Subgroups — #27484688

Order 13568.

686 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 272 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20283093	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20276048	C₂	1	2	yes	maximal
3	#20276043	C₂	1	2	yes	maximal
4	#20275681	C₂	1	2	yes	maximal
5	#20275483	C₂	1	4	yes	maximal
6	#20274877	C₂	1	2	yes	maximal
7	C₄×C₄⋊#88322	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
8	C₄×#125×C₅₃	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
9	C₂×#13133217	C₂²	1	2	yes	—
10	C₂×#13133150	C₂²	1	4	yes	—
11	C₂×#13133148	C₂²	1	4	yes	—
12	C₂×C₄⋊#88322	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×C₄×#88322	C₂²	1	2	yes	—
14	#16810529	—	2	2	no	—
15	#16810529	—	2	2	no	—
16	#16810489	C₂²	1	2	yes	—
17	#16810489	C₂²	1	2	yes	—
18	#16810385	C₂²	1	4	yes	—
19	#16810385	C₂²	1	4	yes	—
20	#16810378	C₂²	1	1	yes	characteristic
21	#16810378	C₂²	1	1	yes	characteristic
22	C₂×#125×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
23	C₅₃×#389	C₂²	1	2	yes	—
24	C₅₃×#387	—	2	2	no	—
25	C₅₃×#382	C₂²	1	1	yes	characteristic
26	C₄×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
27	C₄×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
28	C₄³×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
29	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
30	C₂²×#88322	C₂³	1	2	yes	—
31	C₂²×#88322	C₂³	1	2	yes	—
32	#13133217	—	4	4	no	—
33	C₂×C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
34	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	4	yes	—
35	#13133150	—	4	4	no	—
36	#13133148	—	4	4	no	—
37	C₄⋊#88322	Q₈	1	8	yes	complemented
38	C₄×#88322	—	2	4	no	—
39	#13133124	—	2	4	no	—
40	#13133124	—	2	2	no	—
41	#13133124	—	2	2	no	—
42	#125×C₅₃	—	2	2	no	—
43	#125×C₅₃	Q₈	1	4	yes	complemented
44	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
45	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
46	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂×C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
49	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
50	C₂×C₄²×C₅₃	D₄	1	2	yes	—
51	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
52	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
53	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
54	#95×C₅₃	—	2	2	no	—
55	#95×C₅₃	—	2	2	no	—
56	#95×C₅₃	—	2	2	no	—
57	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
58	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
59	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
60	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
61	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
62	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
63	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
64	C₂²×Dic₅₃	—	2	4	no	—
65	C₂×Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
66	C₂×Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
67	C₂×Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
68	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	8	no	—
69	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
70	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
71	C₄⋊C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
72	C₄⋊C₄×C₅₃	C₂×Q₈	1	4	yes	—
73	C₄²×C₅₃	—	2	4	no	—
74	C₄²×C₅₃	—	2	2	no	—
75	C₄²×C₅₃	—	4	2	no	—
76	C₄²×C₅₃	—	4	4	no	—
77	C₄²×C₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
78	C₄²×C₅₃	C₂×Q₈	1	4	yes	—
79	C₄²×C₅₃	#41	1	2	yes	—
80	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
81	C₄⋊Dic₅₃	—	2	4	no	—
82	C₄⋊Dic₅₃	—	4	4	no	—
83	C₂×#88322	—	2	2	no	—
84	C₂×#88322	—	2	2	no	—
85	C₂×#88322	—	2	2	no	—
86	C₂×#88322	—	2	2	no	—
87	C₂×#88322	C₂×Q₈	1	4	yes	—
88	C₂×#88322	C₂×Q₈	1	4	yes	—
89	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
90	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
91	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
92	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
93	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
94	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
95	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
96	C₂×C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
97	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
98	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
99	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
100	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
101	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
102	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
103	C₂×C₄×C₅₃	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
104	C₂×C₄×C₅₃	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
105	C₂×C₄×C₅₃	#135	1	4	yes	—
106	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×Q₈	1	2	yes	—
107	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
108	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
109	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	2	yes	—
110	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
111	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
112	C₂×Dic₅₃	—	4	4	no	—
113	Dic₁₀₆	—	8	8	no	—
114	#88322	—	2	4	no	—
115	#88322	—	2	4	no	—
116	#29209	—	53	1	no	maximal, Sylow
117	C₂²×C₅₃	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
118	C₂²×C₅₃	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
119	C₂²×C₅₃	#535	1	1	yes	characteristic
120	C₂²×C₅₃	C₂×#135	1	2	yes	—
121	C₂²×C₅₃	#575	1	2	yes	—
122	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
123	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
124	C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
125	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
126	C₄×C₅₃	—	4	4	no	—
127	C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
128	C₄×C₅₃	#554	1	2	yes	—
129	C₄×C₅₃	Q₈²	1	2	yes	—
130	Dic₅₃	—	8	4	no	—
131	#2862	—	53	1	no	—
132	C₄×#125	D₅₃	1	1	yes	characteristic
133	#2058	—	53	2	no	—
134	#2057	—	53	2	no	—
135	#1991	—	53	2	no	—
136	#1949	—	53	4	no	—
137	#1846	—	53	2	no	—
138	C₄×C₄⋊C₈	—	53	1	no	—
139	C₂×C₅₃	#2567	1	1	yes	characteristic
140	C₂×C₅₃	#3076	1	2	yes	—
141	C₂×C₅₃	#3160	1	1	yes	characteristic
142	C₂×C₅₃	#3166	1	1	yes	characteristic
143	C₂×C₅₃	#3211	1	2	yes	—
144	C₂×C₄⋊Q₈	—	53	2	no	—
145	C₂×#125	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
146	C₂×#107	—	53	4	no	—
147	C₂×#106	—	53	4	no	—
148	C₂×C₄⋊C₈	—	53	2	no	—
149	C₂×C₄×C₈	—	53	2	no	—
150	#391	—	106	2	no	—
151	#391	—	106	2	no	—
152	#389	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
153	#387	—	2	2	no	—
154	#382	—	53	2	no	—
155	#382	—	53	2	no	—
156	#382	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
157	C₄×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
158	C₄×C₄⋊C₄	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
159	C₄³	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
160	#340	—	53	4	no	—
161	#340	—	53	4	no	—
162	#336	—	53	1	no	—
163	#336	—	53	1	no	—
164	C₅₃	#29209	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
165	C₂²×Q₈	—	106	2	no	—
166	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
167	C₂²×C₈	—	53	2	no	—
168	C₄⋊Q₈	—	212	4	no	—
169	#125	—	2	2	no	—
170	#125	Dic₁₀₆	1	4	yes	complemented
171	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
172	C₂×C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
173	C₂×C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
174	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
175	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
176	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
177	C₂×C₄²	—	2	2	no	—
178	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
179	C₂×C₄²	C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
180	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
181	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
182	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
183	#107	—	212	4	no	—
184	#106	—	212	4	no	—
185	C₄⋊C₈	—	53	8	no	—
186	C₄×C₈	—	106	4	no	—
187	#95	—	2	2	no	—
188	#95	—	2	2	no	—
189	#95	—	2	2	no	—
190	#95	—	106	4	no	—
191	#95	—	106	2	no	—
192	#95	—	106	2	no	—
193	C₂×Q₈	—	212	4	no	—
194	C₂×Q₈	—	212	4	no	—
195	C₂×Q₈	—	212	4	no	—
196	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
197	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
198	C₂²×C₄	—	106	4	no	—
199	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
200	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
201	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
202	C₂²×C₄	C₂×C₂²⋊D₅₃	1	2	yes	—
203	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
204	C₂×C₈	—	53	4	no	—
205	C₂×C₈	—	53	4	no	—
206	C₂×C₈	—	106	2	no	—
207	C₂×C₈	—	106	2	no	—
208	C₂×C₈	—	106	2	no	—
209	C₂×C₈	—	106	2	no	—
210	C₄⋊C₄	—	2	8	no	—
211	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
212	C₄⋊C₄	—	2	4	no	—
213	C₄⋊C₄	—	4	4	no	—
214	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
215	C₄⋊C₄	—	106	4	no	—
216	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
217	C₄⋊C₄	C₂×Dic₁₀₆	1	4	yes	—
218	C₄²	—	2	4	no	—
219	C₄²	—	2	2	no	—
220	C₄²	—	4	2	no	—
221	C₄²	—	4	4	no	—
222	C₄²	C₂×Dic₁₀₆	1	2	yes	—
223	C₄²	#11719945	1	2	yes	—
224	C₄²	Q₈×D₅₃	1	4	yes	—
225	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃	1	1	yes	characteristic
226	Q₈	—	424	8	no	—
227	C₂×C₄	—	2	2	no	—
228	C₂×C₄	—	2	2	no	—
229	C₂×C₄	—	2	2	no	—
230	C₂×C₄	—	2	2	no	—
231	C₂×C₄	—	2	2	no	—
232	C₂×C₄	—	2	2	no	—
233	C₂×C₄	—	2	4	no	—
234	C₂×C₄	—	4	2	no	—
235	C₂×C₄	—	4	2	no	—
236	C₂×C₄	—	4	2	no	—
237	C₂×C₄	—	4	2	no	—
238	C₂×C₄	—	4	2	no	—
239	C₂×C₄	—	212	4	no	—
240	C₂×C₄	—	212	4	no	—
241	C₂×C₄	—	212	4	no	—
242	C₂×C₄	#13133196	1	4	yes	—
243	C₂×C₄	#13133215	1	2	yes	—
244	C₂×C₄	#13133215	1	2	yes	—
245	C₂×C₄	#13133237	1	4	yes	—
246	C₂×C₄	C₂×Q₈×D₅₃	1	2	yes	—
247	C₂×C₄	C₂²×Dic₁₀₆	1	1	yes	characteristic
248	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	1	yes	characteristic
249	C₂×C₄	#13133263	1	2	yes	—
250	C₈	—	106	4	no	—
251	C₈	—	106	4	no	—
252	C₂²	C₂×#13133196	1	1	yes	characteristic
253	C₂²	C₂×#13133215	1	1	yes	characteristic
254	C₂²	#16811187	1	1	yes	characteristic
255	C₂²	C₂×#13133237	1	2	yes	—
256	C₂²	#16811421	1	2	yes	—
257	C₄	—	2	2	no	—
258	C₄	—	2	2	no	—
259	C₄	—	2	4	no	—
260	C₄	—	2	4	no	—
261	C₄	—	4	4	no	—
262	C₄	—	8	2	no	—
263	C₄	—	424	4	no	—
264	C₄	#16811333	1	2	yes	—
265	C₄	Q₈×Dic₁₀₆	1	2	yes	—
266	C₂	#20279920	1	1	yes	characteristic
267	C₂	#20284503	1	2	yes	—
268	C₂	#20285225	1	1	yes	characteristic
269	C₂	#20285264	1	1	yes	characteristic
270	C₂	#20285676	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂²×C₂²⋊D₅₃
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₄×#125×C₅₃	C₂
socle, prime radical	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
hypercenter	C₄×#125	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#29209
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₄³ ◁ C₄×#125

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
37. C₄⋊#88322	Q₈	semidirect
43. #125×C₅₃	Q₈	semidirect
164. C₅₃	#29209	semidirect
170. #125	Dic₁₀₆	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20283093	2
#20276048	2
#20276043	2
#20275681	2
#20275483	2
#20274877	2
C₄×C₄⋊#88322	2
C₄×#125×C₅₃	2
#29209	53