Subgroups — #27484690

Order 13568.

686 conjugacy classes of subgroups.

The subgroup lattice has 354 nodes — too large to display as a diagram.

Conjugacy classes of subgroups

#	subgroup	G/H	class size	multiplicity	normal?	properties
1	#20283091	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
2	#20277270	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
3	#20276046	C₂	1	2	yes	maximal
4	#20276041	C₂	1	2	yes	maximal
5	#20275680	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
6	#20275679	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
7	#20275484	C₂	1	2	yes	maximal
8	#20275480	C₂	1	2	yes	maximal
9	#20274877	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
10	C₄×#13133146	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
11	C₅₃×#1846	C₂	1	1	yes	maximal, characteristic
12	C₂×#13133216	C₂²	1	2	yes	—
13	C₂×#13133209	C₂²	1	1	yes	characteristic
14	C₂×#13133150	C₂²	1	2	yes	—
15	C₂×#13133148	C₂²	1	2	yes	—
16	C₂×#13133146	C₂²	1	1	yes	characteristic
17	C₂×#13133146	C₂²	1	1	yes	characteristic
18	C₂×C₄×#88322	C₂²	1	1	yes	characteristic
19	#16810527	—	2	2	no	—
20	#16810527	—	2	2	no	—
21	#16810519	C₂²	1	2	yes	—
22	#16810505	—	2	2	no	—
23	#16810489	C₂²	1	1	yes	characteristic
24	#16810488	C₂²	1	2	yes	—
25	C₄⋊C₄×Dic₅₃	C₂²	1	2	yes	—
26	#16810474	—	2	2	no	—
27	C₄²×Dic₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
28	#16810386	C₂²	1	2	yes	—
29	#16810386	C₂²	1	2	yes	—
30	#16810385	C₂²	1	2	yes	—
31	#16810385	C₂²	1	2	yes	—
32	#16810377	C₂²	1	1	yes	characteristic
33	#16810377	C₂²	1	1	yes	characteristic
34	C₂×#107×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
35	C₂×#106×C₅₃	C₂²	1	2	yes	—
36	C₂×C₄×C₈×C₅₃	C₂²	1	1	yes	characteristic
37	C₅₃×#382	C₂²	1	1	yes	characteristic
38	C₅₃×#382	C₂²	1	1	yes	characteristic
39	C₂²×Dic₁₀₆	—	2	2	no	—
40	C₂²×#88322	C₂³	1	1	yes	characteristic
41	C₂²×#88322	C₂³	1	1	yes	characteristic
42	#13133216	—	4	2	no	—
43	#13133216	—	4	2	no	—
44	#13133209	—	2	2	no	—
45	#13133209	Q₈	1	4	yes	complemented
46	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
47	C₂×C₄⋊Dic₅₃	C₂³	1	2	yes	—
48	C₂×#11719919	—	2	2	no	—
49	C₂×#11719919	—	2	2	no	—
50	C₂×#11719919	—	2	2	no	—
51	C₂×C₄×Dic₅₃	—	2	2	no	—
52	C₂×C₄×Dic₅₃	D₄	1	2	yes	—
53	C₂×C₄×Dic₅₃	D₄	1	2	yes	—
54	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
55	C₂×C₄×Dic₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
56	#13133150	—	4	2	no	—
57	#13133148	—	4	2	no	—
58	#13133146	Q₈	1	4	yes	complemented
59	#13133146	Q₈	1	4	yes	complemented
60	C₄×#88322	—	2	2	no	—
61	#13133124	—	2	2	no	—
62	#13133124	—	2	2	no	—
63	#13133124	—	2	2	no	—
64	#13133124	—	2	2	no	—
65	#13133124	—	2	2	no	—
66	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
67	C₂²×C₈×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
68	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
69	C₂×C₄⋊C₄×C₅₃	C₂³	1	2	yes	—
70	C₂×C₄²×C₅₃	C₂³	1	1	yes	characteristic
71	#107×C₅₃	—	4	2	no	—
72	#106×C₅₃	—	4	2	no	—
73	C₄×C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
74	#95×C₅₃	—	2	2	no	—
75	#95×C₅₃	—	2	2	no	—
76	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
77	C₂²×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
78	C₂²×C₄×C₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
79	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴	1	1	yes	characteristic
80	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
81	C₂²×Dic₅₃	—	2	2	no	—
82	C₂²×Dic₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
83	C₂²×Dic₅₃	C₂×D₄	1	1	yes	characteristic
84	C₂²×Dic₅₃	C₂×D₄	1	2	yes	—
85	C₂×Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
86	C₂×Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
87	C₂×Dic₁₀₆	—	4	4	no	—
88	C₂×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
89	C₂×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
90	C₂×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
91	C₂×C₈×C₅₃	—	2	1	no	—
92	C₂×C₈×C₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
93	C₂×C₈×C₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
94	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
95	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
96	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
97	C₄⋊C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
98	C₄²×C₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
99	C₄²×C₅₃	#41	1	2	yes	—
100	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
101	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
102	C₄⋊Dic₅₃	—	2	2	no	—
103	C₄⋊Dic₅₃	C₂×Q₈	1	4	yes	—
104	#11719919	—	2	8	no	—
105	#11719919	—	4	4	no	—
106	#11719919	—	4	4	no	—
107	C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
108	C₄×Dic₅₃	—	2	1	no	—
109	C₄×Dic₅₃	—	2	4	no	—
110	C₄×Dic₅₃	—	4	2	no	—
111	C₄×Dic₅₃	—	4	4	no	—
112	C₄×Dic₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
113	C₄×Dic₅₃	C₂×Q₈	1	2	yes	—
114	C₂×#88322	—	2	1	no	—
115	C₂×#88322	—	2	1	no	—
116	C₂×#88322	—	2	1	no	—
117	C₂×#88322	—	2	1	no	—
118	C₂×#88322	C₂×Q₈	1	2	yes	—
119	C₂×#88322	C₂×Q₈	1	2	yes	—
120	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄	1	1	yes	characteristic
121	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
122	C₂×C₄×C₅₃	—	2	2	no	—
123	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
124	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
125	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
126	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
127	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
128	C₂×C₄×C₅₃	—	4	2	no	—
129	C₂×C₄×C₅₃	C₂²⋊Q₈	1	4	yes	—
130	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
131	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
132	C₂×C₄×C₅₃	C₂²×Q₈	1	1	yes	characteristic
133	C₂×C₄×C₅₃	C₂×#41	1	1	yes	characteristic
134	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
135	C₂×C₄×C₅₃	H(5,𝔽₂)	1	1	yes	characteristic
136	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
137	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
138	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
139	C₂×Dic₅₃	—	2	2	no	—
140	C₂×Dic₅₃	—	2	4	no	—
141	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
142	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
143	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
144	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
145	C₂×Dic₅₃	—	4	2	no	—
146	C₂×Dic₅₃	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
147	C₂×Dic₅₃	C₄⋊Q₈	1	2	yes	—
148	C₂×Dic₅₃	#135	1	4	yes	—
149	Dic₁₀₆	—	8	8	no	—
150	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
151	C₈×C₅₃	—	2	2	no	—
152	#88322	—	2	2	no	—
153	#88322	—	2	2	no	—
154	#29209	—	53	1	no	maximal, Sylow
155	C₂²×C₅₃	C₂×C₂²⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
156	C₂²×C₅₃	C₂×C₄⋊Q₈	1	1	yes	characteristic
157	C₂²×C₅₃	#535	1	1	yes	characteristic
158	C₂²×C₅₃	C₂×#135	1	2	yes	—
159	C₂²×C₅₃	#575	1	2	yes	—
160	C₄×C₅₃	—	2	4	no	—
161	C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
162	C₄×C₅₃	—	8	2	no	—
163	C₄×C₅₃	#554	1	1	yes	characteristic
164	C₄×C₅₃	#554	1	1	yes	characteristic
165	C₄×C₅₃	Q₈²	1	1	yes	characteristic
166	C₄×C₅₃	Q₈²	1	1	yes	characteristic
167	Dic₅₃	—	2	2	no	—
168	Dic₅₃	—	2	2	no	—
169	Dic₅₃	—	2	4	no	—
170	Dic₅₃	—	4	4	no	—
171	Dic₅₃	—	8	2	no	—
172	#2862	—	53	1	no	—
173	C₄×#125	—	53	1	no	—
174	#2058	—	53	2	no	—
175	#2057	—	53	2	no	—
176	#1991	—	53	1	no	—
177	#1991	—	53	1	no	—
178	#1949	—	53	2	no	—
179	#1949	—	53	2	no	—
180	#1846	—	53	1	no	—
181	#1846	D₅₃	1	1	yes	characteristic
182	C₄×C₄⋊C₈	—	53	1	no	—
183	C₂×C₅₃	#2567	1	1	yes	characteristic
184	C₂×C₅₃	#3076	1	2	yes	—
185	C₂×C₅₃	#3160	1	1	yes	characteristic
186	C₂×C₅₃	#3166	1	1	yes	characteristic
187	C₂×C₅₃	#3211	1	2	yes	—
188	C₂×C₄⋊Q₈	—	53	2	no	—
189	C₂×#125	—	53	1	no	—
190	C₂×#107	—	53	2	no	—
191	C₂×#107	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
192	C₂×#106	—	53	2	no	—
193	C₂×#106	C₂×D₅₃	1	2	yes	—
194	C₂×C₄⋊C₈	—	53	1	no	—
195	C₂×C₄⋊C₈	—	53	1	no	—
196	C₂×C₄×C₈	—	53	1	no	—
197	C₂×C₄×C₈	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
198	#391	—	106	2	no	—
199	#391	—	106	2	no	—
200	#389	—	53	2	no	—
201	#387	—	106	2	no	—
202	#382	—	53	2	no	—
203	#382	—	53	1	no	—
204	#382	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
205	#382	C₂×D₅₃	1	1	yes	characteristic
206	C₄×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
207	C₄×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
208	C₄³	—	53	1	no	—
209	#340	—	53	2	no	—
210	#340	—	53	2	no	—
211	#340	—	53	2	no	—
212	#340	—	53	2	no	—
213	#336	—	53	1	no	—
214	#336	—	53	1	no	—
215	C₅₃	#29209	1	1	yes	characteristic, complemented, Sylow
216	C₂²×Q₈	—	106	2	no	—
217	C₂²×C₈	—	53	1	no	—
218	C₂²×C₈	—	53	1	no	—
219	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
220	C₂²×C₈	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
221	C₄⋊Q₈	—	212	2	no	—
222	C₄⋊Q₈	—	212	2	no	—
223	#125	—	53	4	no	—
224	#125	—	106	2	no	—
225	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
226	C₂×C₄⋊C₄	—	53	2	no	—
227	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
228	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
229	C₂×C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
230	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
231	C₂×C₄⋊C₄	C₂²×D₅₃	1	2	yes	—
232	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
233	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
234	C₂×C₄²	—	53	1	no	—
235	C₂×C₄²	—	53	2	no	—
236	C₂×C₄²	—	106	2	no	—
237	C₂×C₄²	C₂²×D₅₃	1	1	yes	characteristic
238	#107	—	4	2	no	—
239	#107	—	212	2	no	—
240	#106	—	4	2	no	—
241	#106	—	212	2	no	—
242	C₄⋊C₈	—	53	4	no	—
243	C₄⋊C₈	—	53	4	no	—
244	C₄×C₈	—	2	2	no	—
245	C₄×C₈	—	106	2	no	—
246	#95	—	2	2	no	—
247	#95	—	2	2	no	—
248	#95	—	106	2	no	—
249	#95	—	106	2	no	—
250	#95	—	106	2	no	—
251	#95	—	106	2	no	—
252	#95	—	106	2	no	—
253	C₂×Q₈	—	212	4	no	—
254	C₂×Q₈	—	212	4	no	—
255	C₂×Q₈	—	212	4	no	—
256	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
257	C₂²×C₄	—	2	2	no	—
258	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
259	C₂²×C₄	—	53	1	no	—
260	C₂²×C₄	—	53	2	no	—
261	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
262	C₂²×C₄	—	106	2	no	—
263	C₂²×C₄	D₄×D₅₃	1	2	yes	—
264	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃	1	1	yes	characteristic
265	C₂×C₈	—	2	1	no	—
266	C₂×C₈	—	2	1	no	—
267	C₂×C₈	—	2	1	no	—
268	C₂×C₈	—	2	1	no	—
269	C₂×C₈	—	53	2	no	—
270	C₂×C₈	—	53	2	no	—
271	C₂×C₈	—	106	1	no	—
272	C₂×C₈	—	106	1	no	—
273	C₂×C₈	—	106	1	no	—
274	C₂×C₈	—	106	1	no	—
275	C₂×C₈	Q₈×D₅₃	1	2	yes	—
276	C₂×C₈	Q₈×D₅₃	1	2	yes	—
277	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
278	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
279	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
280	C₄⋊C₄	—	2	2	no	—
281	C₄⋊C₄	—	53	4	no	—
282	C₄⋊C₄	—	106	8	no	—
283	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
284	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
285	C₄⋊C₄	—	106	2	no	—
286	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
287	C₄⋊C₄	—	212	4	no	—
288	C₄²	—	53	2	no	—
289	C₄²	—	53	2	no	—
290	C₄²	—	106	4	no	—
291	C₄²	—	106	1	no	—
292	C₄²	—	106	1	no	—
293	C₄²	—	212	2	no	—
294	C₄²	—	212	4	no	—
295	C₄²	#11719945	1	2	yes	—
296	C₄²	Q₈×D₅₃	1	2	yes	—
297	C₂³	C₂×D₄×D₅₃	1	1	yes	characteristic
298	Q₈	—	424	8	no	—
299	C₂×C₄	—	2	2	no	—
300	C₂×C₄	—	2	2	no	—
301	C₂×C₄	—	4	2	no	—
302	C₂×C₄	—	4	2	no	—
303	C₂×C₄	—	4	2	no	—
304	C₂×C₄	—	4	2	no	—
305	C₂×C₄	—	4	2	no	—
306	C₂×C₄	—	4	2	no	—
307	C₂×C₄	—	53	4	no	—
308	C₂×C₄	—	53	2	no	—
309	C₂×C₄	—	53	2	no	—
310	C₂×C₄	—	106	2	no	—
311	C₂×C₄	—	106	2	no	—
312	C₂×C₄	—	106	2	no	—
313	C₂×C₄	—	106	2	no	—
314	C₂×C₄	—	106	4	no	—
315	C₂×C₄	—	212	2	no	—
316	C₂×C₄	—	212	2	no	—
317	C₂×C₄	—	212	2	no	—
318	C₂×C₄	—	212	2	no	—
319	C₂×C₄	—	212	2	no	—
320	C₂×C₄	#13133195	1	4	yes	—
321	C₂×C₄	C₂×Q₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
322	C₂×C₄	C₂×Q₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
323	C₂×C₄	C₂×Q₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
324	C₂×C₄	C₂×#11719945	1	1	yes	characteristic
325	C₂×C₄	#13133262	1	1	yes	characteristic
326	C₂×C₄	#13133262	1	1	yes	characteristic
327	C₈	—	2	2	no	—
328	C₈	—	2	2	no	—
329	C₈	—	106	2	no	—
330	C₈	—	106	2	no	—
331	C₂²	C₂×#13133195	1	1	yes	characteristic
332	C₂²	C₄⋊Q₈×D₅₃	1	1	yes	characteristic
333	C₂²	#16811186	1	1	yes	characteristic
334	C₂²	#135×D₅₃	1	2	yes	—
335	C₂²	#16811420	1	2	yes	—
336	C₄	—	2	4	no	—
337	C₄	—	8	2	no	—
338	C₄	—	8	2	no	—
339	C₄	—	106	2	no	—
340	C₄	—	106	2	no	—
341	C₄	—	106	4	no	—
342	C₄	—	424	2	no	—
343	C₄	—	212	4	no	—
344	C₄	#16811328	1	1	yes	characteristic
345	C₄	#16811328	1	1	yes	characteristic
346	C₄	#16811353	1	1	yes	characteristic
347	C₄	#16811353	1	1	yes	characteristic
348	C₂	#20279921	1	1	yes	characteristic
349	C₂	#20284501	1	2	yes	—
350	C₂	#20285228	1	1	yes	characteristic
351	C₂	#20285263	1	1	yes	characteristic
352	C₂	#20285675	1	2	yes	—

	subgroup	G/H
center	C₂³	C₂×D₄×D₅₃
commutator, cosocle	C₂²×C₄×C₅₃	C₂⁴
Frattini	C₂²×C₄	C₂³×D₅₃
Fitting	C₅₃×#1846	C₂
socle, prime radical	C₂³×C₅₃	C₂²×D₄
hypercenter	#1846	D₅₃
hypocenter	C₅₃	#29209
LCS	G ▷ C₂²×C₄×C₅₃ ▷ C₂×C₅₃ ▷ C₅₃
UCS	C₁ ◁ C₂³ ◁ C₂×C₄² ◁ #1846

Complements

Splittings G = N ⋊ H with N normal; H ≅ G/N.

N	H ≅ G/N	type
45. #13133209	Q₈	semidirect
58. #13133146	Q₈	semidirect
59. #13133146	Q₈	semidirect
215. C₅₃	#29209	semidirect

Maximal subgroups

By isomorphism type — maximal subgroups of the same type appear once, whether or not they are normal.

subgroup	index
#20283091	2
#20277270	2
#20276046	2
#20276041	2
#20275680	2
#20275679	2
#20275484	2
#20275480	2
#20274877	2
C₄×#13133146	2
C₅₃×#1846	2
#29209	53