Subgroups — #27484666

Order 13568.

810 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 378 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20283112	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20277282	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20276046	C₂	1	4	yes	maximal
4	#20275676	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
5	#20275675	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#20275475	C₂	1	4	yes	maximal
7	#20274871	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	C₄×#13133146	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₅₃×#1844	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₂×#13133217	C₂²	1	1	yes	characteristic
11	C₂×#13133216	—	2	1	no	—
12	C₂×#13133216	—	2	1	no	—
13	C₂×#13133216	C₂²	1	2	yes	—
14	C₂×#13133182	—	2	1	no	—
15	C₂×#13133148	C₂²	1	4	yes	—
16	C₂×#13133146	C₂²	1	2	yes	—
17	C₂×C₄×#88322	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	#16810528	—	2	1	no	—
19	#16810519	—	2	1	no	—
20	#16810519	C₂²	1	2	yes	—
21	#16810493	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	#16810492	—	2	1	no	—
23	#16810492	—	2	1	no	—
24	#16810492	C₂²	1	2	yes	—
25	C₄⋊C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
26	C₄⋊C₄×Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
27	C₄²×Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#16810386	C₂²	1	4	yes	—
29	#16810385	C₂²	1	4	yes	—
30	#16810377	C₂²	1	2	yes	—
31	C₂×#106×C₅₃	C₂²	1	4	yes	—
32	C₂×C₄×C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	C₅₃×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₅₃×#384	C₂²	1	1	yes	characteristic
35	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	1	no	—
36	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
37	C₂²×#88322	C₂³	1	2	yes	—
38	#13133217	—	2	2	no	—
39	#13133217	Q₈	1	4	yes	complemented
40	#13133216	—	4	4	no	—
41	#13133216	—	4	4	no	—
42	#13133216	—	4	4	no	—
43	#13133182	—	4	4	no	—
44	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
45	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
46	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	1	no	—
47	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
49	C₂×#11719919	—	2	2	no	—
50	C₂×#11719919	—	2	2	no	—
51	C₂×#11719919	—	2	2	no	—
52	C₂×#11719919	—	2	2	no	—
53	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
54	C₂×C₄×Dic₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
55	C₂×C₄×Dic₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
56	C₂×C₄×Dic₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
57	C₂×C₄×Dic₅₃	D₄	1	1	yes	characteristic
58	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
59	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
60	#13133148	—	4	4	no	—
61	#13133146	Q₈	1	8	yes	complemented
62	C₄×#88322	—	2	2	no	—
63	#13133124	—	2	2	no	—
64	#13133124	—	2	2	no	—
65	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
66	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
67	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
68	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
69	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	1	no	—
70	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
71	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
72	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
73	#106×C₅₃	—	4	4	no	—
74	C₄×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
75	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
76	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
77	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
78	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
79	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
80	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
81	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
82	C₂²×Dic₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂²×Dic₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
84	C₂²×Dic₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
85	C₂²×Dic₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
86	C₂×Dic₁₀₆	—	2	4	no	—
87	C₂×Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
88	C₂×Dic₁₀₆	—	4	2	no	—
89	C₂×Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
90	C₂×Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
91	C₂×Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
92	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
93	C₂×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
94	C₂×C₈×C₅₃	C₂×Q₈	1	4	yes	—
95	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
96	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
97	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
98	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
99	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
100	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
101	C₄²×C₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
102	C₄²×C₅₃	#41	1	2	yes	—
103	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
104	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
105	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
106	C₄⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
107	C₄⋊Dic₅₃	—	4	2	no	—
108	C₄⋊Dic₅₃	C₂×Q₈	1	4	yes	—
109	#11719919	—	4	4	no	—
110	#11719919	—	4	4	no	—
111	#11719919	—	4	4	no	—
112	#11719919	—	4	4	no	—
113	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
114	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
115	C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
116	C₄×Dic₅₃	—	4	4	no	—
117	C₄×Dic₅₃	SD₁₆	1	4	yes	—
118	C₄×Dic₅₃	SD₁₆	1	4	yes	—
119	C₄×Dic₅₃	C₂×Q₈	1	4	yes	—
120	C₂×#88322	—	2	2	no	—
121	C₂×#88322	—	2	2	no	—
122	C₂×#88322	C₂×Q₈	1	4	yes	—
123	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
124	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
125	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
126	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
127	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
128	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
129	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
130	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
131	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	2	yes	—
132	C₂×C₄×C₅₃	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
133	C₂×C₄×C₅₃	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
134	C₂×C₄×C₅₃	AGL(1,ℤ/8)	1	2	yes	—
135	C₂×C₄×C₅₃	#137	1	2	yes	—
136	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
137	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
138	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
139	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
140	C₂×Dic₅₃	—	2	1	no	—
141	C₂×Dic₅₃	—	2	1	no	—
142	C₂×Dic₅₃	—	2	1	no	—
143	C₂×Dic₅₃	—	2	1	no	—
144	C₂×Dic₅₃	—	2	1	no	—
145	C₂×Dic₅₃	—	2	1	no	—
146	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
147	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
148	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
149	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
150	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
151	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
152	C₂×Dic₅₃	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
153	C₂×Dic₅₃	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
154	C₂×Dic₅₃	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
155	C₂×Dic₅₃	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
156	C₂×Dic₅₃	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
157	C₂×Dic₅₃	C₂×SD₁₆	1	2	yes	—
158	Dic₁₀₆	—	4	8	no	—
159	Dic₁₀₆	—	8	8	no	—
160	C₈×C₅₃	—	2	4	no	—
161	#88322	—	2	4	no	—
162	#29206	—	53	1	no	maximal, Sylow
163	C₂²×C₅₃	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
164	C₂²×C₅₃	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
165	C₂²×C₅₃	#535	1	1	yes	characteristic
166	C₂²×C₅₃	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
167	C₂²×C₅₃	C₂²×SD₁₆	1	1	yes	characteristic
168	C₂²×C₅₃	C₂×AGL(1,ℤ/8)	1	1	yes	characteristic
169	C₂²×C₅₃	C₂×#137	1	1	yes	characteristic
170	C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
171	C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
172	C₄×C₅₃	#475	1	4	yes	—
173	C₄×C₅₃	#476	1	4	yes	—
174	C₄×C₅₃	#554	1	2	yes	—
175	C₄×C₅₃	Q₈²	1	2	yes	—
176	Dic₅₃	—	2	2	no	—
177	Dic₅₃	—	2	2	no	—
178	Dic₅₃	—	2	2	no	—
179	Dic₅₃	—	4	4	no	—
180	Dic₅₃	—	8	2	no	—
181	Dic₅₃	#498	1	4	yes	—
182	#2868	—	53	1	no	—
183	C₄×C₄⋊Q₈	—	53	1	no	—
184	#2058	—	53	4	no	—
185	#1990	—	53	1	no	—
186	#1990	—	53	1	no	—
187	#1948	—	53	4	no	—
188	#1844	—	53	1	no	—
189	#1844	D₅₃	1	1	yes	characteristic
190	C₄×C₄⋊C₈	—	53	1	no	—
191	C₂×C₅₃	#2567	1	1	yes	characteristic
192	C₂×C₅₃	C₂×#476	1	1	yes	characteristic
193	C₂×C₅₃	C₂×#475	1	1	yes	characteristic
194	C₂×C₅₃	C₂×#498	1	1	yes	characteristic
195	C₂×C₅₃	#3165	1	1	yes	characteristic
196	C₂×C₅₃	#3206	1	1	yes	characteristic
197	C₂×C₅₃	#3208	1	1	yes	characteristic
198	C₂×C₄⋊Q₈	—	53	2	no	—
199	C₂×C₄⋊Q₈	—	53	1	no	—
200	C₂×C₄⋊Q₈	—	106	1	no	—
201	C₂×C₄⋊Q₈	—	106	1	no	—
202	C₂×C₄×Q₈	—	106	1	no	—
203	C₂×#106	—	53	4	no	—
204	C₂×#106	C₂×D₅₃	1	4	yes	—
205	C₂×C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
206	C₂×C₄×C₈	—	53	1	no	—
207	C₂×C₄×C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
208	#391	—	106	1	no	—
209	#389	—	53	2	no	—
210	#389	—	106	1	no	—
211	#384	—	53	2	no	—
212	#384	—	53	1	no	—
213	#384	—	106	1	no	—
214	#384	—	106	1	no	—
215	#384	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
216	#384	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
217	C₄×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
218	C₄×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
219	C₄³	—	53	1	no	—
220	#340	—	53	4	no	—
221	#340	—	53	4	no	—
222	#336	—	53	2	no	—
223	C₅₃	#29206	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
224	C₂²×Q₈	—	106	2	no	—
225	C₂²×Q₈	—	106	1	no	—
226	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
227	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
228	C₄⋊Q₈	—	53	4	no	—
229	C₄⋊Q₈	—	106	2	no	—
230	C₄⋊Q₈	—	212	4	no	—
231	C₄⋊Q₈	—	212	4	no	—
232	C₄⋊Q₈	—	212	4	no	—
233	C₄×Q₈	—	212	4	no	—
234	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
235	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
236	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
237	C₂×C₄⋊C₄	—	2	1	no	—
238	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
239	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
240	C₂×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
241	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
242	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
243	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
244	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
245	C₂×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
246	C₂×C₄⋊C₄	—	106	1	no	—
247	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
248	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
249	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
250	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
251	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
252	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
253	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
254	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
255	C₂×C₄²	—	106	2	no	—
256	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
257	#106	—	4	4	no	—
258	#106	—	212	4	no	—
259	C₄⋊C₈	—	53	8	no	—
260	C₄×C₈	—	2	2	no	—
261	C₄×C₈	—	106	2	no	—
262	#95	—	106	2	no	—
263	#95	—	106	2	no	—
264	C₂×Q₈	—	106	4	no	—
265	C₂×Q₈	—	212	4	no	—
266	C₂×Q₈	—	212	4	no	—
267	C₂×Q₈	—	212	4	no	—
268	C₂×Q₈	—	212	2	no	—
269	C₂×Q₈	—	212	2	no	—
270	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
271	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
272	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
273	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
274	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
275	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
276	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
277	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
278	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
279	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
280	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
281	C₂×C₈	—	2	2	no	—
282	C₂×C₈	—	2	2	no	—
283	C₂×C₈	—	53	4	no	—
284	C₂×C₈	—	106	2	no	—
285	C₂×C₈	—	106	2	no	—
286	C₂×C₈	Q₈×D₅₃	1	4	yes	—
287	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
288	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
289	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
290	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
291	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
292	C₄⋊C₄	—	4	2	no	—
293	C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
294	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
295	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
296	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
297	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
298	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
299	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
300	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
301	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
302	C₄⋊C₄	—	212	2	no	—
303	C₄²	—	53	4	no	—
304	C₄²	—	53	4	no	—
305	C₄²	—	53	4	no	—
306	C₄²	—	106	2	no	—
307	C₄²	—	106	2	no	—
308	C₄²	—	106	2	no	—
309	C₄²	—	212	4	no	—
310	C₄²	#11719945	1	2	yes	—
311	C₄²	Q₈×D₅₃	1	2	yes	—
312	C₂³	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
313	Q₈	—	424	8	no	—
314	Q₈	—	212	8	no	—
315	C₂×C₄	—	4	2	no	—
316	C₂×C₄	—	4	2	no	—
317	C₂×C₄	—	4	2	no	—
318	C₂×C₄	—	4	2	no	—
319	C₂×C₄	—	4	2	no	—
320	C₂×C₄	—	4	2	no	—
321	C₂×C₄	—	53	2	no	—
322	C₂×C₄	—	53	2	no	—
323	C₂×C₄	—	53	2	no	—
324	C₂×C₄	—	53	2	no	—
325	C₂×C₄	—	53	2	no	—
326	C₂×C₄	—	53	2	no	—
327	C₂×C₄	—	106	1	no	—
328	C₂×C₄	—	106	1	no	—
329	C₂×C₄	—	106	1	no	—
330	C₂×C₄	—	106	1	no	—
331	C₂×C₄	—	106	1	no	—
332	C₂×C₄	—	106	1	no	—
333	C₂×C₄	—	106	4	no	—
334	C₂×C₄	—	212	2	no	—
335	C₂×C₄	—	212	2	no	—
336	C₂×C₄	—	212	2	no	—
337	C₂×C₄	—	212	2	no	—
338	C₂×C₄	—	212	2	no	—
339	C₂×C₄	#13133195	1	2	yes	—
340	C₂×C₄	#13133195	1	2	yes	—
341	C₂×C₄	SD₁₆×D₅₃	1	2	yes	—
342	C₂×C₄	SD₁₆×D₅₃	1	2	yes	—
343	C₂×C₄	#13133244	1	2	yes	—
344	C₂×C₄	#13133246	1	2	yes	—
345	C₂×C₄	C₂×Q₈×D₅₃	1	2	yes	—
346	C₂×C₄	C₂×Q₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
347	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	1	yes	characteristic
348	C₂×C₄	#13133262	1	2	yes	—
349	C₈	—	2	4	no	—
350	C₈	—	106	4	no	—
351	C₂²	C₂×#13133195	1	1	yes	characteristic
352	C₂²	C₄⋊Q₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
353	C₂²	#16811186	1	1	yes	characteristic
354	C₂²	C₂×SD₁₆×D₅₃	1	1	yes	characteristic
355	C₂²	C₂×SD₁₆×D₅₃	1	1	yes	characteristic
356	C₂²	C₂×#13133244	1	1	yes	characteristic
357	C₂²	C₂×#13133246	1	1	yes	characteristic
358	C₄	—	8	2	no	—
359	C₄	—	8	2	no	—
360	C₄	—	53	4	no	—
361	C₄	—	106	2	no	—
362	C₄	—	106	2	no	—
363	C₄	—	106	2	no	—
364	C₄	—	424	2	no	—
365	C₄	—	212	4	no	—
366	C₄	#16810907	1	4	yes	—
367	C₄	#16810912	1	4	yes	—
368	C₄	#16811328	1	2	yes	—
369	C₄	#16811353	1	2	yes	—
370	C₂	#20279921	1	1	yes	characteristic
371	C₂	C₂×#16810912	1	1	yes	characteristic
372	C₂	C₂×#16810907	1	1	yes	characteristic
373	C₂	#498×D₅₃	1	1	yes	characteristic
374	C₂	#20285256	1	1	yes	characteristic
375	C₂	#20285636	1	1	yes	characteristic
376	C₂	#20285652	1	1	yes	characteristic

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂×D₄×D₅₃
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#1844	C₂
socle, prime radical	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
hypercenter	#1844	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#29206
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ #1844

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
39. #13133217	Q₈	semidirect
61. #13133146	Q₈	semidirect
223. C₅₃	#29206	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20283112	2
#20277282	2
#20276046	2
#20275676	2
#20275675	2
#20275475	2
#20274871	2
C₄×#13133146	2
C₅₃×#1844	2
#29206	53