Subgroups — #27484028

Order 13568.

798 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 400 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20277440	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20275858	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
3	#20275848	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
4	#20275538	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#20275520	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#20274850	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
7	#20274845	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
8	#20274722	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
9	#20274712	C₂	1	2	yes	maximal, complemented
10	#20274572	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
11	C₅₃×#2660	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic, complemented
12	C₂×#13133214	C₂²	1	1	yes	characteristic
13	C₂×C₄×D₂₁₂	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×C₄⋊#88322	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#13133137	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#13133137	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×#13133137	C₂²	1	2	yes	—
18	C₂×#13133137	C₂²	1	2	yes	—
19	C₂×#13133128	C₂²	1	1	yes	characteristic
20	C₂×C₄×#88322	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#16810525	C₂²	1	2	yes	—
22	#16810501	—	2	2	no	—
23	#16810501	—	2	2	no	—
24	#16810489	C₂²	1	1	yes	characteristic
25	#16810385	C₂²	1	2	yes	—
26	#16810385	C₂²	1	2	yes	—
27	#16810385	C₂²	1	2	yes	—
28	#16810385	C₂²	1	2	yes	—
29	#16810378	C₂²	1	2	yes	—
30	C₂×C₄⋊Q₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
31	C₂×#125×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
32	C₅₃×#398	—	2	2	no	—
33	C₅₃×#395	—	2	2	no	—
34	C₅₃×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₅₃×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
36	C₅₃×#382	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₅₃×#382	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₅₃×#376	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂²×D₂₁₂	—	2	2	no	—
40	C₂²×D₂₁₂	C₂³	1	2	yes	—
41	C₂²×C₄×D₅₃	—	2	2	no	—
42	C₂²×#88322	C₂³	1	2	yes	—
43	C₂²×#88322	C₂³	1	2	yes	—
44	#13133214	—	2	2	no	—
45	#13133214	Q₈	1	4	yes	complemented
46	C₄×D₂₁₂	—	2	4	no	—
47	C₄×D₂₁₂	—	2	4	no	—
48	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂×#11719921	—	2	2	no	—
50	C₂×#11719921	—	2	2	no	—
51	C₂×#11719921	—	2	2	no	—
52	C₄⋊#88322	—	2	4	no	—
53	#13133137	—	4	2	no	—
54	#13133137	—	4	2	no	—
55	#13133137	—	4	2	no	—
56	#13133137	—	4	2	no	—
57	#13133128	—	2	2	no	—
58	C₄×#88322	—	2	2	no	—
59	#13133124	—	2	2	no	—
60	C₂²×Q₈×C₅₃	—	2	1	no	—
61	C₄⋊Q₈×C₅₃	—	4	2	no	—
62	#125×C₅₃	—	4	2	no	—
63	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
64	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
65	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
66	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
67	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
68	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
69	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
70	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
72	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
74	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
75	#95×C₅₃	—	2	2	no	—
76	#95×C₅₃	—	2	2	no	—
77	#95×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
78	#95×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
79	C₂³×D₅₃	—	2	2	no	—
80	C₂×Q₈×C₅₃	—	4	2	no	—
81	C₂×Q₈×C₅₃	—	8	2	no	—
82	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
83	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
84	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
85	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
86	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
87	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
88	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
89	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
90	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
91	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
92	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
93	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
94	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
95	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
96	C₂×D₂₁₂	—	2	2	no	—
97	C₂×D₂₁₂	—	2	8	no	—
98	C₂×D₂₁₂	—	8	2	no	—
99	C₂×D₂₁₂	—	8	2	no	—
100	C₂×D₂₁₂	C₂×Q₈	1	4	yes	—
101	C₂×C₄×D₅₃	—	4	4	no	—
102	C₂×C₄×D₅₃	—	8	2	no	—
103	C₂×C₄×D₅₃	—	8	2	no	—
104	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
105	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
106	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
107	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
108	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
109	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
110	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
111	C₄⋊C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
112	C₄⋊C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
113	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
114	C₄²×C₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
115	C₄²×C₅₃	#41	1	2	yes	—
116	C₄²×C₅₃	#41	1	4	yes	—
117	#11719921	—	4	4	no	—
118	#11719921	—	8	2	no	—
119	#11719921	—	8	2	no	—
120	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
121	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
122	C₂×#88322	—	2	2	no	—
123	C₂×#88322	—	2	2	no	—
124	C₂×#88322	—	2	2	no	—
125	C₂×#88322	—	2	2	no	—
126	C₂×#88322	—	2	2	no	—
127	C₂×#88322	—	2	2	no	—
128	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
129	C₂²×D₅₃	—	2	4	no	—
130	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
131	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
132	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
133	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
134	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
135	C₂²×D₅₃	—	4	2	no	—
136	Q₈×C₅₃	—	8	4	no	—
137	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
138	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
139	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
140	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
141	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
142	C₂×C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
143	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
144	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
145	C₂×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
146	C₂×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
147	C₂×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
148	C₂×C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
149	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
150	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
151	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
152	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
153	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
154	C₂×C₄×C₅₃	#124	1	4	yes	—
155	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
156	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	2	yes	—
157	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
158	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
159	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
160	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
161	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
162	D₂₁₂	—	2	4	no	—
163	D₂₁₂	—	2	4	no	—
164	D₂₁₂	—	4	2	no	—
165	D₂₁₂	—	4	2	no	—
166	D₂₁₂	—	8	8	no	—
167	C₄×D₅₃	—	8	8	no	—
168	#88322	—	4	2	no	—
169	#88322	—	4	2	no	—
170	#29152	—	53	1	no	maximal, Sylow
171	C₂²×C₅₃	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
172	C₂²×C₅₃	C₂×#124	1	1	yes	characteristic
173	C₂²×C₅₃	#535	1	1	yes	characteristic
174	C₂²×C₅₃	#576	1	2	yes	—
175	C₂²×C₅₃	#577	1	2	yes	—
176	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
177	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
178	C₂×D₅₃	—	4	4	no	—
179	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
180	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
181	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
182	C₂×D₅₃	—	8	2	no	—
183	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
184	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
185	C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
186	C₄×C₅₃	—	4	1	no	—
187	C₄×C₅₃	—	8	1	no	—
188	C₄×C₅₃	—	8	1	no	—
189	C₄×C₅₃	—	8	1	no	—
190	C₄×C₅₃	—	8	1	no	—
191	C₄×C₅₃	#554	1	2	yes	—
192	C₄×C₅₃	#555	1	2	yes	—
193	Dic₅₃	—	8	2	no	—
194	#2660	D₅₃	1	1	yes	characteristic, complemented
195	#2328	—	53	1	no	—
196	#2025	—	53	2	no	—
197	#2023	—	53	2	no	—
198	#1961	—	53	1	no	—
199	#1957	—	53	1	no	—
200	#1836	—	53	1	no	—
201	#1835	—	53	1	no	—
202	#1804	—	53	2	no	—
203	#1802	—	53	2	no	—
204	#1768	—	53	1	no	—
205	C₂×C₅₃	#2563	1	1	yes	characteristic
206	C₂×C₅₃	#3081	1	2	yes	—
207	C₂×C₅₃	#3136	1	2	yes	—
208	C₂×C₅₃	#3220	1	1	yes	characteristic
209	C₂×C₅₃	#3221	1	1	yes	characteristic
210	D₅₃	—	8	4	no	—
211	C₂×C₄⋊Q₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
212	C₂×#127	—	53	1	no	—
213	C₂×#125	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
214	C₂×C₄×D₄	—	53	2	no	—
215	C₂×C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
216	C₂×#102	—	53	2	no	—
217	C₂×#102	—	53	2	no	—
218	C₂×#102	—	53	2	no	—
219	C₂×#102	—	53	2	no	—
220	C₂×#97	—	53	1	no	—
221	C₂×C₄×C₈	—	53	1	no	—
222	#398	—	2	2	no	—
223	#395	—	2	2	no	—
224	#390	—	53	2	no	—
225	#386	—	106	2	no	—
226	#386	—	106	2	no	—
227	#384	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
228	#384	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
229	#382	—	53	1	no	—
230	#382	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
231	#382	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
232	#376	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
233	#340	—	53	2	no	—
234	#340	—	53	2	no	—
235	#340	—	53	2	no	—
236	#340	—	53	2	no	—
237	#336	—	53	2	no	—
238	C₅₃	#29152	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
239	C₂²×Q₈	—	2	1	no	—
240	C₂²×D₄	—	53	2	no	—
241	C₂²×D₄	—	106	2	no	—
242	C₂³×C₄	—	106	2	no	—
243	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
244	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
245	C₄⋊Q₈	—	4	2	no	—
246	#127	—	53	4	no	—
247	#127	—	106	2	no	—
248	#125	—	4	2	no	—
249	C₄×D₄	—	106	4	no	—
250	C₄×D₄	—	106	4	no	—
251	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
252	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
253	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
254	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
255	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
256	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
257	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
258	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
259	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
260	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
261	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
262	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
263	C₂×C₂²⋊C₄	—	106	2	no	—
264	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
265	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
266	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
267	C₄⋊C₈	—	106	4	no	—
268	#102	—	212	2	no	—
269	#102	—	212	2	no	—
270	#102	—	212	2	no	—
271	#102	—	212	2	no	—
272	#97	—	106	2	no	—
273	C₄×C₈	—	106	2	no	—
274	#95	—	2	2	no	—
275	#95	—	2	2	no	—
276	#95	—	106	2	no	—
277	#95	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
278	#95	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
279	C₂⁴	—	106	2	no	—
280	C₂×Q₈	—	4	2	no	—
281	C₂×Q₈	—	8	2	no	—
282	C₂×D₄	—	53	4	no	—
283	C₂×D₄	—	106	8	no	—
284	C₂×D₄	—	106	2	no	—
285	C₂×D₄	—	106	2	no	—
286	C₂×D₄	—	106	2	no	—
287	C₂×D₄	—	106	2	no	—
288	C₂×D₄	—	106	2	no	—
289	C₂×D₄	—	424	2	no	—
290	C₂×D₄	—	424	2	no	—
291	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
292	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
293	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
294	C₂²×C₄	—	2	1	no	—
295	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
296	C₂²×C₄	—	424	2	no	—
297	C₂²×C₄	—	424	2	no	—
298	C₂²×C₄	—	212	4	no	—
299	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
300	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
301	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
302	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
303	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
304	C₂×C₈	—	106	2	no	—
305	C₂×C₈	—	106	2	no	—
306	C₂×C₈	—	106	2	no	—
307	C₂×C₈	—	106	2	no	—
308	C₂×C₈	—	106	2	no	—
309	C₂×C₈	—	106	2	no	—
310	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
311	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
312	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
313	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
314	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
315	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
316	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
317	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
318	C₄⋊C₄	—	8	2	no	—
319	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
320	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
321	C₂²⋊C₄	—	424	2	no	—
322	C₂²⋊C₄	—	424	2	no	—
323	C₂²⋊C₄	—	212	4	no	—
324	C₄²	—	2	2	no	—
325	C₄²	Q₈×D₅₃	1	2	yes	—
326	C₄²	#11719949	1	2	yes	—
327	C₄²	#11719949	1	4	yes	—
328	C₂³	—	106	4	no	—
329	C₂³	—	212	2	no	—
330	C₂³	—	212	2	no	—
331	C₂³	—	212	2	no	—
332	C₂³	—	212	2	no	—
333	C₂³	—	212	2	no	—
334	C₂³	—	212	2	no	—
335	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
336	Q₈	—	8	4	no	—
337	D₄	—	106	4	no	—
338	D₄	—	106	4	no	—
339	D₄	—	424	8	no	—
340	D₄	—	212	2	no	—
341	D₄	—	212	2	no	—
342	C₂×C₄	—	2	2	no	—
343	C₂×C₄	—	2	2	no	—
344	C₂×C₄	—	2	2	no	—
345	C₂×C₄	—	2	2	no	—
346	C₂×C₄	—	2	2	no	—
347	C₂×C₄	—	2	2	no	—
348	C₂×C₄	—	2	1	no	—
349	C₂×C₄	—	2	1	no	—
350	C₂×C₄	—	4	2	no	—
351	C₂×C₄	—	4	2	no	—
352	C₂×C₄	—	4	2	no	—
353	C₂×C₄	—	4	2	no	—
354	C₂×C₄	—	4	1	no	—
355	C₂×C₄	—	4	1	no	—
356	C₂×C₄	—	4	1	no	—
357	C₂×C₄	—	4	1	no	—
358	C₂×C₄	—	424	8	no	—
359	C₂×C₄	—	212	2	no	—
360	C₂×C₄	—	212	2	no	—
361	C₂×C₄	—	212	2	no	—
362	C₂×C₄	#13133193	1	4	yes	—
363	C₂×C₄	#13133206	1	4	yes	—
364	C₂×C₄	C₂×Q₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
365	C₂×C₄	C₂×#11719949	1	2	yes	—
366	C₂×C₄	C₂×#11719949	1	1	yes	characteristic
367	C₂×C₄	#13133262	1	2	yes	—
368	C₈	—	212	2	no	—
369	C₈	—	212	2	no	—
370	C₂²	—	424	2	no	—
371	C₂²	—	424	2	no	—
372	C₂²	—	424	2	no	—
373	C₂²	—	424	2	no	—
374	C₂²	—	212	4	no	—
375	C₂²	—	212	4	no	—
376	C₂²	—	212	4	no	—
377	C₂²	C₂×#13133193	1	1	yes	characteristic
378	C₂²	C₂×#13133206	1	1	yes	characteristic
379	C₂²	#16811190	1	1	yes	characteristic
380	C₂²	#16811426	1	2	yes	—
381	C₂²	#16811431	1	2	yes	—
382	C₄	—	2	4	no	—
383	C₄	—	2	4	no	—
384	C₄	—	4	1	no	—
385	C₄	—	4	1	no	—
386	C₄	—	8	1	no	—
387	C₄	—	8	1	no	—
388	C₄	—	8	1	no	—
389	C₄	—	8	1	no	—
390	C₄	—	424	2	no	—
391	C₄	#16811334	1	2	yes	—
392	C₄	#16811339	1	2	yes	—
393	C₂	—	424	4	no	—
394	C₂	#20279889	1	1	yes	characteristic
395	C₂	#20284540	1	2	yes	—
396	C₂	#20285074	1	2	yes	—
397	C₂	#20285765	1	1	yes	characteristic
398	C₂	#20285776	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#2660	C₂
socle	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
prime radical	C₂×#13133214	C₂²
hypercenter	#2660	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#29152
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ #376 ◁ #2660

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
2. #20275858	C₂	semidirect
3. #20275848	C₂	semidirect
6. #20274850	C₂	semidirect
7. #20274845	C₂	semidirect
8. #20274722	C₂	semidirect
9. #20274712	C₂	semidirect
10. #20274572	C₂	semidirect
11. C₅₃×#2660	C₂	semidirect
45. #13133214	Q₈	semidirect
194. #2660	D₅₃	semidirect
238. C₅₃	#29152	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20277440	2
#20275858	2
#20275848	2
#20275538	2
#20275520	2
#20274850	2
#20274845	2
#20274722	2
#20274712	2
#20274572	2
C₅₃×#2660	2
#29152	53