	—	106	1	no	—
240	C₂×D₄	—	106	2	no	—
241	C₂²×C₄	—	2	4	no	—
242	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
243	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
244	C₂²×C₄	—	106	1	no	—
245	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
246	C₂²×C₄	—	212	2	no	—
247	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
248	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
249	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
250	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
251	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
252	C₂×C₈	—	106	4	no	—
253	C₂×C₈	—	106	4	no	—
254	C₂×C₈	—	106	4	no	—
255	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
256	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
257	C₄⋊C₄	—	4	8	no	—
258	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
259	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
260	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
261	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
262	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
263	C₂²⋊C₄	—	106	8	no	—
264	C₂²⋊C₄	—	212	4	no	—
265	C₂²⋊C₄	—	212	2	no	—
266	C₄²	—	2	2	no	—
267	C₄²	—	4	2	no	—
268	C₄²	—	4	2	no	—
269	C₄²	—	212	2	no	—
270	C₄²	Q₈×D₅₃	1	2	yes	—
271	C₄²	#11719949	1	2	yes	—
272	C₄²	#11719949	1	4	yes	—
273	C₂³	—	106	2	no	—
274	C₂³	—	212	1	no	—
275	C₂³	—	212	2	no	—
276	C₂³	—	212	2	no	—
277	C₂³	—	212	1	no	—
278	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
279	Q₈	—	106	4	no	—
280	Q₈	—	212	2	no	—
281	D₄	—	106	4	no	—
282	D₄	—	212	2	no	—
283	C₂×C₄	—	2	2	no	—
284	C₂×C₄	—	2	2	no	—
285	C₂×C₄	—	2	2	no	—
286	C₂×C₄	—	2	2	no	—
287	C₂×C₄	—	2	2	no	—
288	C₂×C₄	—	2	2	no	—
289	C₂×C₄	—	2	2	no	—
290	C₂×C₄	—	4	4	no	—
291	C₂×C₄	—	4	4	no	—
292	C₂×C₄	—	4	4	no	—
293	C₂×C₄	—	106	2	no	—
294	C₂×C₄	—	424	4	no	—
295	C₂×C₄	—	212	1	no	—
296	C₂×C₄	—	212	1	no	—
297	C₂×C₄	—	212	2	no	—
298	C₂×C₄	—	212	2	no	—
299	C₂×C₄	—	212	1	no	—
300	C₂×C₄	—	212	1	no	—
301	C₂×C₄	#13133193	1	4	yes	—
302	C₂×C₄	#13133206	1	2	yes	—
303	C₂×C₄	#13133206	1	2	yes	—
304	C₂×C₄	C₂×Q₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
305	C₂×C₄	C₂×#11719949	1	2	yes	—
306	C₂×C₄	C₂×#11719949	1	1	yes	characteristic
307	C₂×C₄	#13133262	1	2	yes	—
308	C₈	—	212	4	no	—
309	C₂²	—	424	2	no	—
310	C₂²	—	424	1	no	—
311	C₂²	—	424	1	no	—
312	C₂²	—	212	2	no	—
313	C₂²	—	212	4	no	—
314	C₂²	C₂×#13133193	1	1	yes	characteristic
315	C₂²	C₂×#13133206	1	1	yes	characteristic
316	C₂²	#16811190	1	1	yes	characteristic
317	C₂²	#16811421	1	2	yes	—
318	C₂²	#16811421	1	2	yes	—
319	C₄	—	2	4	no	—
320	C₄	—	2	2	no	—
321	C₄	—	2	2	no	—
322	C₄	—	4	2	no	—
323	C₄	—	8	4	no	—
324	C₄	—	424	1	no	—
325	C₄	—	424	1	no	—
326	C₄	—	212	2	no	—
327	C₄	#16811334	1	2	yes	—
328	C₄	#16811339	1	2	yes	—
329	C₂	—	424	2	no	—
330	C₂	#20279889	1	1	yes	characteristic
331	C₂	#20284533	1	2	yes	—
332	C₂	#20285063	1	1	yes	characteristic
333	C₂	#20285104	1	1	yes	characteristic
334	C₂	#20285752	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#2859	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
prime radical	C₂²×D₂₁₂	C₂³
hypercenter	#2859	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#29146
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄³ ◁ #2859

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #20275863	C₂	semidirect
5. #20274850	C₂	semidirect
6. #20274727	C₂	semidirect
8. #20274568	C₂	semidirect
9. C₅₃×#2859	C₂	semidirect
162. #2859	D₅₃	semidirect
198. C₅₃	#29146	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
C₄×#13133205	2
#20275863	2
#20275858	2
#20275529	2
#20274850	2
#20274727	2
#20274722	2
#20274568	2
C₅₃×#2859	2
#29146	53